【同步作业】人教版 八年级下册数学18菱形的性质 21页

第 1 页 共 21 页 18.2.2 菱形 第 1 课时 菱形的性质 一．选择题（共 4 小题） 1．（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 MNPO 的顶点 P 的坐标是（3，4），则顶点 M、 N 的坐标分别是（ ） A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4） 2．（菱形的周长为 4，一个内角为 60°，则较短的对角线长为（ ） A．2 B． C．1 D． 3．菱形的周长为 8cm，高为 1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 4．如图，菱形 ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则 B、D 两点之间的距离为（ ） A．15 B． C．7.5 D． 二．填空题（共 15 小题） 5．已知菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，则它的面积是 _________ cm2． 6．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，BD=6，过点 O 作 OH 丄 AB，垂足为 H，则点 0 到边 AB 的距离 OH= _________ ． 7．如图，菱形 ABCD 的边长是 2cm，E 是 AB 的中点，且 DE 丄 AB，则菱形 ABCD 的面 积为 cm2． 6 题图 7 题图 8 题图 9 题图 8．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=13，AC=10，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E，则△BDE 的周长为 _________ ． 9．如图，已知菱形 ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在 AB 上且 BE=BO，则∠BEO= _________ 度． 10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 16cm，若墙上钉子间的距离 AB=BC=16cm， 则∠1= _________ 度． 第 2 页 共 21 页 10 题图 12 题 13 题图 14 题图 11．已知菱形的一个内角为 60°，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为 _________ ． 12．如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，一个微型机器人由 A 点开始按 A﹣＞B﹣＞C ﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009 米停下，则这 个微型机器人停在 _________ 点． 13．如图，P 为菱形 ABCD 的对角线上一点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AD 于点 F，PF=3cm， 则 P 点到 AB 的距离是 _________ cm． 14．已知：如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周 长为 _________ ． 15．已知菱形的周长为 40cm，两条对角线之比为 3：4，则菱形的面积为 _________ cm2． 16．已知菱形的周长是 52cm，一条对角线长是 24cm，则它的面积是 _________ cm2． 17．如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5，P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A、C 重合），且 PE∥BC 交 AB 于 E，PF∥CD 交 AD 于 F，则阴影部分的面积是 _________ ． 17 题图 18 题图 19 题图 18．如图：菱形 ABCD 中，AB=2，∠B=120°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个 动点，则 PE+PB 的最小值是 _________ ． 19．如图：点 E、F 分别是菱形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°， 则∠CFE= _________ 度． 三．解答题（共 7 小题） 20．如图，四边形 ABCD 为菱形，已知 A（0，4），B（﹣3，0）． （1）求点 D 的坐标； （2）求经过点 C 的反比例函数解析式． 第 3 页 共 21 页 21．如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E． 求证：DE= BE． 22．如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB， 垂足为 E． （1）求∠ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长． 23．如图，四边形 ABCD 是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为 E、F． （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长． 第 4 页 共 21 页 24．如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连接 DP 交对角 线 AC 于 E 连接 BE． （1）证明：∠APD=∠CBE； （2）若∠DAB=60°，试问 P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ， 为什么？ 25．已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点， 且 DE=BF．请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并 证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接 _________ ； （2）猜想： _________ = _________ ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 第 5 页 共 21 页 26．