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  • 2021-10-27 发布

【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程(培优版)3勾股定理

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1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理 及逆定理 已知直角三角形两边 长,求第三条边 会用勾股定理解决简单问题;会用勾股 定理的逆定理判定三角形是否为直角 三角形 会运用勾股定理解决有关的 实际问题。 1. 勾股定理的内容: 如果直角三角形的两直角边分别是 a、b,斜边为 c,那么 a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方 和等于斜边的平方。 注:勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 C A B 图2 c b a 2.勾股定理的证明: (1)方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:  2 2 2 2 2 14 2 . ABCDS a b c ab a b c         正方形 (2)方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:  22 2 2 2 14 2 . S c a b ab a b c        正方形EFGH (3)方法三:“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形: 2( )( ) 1 122 2 2ABCD a b a bS ab c    梯形 2 2 2 .a b c   勾股定理 2 3.勾股定理的逆定理: 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。即 2 2 2, ,ABC AC BC AB ABC   在 中 如果 那么 是直角三角形 。 4.勾股数: 满足 a2 +b2=c2 的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.常用勾股数:3、4、 5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。 例题精讲 【例 1】 下列说法正确的是( ) A. 若 a b c, , 是 ABC 的三边,则 2 2 2a b c  B. 若 a b c, , 是 Rt ABC 的三边,则 2 2 2a b c  C. 若 a b c, , 是 Rt ABC 的三边, 90A   ,则 2 2 2a b c  D. 若 a b c, , 是 Rt ABC 的三边, 90C   ,则 2 2 2a b c  【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选 D. 【答案】D 【例 2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数,则这个三角形的周长为 【解析】可知三边为3 4 5, , ,所以周长为12 【答案】12 3 【例 3】 已知直角三角形的两边长分别为 3、4,求第三边长. 【解析】①当两直角边为 3 和 4 时,第三边长为 2 23 4 25 5   ; ②当斜边为 4,一直角边为 3 时,第三边长为 2 24 3 7  . 【答案】 5 或 7 【例 4】 已知直角三角形两边 x , y 的长满足 2 24 5 6 0x y y     ,则第三边长为______________. 【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知: 2 2 或 13 或 5 . 【答案】 2 2 或 13 或 5 【例 5】 如图,一个长为10 米的梯子,斜靠在墙上,梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米,如果梯子的 顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离 米(填“大于”、“等于”、“小于”) 【解析】由勾股定理可知:大于 【答案】大于 【例 6】 三角形的三边长分别为 6,8,10,它的最短边上的高为( ) A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D.8 【解析】本题易错.最短边为 6,它的高为 8.选 D . 【答案】D 【例 7】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍,那么斜边扩大到原来的( ) A. 1 倍 B. 2 倍 C. 3 倍 D. 4 倍 【解析】省略 【答案】B 【例 8】 如图,一根高8米的旗杆被风吹断倒地,旗杆顶端 A 触地处到旗杆底部 B 的距离为 6 米,则折断 点 C 到旗杆底部 B 的距离为 【解析】设 BC x 米,则  8AC x  米,因为 6AB  米,根据勾股定理可得:  22 26 8x x   ,解答 7 4x  , 故折断点 C 到旗杆底部的距离为 7 4 米 【答案】 7 4 【例 9】 已知,如图所示,折叠长方形的一边 AD ,使点 D 落在 BC 边的点 F 处,如果 8cmAB  , 4 10cmBC  ,求 EC 的长. 【解析】由题意得, 10cmAF AD  . 在 ABF 中,应用勾股定理得, 6cmBF  . 所以 10 6 4FC BC BF     . 在 CEF 中,应用勾股定理,设 cmEC x ,得  2 2 28 4x x   . 解得 3x  即 3cmEC  . 【答案】 3cm 【例 10】 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,则网格上的三角形 ABC 中,边长为无理数的 边数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】直接计算,只有 AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为 2.选 C. 【答案】C 【例 11】 如图,以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形,如果两个较大正方形的面积分 别是 576 和 676 ,那么最小的正方形的面积为 【解析】省略 【答案】100 【例 12】 某片绿地的形状如图所示,其中 60A   , AB BC , AD CD , 200mAB  , 100mCD  , 求 AD 、 BC 的长(精确到 1m, 3 1.732 ). 5 D C B A E D C B A 【解析】延长 AD 、 BC 交于点 E , 在 Rt ABE 中, 60A   ,则 30E   , 由 200mAB  ,得 400mAE  , 从而 2 2BE AE AB  2 2400 200  200 3 m. 在 Rt CDE 中,∵ 30E   , 100mCD  , ∴ 200mCE  , 从而 2 2DE CE CD  2 2200 100  100 3 m , ∴ AD AE DE  400 100 3  227 m , BC BE CE  200 3 200  146 m. 