八年级数学上册第二章勾股定理与平方根2-1勾股定理课件1苏教版 34页

A B C 观察： 两直角边的平方和等于斜边的平方 ca b 面积A+面积B=面积C 　　相传2500年前，古希腊著名数学家毕 达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找 到了直角三角形三边的关系。 探究：如果在网格纸上,画一个顶点都在格点上 的直角三角形;并分别以这个直角三角形的各边为 一边向三角形外作正方形,有这种关系吗？ P Q R 正方形P的 面积 正方形Q的 面积 正方形R的 面积A B C 9 16 ？ 怎么求SR的大小？有几种方案？ 如图，小方格的边长为1. P Q CR 求正方形R的面积？ 用“补”的方法 P Q CR 用“割”的方法 Q 25 342 1449       SR SR 14 4 3 12      25 P Q R a cb SP+SQ=SR 如果直角三角形的直角边分别是a、b，斜边是c ， 观察面积等式，它们之间会有什么关系吗？ a2+b2=c2 Sp SQ SR 观察所得到的各组数据，它们有毕达哥拉斯 发现的规律吗？ a2 b2 c2 勾 股 勾 股 弦 勾股定理 222 cba  如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c， 那么 a b c 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 西方称（毕达哥拉斯定理) AC B 弦勾 股 我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、 股四、弦五”，它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中。 数学史 1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一 块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能 构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。 在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发 现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。 勾股定理的证明方法很多，达400多种，在中国最早对勾股 定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽四 个全等的直角三角形创制了一幅“勾股圆方图”，人们称 之为“赵爽弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理 的详细证明！ a b c a b c a b c a b c 勾股定理的证明 赵爽的“弦图” 赵爽弦图 2002年世界数学家大会会标 “赵爽弦图’表现了我国 古代人队数学的钻研精神和 聪明才智，它是我国古代数 学的骄傲，因此，这个图案 被选为2002年在北京召开的 国际数学家大会的会徽。 c a b ca b c a b c a b =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 c2 4• +(b- a)2 2 ab ∵ c2= 4• +(b-a)2 2 ab 大家学过从“面积到乘法公式”，主要从哪些角度思考 图形的面积？你能弦图中推出勾股定理吗？ 整体角度 局部角度 勾股定理 222 cba  如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c， 那么 a b c AC B 数学符号语言： ∵在Rt △ ABC中， ∠C=90o ∴AC2+BC2=AB2或a2+b2=c2 　 弦勾 股 比 一 比 看 看 谁 算 得 快！ 1.求下列直角三角形中未知边的长: 可用勾股定理建立方程.方法小结: 40 x 41 12 5 x 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕长只有58厘米和宽46厘米，他认为是售货员 搞错了。你同意他的看法吗？ 我们通常所说的29英 寸或74厘米的电视机， 是指其荧屏对角线的长 度，对角线怎么求？ 例 46 58 ？ 小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 274 5476 2 258 46 5480  ∴售货员没搞错 解：∵ 议 一 议 ∴荧屏对角线大约为74厘米 46 58 1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的平方 是 .25或7 试一试: 4 3A C B 4 3C A B 分析:对较长的边“4”，进行分类讨论： （1）“4” 是斜边： （2）“4” 是直角边： 能力提升： 1、在Rt△ABC中，斜边AB=2，则 AB2+BC2+AC2=____________ 2、在直角三角形中，若其中两边长 分别为3和5，则它的面积为_______ 3、如图，△ABC中，∠C=90°， CD ⊥AB 于D， AC=9，BC=12， 求：CD的长。 BA C D 2AB2=8 6或7.5 9 12 15 方法（面积法）： 1/2ACxBC=1/2ABxCD即 1/2X9x12=1/2x15xCD所以 CD=7.2 E DC B A 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求(1) 正方形A，B，C，D的面积的和 S1 S2 解：∵ SE= 49 S1=SA+SB S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD = S1+S2 = SE = 49 (2)所有正方形面积和 (2)所有正方形面积和 SA+SB+SC+SD+S1+S2+SE =3SE=3X49=147 1 1 美丽的勾股树 勾股故事3 美国第二十任总统伽菲尔德的证 法在数学史上被传为佳话． (a + b)(b + a) = a2 +  a2 + b2 = c2 a a b b c c 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》 上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲 尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对 勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这 一证法称为“总统”证法。 ∟ ∟ ∟ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 c2 + 2( )2 1 + ab + b2 = c2ab ab  a2 + b2 = c2 a2 b2 a2 c2 毕达哥拉斯证法 ◆如图,以Rt△ABC的三边为直径的3个 半圆的面积有什么关系?请你说明理由. S1 S2 S3 （图中每个小方格代表一个单位面积） A B C D FE 思考： 1、观察左图中的 △ABC和△DEF， 它们是直角三角形 吗？ 2、分别以ABC和 DEF的各边为一边向 外所作的正方形，其 中两个小正方形的面 积和等于大正方形的 面积吗？ S1 S2 S3 S1 S2 S3 如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长. 10 46 8 10 x E F D CB A 8-x 8-x 例1、已知△ABC中, ∠C= 90o,BC= a ,AC= b ,AB=c (⑴)已知: a=3, b=4, 求 c; (⑵)已知: a =6 , c =8, 求 c; (3)已知:c=15 , a : b = 3 : 4,求 a ,b. (4)若假设 BC=ma,AC=mb,m为正整数 求 c; C A B ⑴已知： a＝3， b＝4，求c ⑵已知： c ＝10，a＝6，求b 1、已知， Rt△ABC 中，a，b为的两条 直角边，c为斜边，求： 2、已知： c ＝13，a＝5， 求阴影部分的面积。 a c b 例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞 机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机 飞过的距离是多少千米？ A BC 3千米 5千米 20秒后 D A B C ⒌蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了 多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G F E 3 4 12 5 6 8 A BC D E F 已知:△ABC，AB＝AC＝17，BC＝16. (1)求高AD的长; (2)求S△ABC . A B CD 例题分析 8 17 ? 1、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿. 2、池塘边有两点A、 B，点C是与BA方向成 直角的AC方向上一点， 测得CB=60m， AC=20m。你能求出A、 B两点间的距离吗？ （结果保留整数） 拓展延伸 60 C 20 AB 例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，飞 机距离这个男孩头顶5千米。这一过程中飞机 飞过的距离是多少千米？ )(4 0 1635 222 千米   BC BC BC  解：在Rt △ ABC中， 答：飞机飞过的距离是4千米. BC A 3 5 ？ 美国第二十任总统伽菲尔德的证法：