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm、点 P 从点 D 出发向点 A 运动，同时 点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，点 P、Q 的速度都是 1cm/s． （1）在运动过程中，四边形 AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形 AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形 AQCP 的周长、面积． 第 6 页 共 21 页 答案与评分标准 一．选择题（共 4 小题） 1．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 MNPO 的顶点 P 的坐标是（3，4），则顶点 M、 N 的坐标分别是（ ） A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4） 考点：菱形的性质；坐标与图形性质。 专题：数形结合。 分析：此题可过 P 作 PE⊥OM，根据勾股定理求出 OP 的长度，则 M、N 两点坐标便不难求 出． 解答：解：过 P 作 PE⊥OM， ∵顶点 P 的坐标是（3，4）， ∴OE=3，PE=4， ∴OP= =5， ∴点 M 的坐标为（5，0）， ∵5+3=8， ∴点 N 的坐标为（8，4）． 故选 A． 点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点 P 的坐标，作出辅助线是解决本题的突 破口． 2．菱形的周长为 4，一个内角为 60°，则较短的对角线长为（ ） A．2 B． C．1 D． 考点：菱形的性质；等边三角形的判定。 分析：根据菱形的性质，求出菱形的边长，由菱形的两边和较短的对角线组成的三角形是等 边三角形，进而求出较短的对角线长． 解答：解：如图，∵四边形 ABCD 为菱形，且周长为 4， ∴AB=BC=CD=DA=1， 第 7 页 共 21 页 又∵∠B=60°， ∴△ABC 是等边三角形，所以 AC=AB=BC=1． 故选 C． 点评：本题既考查了菱形的性质，又考查了等边三角形的判定，是菱形性质应用中一道比较 典型的题目． 3．菱形的周长为 8cm，高为 1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 考点：菱形的性质；含 30 度角的直角三角形。 分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角 即可得到该菱形两邻角度数比． 解答：解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为 2cm，从而可得到高所对的角为 30°， 相邻的角为 150°，则该菱形两邻角度数比为 5：1． 故选 C． 点评：此题主要考查的知识点： （1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理； （2）菱形的两个邻角互补． 4．如图，菱形 ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则 B、D 两点之间的距离为（ ） A．15 B． C．7.5 D． 考点：菱形的性质。 分析：先求出∠A 等于 60°，连接 BD 得到△ABD 是等边三角形，所以 BD 等于菱形边长． 解答：解：连接 BD，∵∠ADC=120°， ∴∠A=180°﹣120°=60°， ∵AB=AD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD=AB=15． 第 8 页 共 21 页 故选 A． 点评：本题考查有一个角是 60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长． 二．填空题（共 15 小题） 5．已知菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，则它的面积是 3 cm2． 考点：菱形的性质。 分析：由知菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半， 即可求得答案． 解答：解：∵菱形的两条对角线长分别为 2cm，3cm， ∴它的面积是： ×2×3=3（cm2）． 故答案为：3． 点评：此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半． 6．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=8，BD=6，过点 O 作 OH 丄 AB，垂足为 H，则点 0 到边 AB 的距离 OH= ． 考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。 分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出 OH 的长． 解答：解：∵AC=8，BD=6， ∴BO=3，AO=4， ∴AB=5． AO•BO= AB•OH， OH= ． 故答案为： ． 点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积 相等，可求出 AB 边上的高 OH． 第 9 页 共 21 页 7．如图，菱形 ABCD 的边长是 2cm，E 是 AB 的中点，且 DE 丄 AB，则菱形 ABCD 的面 积为 2 cm2． 考点：菱形的性质；勾股定理。 分析：因为 DE 丄 AB，E 是 AB 的中点，所以 AE=1cm，根据勾股定理可求出 BD 的长，菱 形的面积=底边×高，从而可求出解． 解答：解：∵E 是 AB 的中点， ∴AE=1cm， ∵DE 丄 AB， ∴DE= = cm． ∴菱形的面积为：2× =2 cm2． 故答案为：2 ． 点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等． 8．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=13，AC=10，过点 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E，则△BDE 的周长为 60 ． 考点：菱形的性质；勾股定理。 专题：数形结合。 分析：因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在 Rt△AOB 中利用勾股定理求出 OB， 然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE 的周长． 