【答案】 227 146AD m BC m , 【例 13】 如图,M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点,P ,Q 分别在 AC ,BC 上,PM MQ ,判断 PQ , AP 与 BQ 的数量关系并证明你的结论. Q P M C B A 【解析】 2 2 2PQ AP BQ  . 延长 QM 到 N ,使 MN QM ,连结 AN 、 PN . 显然 PMQ PMN ≌ , AMN BMQ ≌ ∴ PN PQ , AN BQ , MBQ MAN   ∵ 90CAB ABC     ∴ 90PAN PAM MAN       ∴ APN 为直角三角形. ∴ 2 2 2PQ AP BQ  . N A B C M P Q 【答案】见解析 【例 14】 直角三角形中一直角边的长为 9,另两边为连续自然数,则直角三角形的周长为( ) A.121 B.120 C.90 D.不能确定 【解析】整体代入法.应用平方差公式.选 C. 【答案】C 6 【例 15】 如图,已知 Rt △ ABC 的周长为 2 6 ,其中斜边 2AB  ,求这个三角形的面积. 【解析】在 Rt △ ABC 中,根据勾股定理,得 2 2 22a b  , 即 2( ) 2 4a b ab   。 又由已知得 6a b  ,所以 2( 6) 2 4ab  。 解得 1ab  .所以 1 1 2 2S ab  . 【答案】 1 2S  【例 16】 在 Rt ABC 中, 90C   ,若 5 4a b c  , ,则 ABCS  . 【解析】 在 Rt ABC 中,由勾股定理得, 2 2 2a b c  . 又有  2 2 2 2a b a b ab    , 所以  2 2 2a b c ab   所以 1 9 2 4ABCS ab   . 【答案】 9 4ABCS  【例 17】 如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他 们仅仅少走了 步路(假设 2 步为 1 米),却踩伤了花草. “路” 4m 3m 【解析】直接应用勾股定理可知,少走了 5m.又知 2 步为 1 米,所以少走了 10 步. 【答案】10 【例 18】 一个矩形的抽斗长为 24cm,宽为 7cm,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . 【解析】 题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为 25. 【答案】 25 【例 19】 蚂蚁沿图中的折线从 A 点爬到 D 点,一共爬了多少厘米?(小方格的边长为 1 厘米) 7 D A C C B A D 【解析】把折线从 A 到 D,分三段计算.第 1 段长为 5,第 2 段长为 13,第 3 段长为 10,进行加法计算,所以蚂蚁 一共爬了 28cm . 【答案】 28cm 【例 20】 一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米.如果梯子的顶端沿 墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( ) A. 9 分米 B. 15 分米 C. 5 分米 D. 8 分米 【解析】在初始和结束两个状态下,选定直角三角形,应用勾股定理. 初始时,经计算,可知,梯顶距墙底端 24 分米. 结束时,经计算,可知,梯足距离墙底端 15 分米.选 D. 【答案】D 【例 21】 放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速 度都是 40 米/分,小红用 15 分钟到家,小颖 20 分钟到家,小红和小颖家的直线距离为( ) A.600 米 B. 800 米 C. 1000 米 D. 不能确定 【解析】速度一定且相同,路程比=时间比.再用勾股定理,直线距离应该是 25 分钟的路程.选 C. 【答案】C 【例 22】 如图,将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 ㎝、6 ㎝和 10 3 ㎝的长方体无盖盒子 中,求细木棒露在盒外面的最短长度是多少? 【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线. L= 2 28 6 3  2(10 ) =20cm. 细木棒露在盒外面的最短长度是 25-20=5cm. 【答案】 5cm 【例 23】 将一根长为 24cm 的筷子,置于底面直径为5cm ,高为12cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子 外边的长度为 cmh ,则 h 的取值范围为 8 【解析】省略 【答案】 2.3cm 课后作业 【习题 1】在 Rt ABC 中, 90C   , (1)如果 3 4a b , ,则 c  _______; (2)如果 6 8a b , ,则 c  _______; (3)如果 5 12a b , ,则 c  ________; (4)如果 15 20a b , ,则 c  ________. 【解析】直接应用勾股定理,且 c 为斜边. (1)5;(2)10;(3)13;(4)25. 【答案】(1)5;(2)10;(3)13;(4)25 【习题 2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 . 【解析】勾股数中只有唯一的一组:6,8,10. 【答案】6,8,10 【习题 3】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是 9m ,那么15m 长的梯子可以达到的高度为 【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得高度为12 【答案】12m 9 【习题 4】如图,点 P 是 AOB 的角平分线上一点,过点 P 作 / /PC OA 交 OB 于点 C .若 60 , 4AOB OC   , 则点 P 到 OA 的距离 PD 等于__________. P O D C B A E P O D C B A 【解析】过 P 点作 PE OB ,并交OB 于点 E . ∵ 60 ,AOB OP   是 AOB 的角平分线, ∴ 6 30BOP    . 又∵ / /PC OA , ∴ 60PCB AOB     . ∴ 30OPC BOP BPC      . ∴ 14, 22PC OC EC PC    . ∴ 2 2 2 3PB PC EC   . 【答案】 2 3 【习题 5】如图所示,在 ABC 中,三边 a b c, , 的大小关系是( ) A. a b c  B. c a b  C. c b a  D. b a c  【解析】a= 10 ,b= 5 ,c= 13 . 选 D. 【答案】D 【习题 6】在三角形 ABC 中,已知 2 3 2AB AC BC , , 边上的高 3AD  ,求边 BC 的长 【解析】本题有两种情况: ⑴ 高 AD 在 三 角 形 内 , 如 图 1 , 分 别 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中 , 求 得    2 2 2 3 3 3 1BD CD   , ,所以 4BC BD CD   ⑵高 AD 在三角形外,如图 2,同样可求得 3 1BD CD , ,则 2BC BD CD   10 【答案】见解析 【习题 7】如图,已知 ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形, 90ACB DCE D    , 为 AD 边上一点,求 证: 2 2 2AD AE DE  【解析】因为 EC DC , AC BC ACE BCD   , ,所以可知 ACE BCD ≌ ,所以 90EAD   ,得证 【答案】见解析