八年级数学上册第七章平行线的证明7-1为什么要证明教学课件新版北师大版 23页

7.1 为什么要证明 第七章 平行线的证明 学习目标 1. 了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点） 2. 会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点） 导入新课 观察与思考 图中的四边形是正方形吗？ 平行线 : 不敢相信图中的横线是平行的 , 不过它们就是平行线 ! 你觉得观察得到的结论正确吗？ 讲授新课 数学的结论必须经过严格的论证 一 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、 有根有据的推理 . 请举例说明，你用到过的推理 . a b 考考你的眼力 线段 a 与线段 b 哪个 比较长？ a b c d 谁与线段 d 在 一条直线上？ a b a b c d 检验你的结论 a=b 做一做 如图，假如用一根比地球的赤道长 1 米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 解：设赤道周长为 c ，铁丝与地球赤道 之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头 . 费 马 对于所有自然数 n ， 的值都是质数 . 当 n=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 时， = 3 ， 5 ， 17 ， 257 ， 65 537 都是质数 欧 拉 当 n=5 时， = 4 294 967 297= 641×6 700 417 举出反例是检验错误数学结论的有效方法 . 大数学家也有失误 归纳总结 这个故事告诉我们： 1 . 学习欧拉的 求实精神 与 严谨的科学态度 . 2 . 没有严格的推理，仅 由若干特例归纳、猜测的结论 可能潜藏着错误，未必正确 . 3 . 要证明一个结论是错误的， 举反例 就是一种常用方法 . 检验数学结论的常用方法 二 【类型一】 实验验证 例 1 ： 先观察再验证． (1) 图 ① 中实线是直的还是弯曲的？ (2) 图 ② 中两条线段 a 与 b 哪一条更长？ (3) 图 ③ 中的直线 AB 与直线 CD 平行吗？ 解：观察可能得出的结论是： (1) 实线是弯曲的； (2)a 更长一些； (3)AB 与 DC 不平行． 而我们用科学的方法验证后发现： (1) 实线是直的； (2)a 与 b 一样长； (3)AB 平行于 CD. 方法归纳 有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论． 【类型二】 推理证明 例 2 ： 当n为正整数时，代数式(n 2 －5n＋5) 2 的值都 等于1吗？ 解：当 n ＝ 1 时， (n 2 － 5n ＋ 5) 2 ＝ 1 2 ＝ 1 ； 当 n ＝ 2 时， (n 2 － 5n ＋ 5) 2 ＝ ( － 1) 2 ＝ 1 ； 当 n ＝ 3 时， (n 2 － 5n ＋ 5) 2 ＝ ( － 1) 2 ＝ 1 ； 当 n ＝ 4 时， (n 2 － 5n ＋ 5) 2 ＝ 1 2 ＝ 1 ； 当 n ＝ 5 时， (n 2 － 5n ＋ 5) 2 ＝ 5 2 ＝ 25≠1. 所以当 n 为正整数时， (n 2 － 5n ＋ 5) 2 不一定等于 1. 【方法总结】 验证特例是判断一个结论错误的最好方法． 【类型三】 举出反例 例 3 ： 如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数； (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数； (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 分析： 图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD. 例 3 ： 如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数； 解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°. ∵∠BOC＝30°， ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°. 例 3 ： 如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数； 解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°. 例 3 ： 如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (3)由(1)、(2)你发现了什么？ 解：(3)由(1)、(2)可发现： ∠AOB＝∠COD. 例 3 ： 如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (4)你能肯定上述的发现吗？ 解：(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°， ∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD. ∴∠AOB＝∠COD. 【方法总结】 检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论． 当堂练习 1. 下列结论中你能肯定的是（ ） A. 今天下雨，明天必然还下雨 B. 三个连续整数的积一定能被 6 整除 C. 小明在数学竞赛中一定能获奖 D. 两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人 2. 下列问题用到推理的是（ ） A. 根据 a=10 ， b=10, 得到 a=b B. 观察得到三角形有三个角 C. 老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D. 由经验可知过两点有且只有一条直线 B A 4. 某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走，三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实： ①罪犯不在 A,B,C 三人之外；② C 作案时总得有 A 作从犯； ③ B 不会开车 . 在此案中肯定的作案对象是（　　） A ．嫌疑犯 A 　 B ．嫌疑犯 B C ．嫌疑犯 C 　　 D ．嫌疑犯 A 和 C D 3. 顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 D 5. 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且： （ 1 ）红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”； （ 2 ）黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”； （ 3 ）蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”； 已知 (1),(2),(3) 中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？ 解：我们发现（ 1 ）与（ 3 ）互相矛盾，可两件矛盾的事不能都是真的，必有一假；题设真话只有一句 . 这样（ 2 ）必是假话，从而苹果在黄箱子里 . 为什么要证明 数学结论必须经过严格的论证 课堂小结 实验验证 举出反例 推理证明 论证方法