解答：解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=13，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=5， ∴OB= =12，BD=2OB=24， ∵AD∥CE，AC∥DE， ∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴CE=AD=BC=13，DE=AC=10， ∴△BDE 的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60． 故答案为：60． 点评：本题主要利考查用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，关键是根据菱形的 性质得出 AC⊥BD，从而利用勾股定理求出 BD 的长度，难度一般． 第 10 页 共 21 页 9．如图，已知菱形 ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 在 AB 上且 BE=BO，则∠BEO= 65 度． 考点：菱形的性质。 专题：计算题。 分析：因为 AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又 BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根 据三角形内角和定理求解． 解答：解：∵ABCD 是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB． ∵∠BAD=80°，∴∠ABD= ×（180°﹣80°）=50°． 又∵BE=BO， ∴∠BEO=∠BOE= ×（180°﹣50°）=65°． 故答案为：65． 点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．属基础题． 10．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 16cm，若墙上钉子间的距离 AB=BC=16cm， 则∠1= 120 度． 考点：菱形的性质。 专题：应用题。 分析：由题意可得 AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1 的度数． 解答：解：由题意可得 AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°． 故答案为 120． 点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定． 11．已知菱形的一个内角为 60°，一条对角线的长为 ，则另一条对角线的长为 2 或 6 ． 考点：菱形的性质。 专题：计算题；分类讨论。 第 11 页 共 21 页 分析：题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分 析． 解答：解：①当较长对角线长为 2 时，则另一对角线长为 2； ②当较短对角线长为 2 时，则另一对角线长为 6； 故另一条对角线的长为 2 或 6． 点评：此题主要考查菱形的性质以及勾股定理，做题时注意分两种情况进行分析． 12．如图所示，两个全等菱形的边长为 1 米，一个微型机器人由 A 点开始按 A﹣＞B﹣＞C ﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009 米停下，则这 个微型机器人停在 B 点． 考点：菱形的性质。 专题：规律型。 分析：根据题意可求得其每走一个循环是 8 米，从而可求得其行走 2009 米走了几个循环， 即可得到其停在哪点． 解答：解：根据“由 A 点开始按 A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A 的顺序 沿菱形的边循环运动”可得出，每经过 8 米完成一个循环， ∵2009÷8=251 余 1， ∴行走 2009 米停下，即是在第 252 个循环中行走了一米，即停到了 B 点． 故答案为 B． 点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论． 13．如图，P 为菱形 ABCD 的对角线上一点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AD 于点 F，PF=3cm， 则 P 点到 AB 的距离是 3 cm． 考点：菱形的性质；角平分线的性质。 专题：计算题。 分析：由已知得 AC 为∠DAB 的角平分线，且 PE，PF 分别到角两边的距离，根据角平分线 的性质得到 PE=PF． 解答：解：∵ABCD 是菱形 ∴AC 为∠DAB 的角平分线 ∵PE⊥AB 于点 E，PF⊥AD 于点 F，PF=3cm． ∴PE=PF=3cm． 故答案为 3． 点评：本题考查了菱形的性质及角平分线的性质的运用． 第 12 页 共 21 页 14．已知：如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周 长为 16 ． 考点：菱形的性质；正方形的性质。 专题：计算题。 分析：根据已知可求得△ABC 是等边三角形，从而得到 AC=AB，再根据正方形的周长公式 计算即可． 解答：解：∵B=60°，AB=BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB=4 ∴正方形 ACEF 的周长=4×4=16． 16 故答案为． 点评：本题考查菱形与正方形的性质． 15．已知菱形的周长为 40cm，两条对角线之比为 3：4，则菱形的面积为 96 cm2． 考点：菱形的性质。 专题：计算题。 分析：根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即 可得到其面积． 解答：解：设两条对角线长分别为 3x，4x， 根据勾股定理可得（ ）2+（ ）2=102， 解之得，x=4， 则两条对角线长分别为 12cm、16cm， ∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2． 故答案为 96． 点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定 理． 16．已知菱形的周长是 52cm，一条对角线长是 24cm，则它的面积是 120 cm2． 考点：菱形的性质。 专题：计算题。 分析：已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角 线的长度，然后易求得菱形的面积． 解答：解：由题意可得，AD=13cm，OA=12cm， 根据勾股定理可得，OD=5cm，则 BD=10cm，则它的面积是 24×10× =120cm2． 故答案为：120． 第 13 页 共 21 页 点评：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理． 17．