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- 2021-10-27 发布
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第十一章
三角形
11.2与三角形有关的
角
第1课时
学习目标
2.会运用三角形内角和定理进行计算.(难点)
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内
角和等于180°.(重点)
我的形状最
小,那我的
内角和最小.
我的形状最
大,那我的
内角和最大.
不对,我有一
个钝角,所以
我的内角和才
是最大的.
一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角
形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
导入新课 情境引入
我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.与
三角形的形状、大小无关,所以它们的说法都是错误的.
思考:除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角形的内角
和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的
方法,你知道怎
样操作吗?
锐角三角形
测量
480 720
600
600+480+720=1800
(学生运用学科工具—量角器测量演示)
剪拼
A
B C
2
1
(小组合作,讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程)
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明.从上面
的操作过程,你能发现证明的思路吗?
还有其他的拼
接方法吗?
讲授新课
探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在
一起.
三角形的内角和定理的证明
l
验证结论 三角形三个内角的和等于180°.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
已知:△ABC.
证法1:过点A作l∥BC,
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1 2
证法2:延长BC到D,过点C
作CE∥BA,
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
CB
A E
D
1 2
CB
A
E
D
F
证法3:过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行,同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°,
(两直线平行,同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°,
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想:同学们还有其他的方法吗?
思考:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心
是什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三
个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2 3
4
5
l
A
C B
1
2 34
5
l
P
6
m A
B C
D
E
C
24
A
B
3E
Q
D
F
P
G H
1
B G C
24
A
3E
DF
H
1
试一试:同学们按照上图中的辅助线,给出证明步骤?
知识要点
在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线
叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
u思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平
角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的
常用方法.
u作辅助线
例1 如图,在△ABC中, ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD
是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数.
A B
C
D
解:由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线,得
∠BAD= ∠BAC=20 °.1
2
在△ABD中,
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°=85°.
三角形的内角和定理的运用
【变式题】如图,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,
∠A=50°,∠B=70°,求∠EDC,∠BDC的度数.
解:∵∠A=50°,∠B=70°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠BCD= ∠ACB=30°.
∵DE∥BC,
∴∠EDC=∠BCD=30°,
在△BDC中,∠BDC=180°-∠B-∠BCD=80°.
1
2
例2 如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作
DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD=
80°,求∠D.
解:∵DE⊥AB,∴∠FEA=90°.
∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°,
∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.
又∵∠CFD=∠AFE,
∴∠CFD=60°.
∴在△CDF中,∠CFD=60°,∠FCD=80°,
∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
4
例3 在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍,
∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
解: 设∠B为x°,则∠A为(3x)°,
∠C为(x + 15)°, 从而有
3x + x +(x + 15)= 180.
解得 x = 33.
所以 3x = 99 , x + 15 = 48.
答: ∠A, ∠B, ∠C的度数分别为99°, 33°,
48°.
几何问题借助方程
来解. 这是一个重要
的数学思想.
【变式题】在△ABC中,∠A= ∠B= ∠ACB,
CD是△ABC的高,CE是∠ACB的平分线,求∠DCE
的度数.
1
2
1
3
解析:根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB,利
用三角形的内角和求出∠A,再求出∠ACB,∠ACD,
最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE
的度数.
比例关系可
考虑用方程
思想求角度.
解:∵∠A= ∠B= ∠ACB,
设∠A=x,∴∠B=2x,∠ACB=3x.
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴x+2x+3x=180°,得x=30°,
∴∠A=30°,∠ACB=90°.
∵CD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,
∴∠ACD=180°-90°-30°=60°.
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠ACE= ×90°=45°,
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°.
1
2
1
3
1
2
②在△ABC中,∠A :∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是
_________三角形 .
练一练:
①在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °,则∠ C= .
③在△ABC中, ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°,
则 ∠A= , ∠ B= ,∠ C= .
102°
直角
60° 50° 70°
北
.A
D 北 .C
B
.
东
E
例4 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏
东80 °方向,C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛
的视角∠ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是
多少度?
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.
解: ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中,
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的
视角∠ACB是90°.
北
.A
D 北 .C
B.
东
E
【变式题】如图,B岛在A岛的南偏西40°方向,C岛在A岛的
南偏东15°方向,C岛在B岛的北偏东80°方向,求从C岛看A,
B两岛的视角∠ACB的度数.
解:如图,
由题意得BE∥AD,∠BAD=40°,
∠CAD=15°,∠EBC=80°,
∴∠EBA=∠BAD=40°,
∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°.
D
E
当堂练习
1.求出下列各图中的x值.
x=70 x=60
x=30 x=50
2.如图,则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
BA
C
D 4
1
32
E
40°(
280 °
3.如图,四边形ABCD中,点E在BC上,∠A+∠ADE=180°,
∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数.
解:∵∠A+∠ADE=180°,
∴AB∥DE,
∴∠CED=∠B=78°.
又∵∠C=60°,
∴∠EDC=180°-(∠CED+∠C)
=180°-(78°+60°)
=42°.
4.如图,在△ABC中,∠B=42°,∠C=78°,AD
平分∠BAC.求∠ADC的度数.
解:∵∠B=42°,∠C=78°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD= ∠BAC=30°,
∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.
1
2
5.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分
∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BPC的度数.
解:∵△ABC中,∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
1
2
拓 展
【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A
之间的数量关系吗?
解:∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°- (∠ABC+∠ACB)
=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A .
1
2
1
2
1
2
1
2
课堂小结
三 角 形 的
内角和定理
证
明
了解添加辅助线
的方法及其目的
内
容
三角形内角和等于180 °
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