如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5，P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点 A、C 重合），且 PE∥BC 交 AB 于 E，PF∥CD 交 AD 于 F，则阴影部分的面积是 2.5 ． 考点：菱形的性质。 专题：计算题。 分析：根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的 一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 解答：解：阴影部分的面积等于△ABC 的面积． ∵△ABC 的面积等于菱形 ABCD 的面积的一半， 菱形 ABCD 的面积= AC•BD=5， ∴图中阴影部分的面积为 5÷2=2.5． 故答案为 2.5． 点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的 面积等于菱形面积的一半是解题的关键． 18．如图：菱形 ABCD 中，AB=2，∠B=120°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个 动点，则 PE+PB 的最小值是 ． 考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质。 专题：动点型。 分析：过点 E 作 PE⊥AB，交 AC 于 P，则 PA=PB，根据已知得到 PA=2EP，根据勾股定理 可求得 PE，PA 的值，从而可得到 PE+PB 的最小值． 第 14 页 共 21 页 解答：解：当点 P 在 AB 的中垂线上时，PE+PB 有最小值． 过点 E 作 PE⊥AB，交 AC 于 P，则 PA=PB． ∵∠B=120° ∴∠CAB=30° ∴PA=2EP ∵AB=2，E 是 AB 的中点 ∴AE=1 在 Rt△APE 中，PA2﹣PE2=1 ∴PE= ，PA= ∴PE+PB=PE+PA= ． 故答案为 ． 点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方 是对点 P 的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使 PE+PB 成为最小值． 19．如图：点 E、F 分别是菱形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°， 则∠CFE= 45 度． 考点：菱形的性质；等边三角形的判定。 专题：计算题。 分析：首先证明△ABE≌△ACF，然后推出 AE=AF，证明△AEF 是等边三角形，最后可求 出∠AFD，∠CFE 的度数． 解答：解：连接 AC， ∵菱形 ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°， ∴△ABC 为等边三角形，∠BCD=120° ∴AB=AC，∠ACF= ∠BCD=60°， ∴∠B=∠ACF， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°， 第 15 页 共 21 页 又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△ABE 与△ACF 中 ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， 又∠EAF=∠D=60°，则△AEF 是等边三角形， ∴∠AFE=60°， 又∠AFD=180°﹣45°﹣60°=75°， 则∠CFE=180°﹣75°﹣60°=45°． 故答案为 45． 点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理． 三．解答题（共 7 小题） 20．如图，四边形 ABCD 为菱形，已知 A（0，4），B（﹣3，0）． （1）求点 D 的坐标； （2）求经过点 C 的反比例函数解析式． 考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式。 专题：代数几何综合题；数形结合。 分析：（1）菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出 D 点的坐标． （2）求出 C 点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据 C 点的坐标可求出确定函数式． 解答：解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0）， ∴OB=3，OA=4， ∴AB=5． 在菱形 ABCD 中，AD=AB=5， ∴OD=1， ∴D（0，﹣1）． （2）∵BC∥AD，BC=AB=5， ∴C（﹣3，﹣5）． 设经过点 C 的反比例函数解析式为 y= ． 第 16 页 共 21 页 把（﹣3，﹣5）代入解析式得：k=15， ∴y= ． 点评：本题考查菱形的性质，四边相等，对边平行，以及待定系数法求反比例函数解析式． 21．如图所示，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，DE∥AC 交 BC 的延长线于点 E． 求证：DE= BE． 考点：菱形的性质。 专题：证明题。 分析：由四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，易得 BD⊥AC，∠DBC=30°，又由 DE∥AC， 即可证得 DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得 DE= BE． 解答：证明： 法一：如右图，连接 BD， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴BD⊥AC，∠DBC=30°， ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD， 即∠BDE=90°， ∴DE= BE． 法二：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AD∥BC，AC=AD， ∵AC∥DE， ∴四边形 ACED 是菱形， ∴DE=CE=AC=AD， 又四边形 ABCD 是菱形， ∴AD=AB=BC=CD， ∴BC=EC=DE，即 C 为 BE 中点， ∴DE=BC= BE． 第 17 页 共 21 页 点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思 想的应用． 22．如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB， 垂足为 E． （1）求∠ABD 的度数； （2）求线段 BE 的长． 考点：菱形的性质。 分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD 是等边三角形，∠ABD 是 60°； （2）先求出 OB 的长和∠BOE 的度数，再根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求 出． 解答：解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴∠ABD=60°；（4 分） （2）由（1）可知 BD=AB=4， 又∵O 为 BD 的中点， ∴OB=2（6 分）， 又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°， ∴∠BOE=30°， ∴BE=1．（8 分） 点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求解， 需要熟练掌握． 23．如图，四边形 ABCD 是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为 E、F． （1）求证：BE=BF； （2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE 与△CBF 全等，再根据全等三角 形对应边相等即可证明； 第 18 页 共 21 页 （2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线 乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=CB，∠A=∠C， ∵BE⊥AD、BF⊥CD， ∴∠AEB=∠CFB=90°， 在△ABE 和△CBF 中， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BE=BF． （2）解：如图， ∵对角线 AC=8，BD=6， ∴对角线的一半分别为 4、3， ∴菱形的边长为 =5， 菱形的面积=5BE= ×8×6， 解得 BE= ． 点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法． 24．如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上的一个动点（不与 A、B 重合），连接 DP 交对角 线 AC 于 E 连接 BE． （1）证明：∠APD=∠CBE； （2）若∠DAB=60°，试问 P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ， 为什么？ 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题；动点型。 第 19 页 共 21 页 分析：（1）可先证△BCE≌△DCE 得到∠EBC=∠EDC，再根据 AB∥DC 即可得到结论． （2）当 P 点运动到 AB 边的中点时，S△ADP= S 菱形 ABCD，证明 S△ADP= × AB•DP= S 菱形 ABCD 即可． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BC=CD，AC 平分∠BCD（2 分） ∵CE=CE ∴△BCE≌△DCE（4 分） ∴∠EBC=∠EDC 又∵AB∥DC ∴∠APD=∠CDP（5 分） ∴∠EBC=∠APD（6 分） （2）解：当 P 点运动到 AB 边的中点时，S△ADP= S 菱形 ABCD．（8 分） 理由：连接 DB ∵∠DAB=60°，AD=AB ∴△ABD 等边三角形（9 分） ∵P 是 AB 边的中点 ∴DP⊥AB（10 分） ∴S△ADP= AP•DP，S 菱形 ABCD=AB•DP（11 分） ∵AP= AB ∴S△ADP= × AB•DP= S 菱形 ABCD 即△ADP 的面积等于菱形 ABCD 面积的 ．（12 分） 点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当 P 点运动到 AB 边的中点时， S△ADP= S 菱形 ABCD 是难点． 25．已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点， 且 DE=BF．请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并 证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）． （1）连接 AF ； （2）猜想： AF = AE ； （3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据） 第 20 页 共 21 页 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：观察图形应该是连接 AF，可通过证△AFB 和△ADE 全等来实现 AF=AE． 解答：解：（1）如图，连接 AF； （2）AF=AE； （3）证明：四边形 ABCD 是菱形． ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABF=∠ADE， 在△ABF 和△ADE 中 ∴△ABF≌△ADE， ∴AF=AE． 点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明． 26．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm、点 P 从点 D 出发向点 A 运动，同时 点 Q 从点 B 出发向点 C 运动，点 P、Q 的速度都是 1cm/s． （1）在运动过程中，四边形 AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形 AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形 AQCP 的周长、面积． 考点：菱形的性质；矩形的性质。 第 21 页 共 21 页 专题：计算题。 分析：（1）设经过 x 秒后，四边形 AQCP 是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所 需的时间． （2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积． 解答：解：（1）经过 x 秒后，四边形 AQCP 是菱形 由题意得 16+x2=（8﹣x）2，解得 x=3 即经过 3 秒后四边形是菱形． （2）由第一问得菱形的边长为 5 ∴菱形 AQCP 的周长=5×4=20（cm） 菱形 AQCP 的面积=5×4=20（cm2） 点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用．