浙教版数学八年级下册《一元二次方程根与系数的关系》同步练习 5页

2·4 一元二次方程根与系数的关系(选学)[学生用书 A20]__ 1．[2012·烟台]下列一元二次方程两实数根的和为－4 的是 ( D ) A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0 2．[2013·雅安]已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x＝0 的两根，则 x1＋x2 的值是 ( B ) A．0 B．2 C．－2 D．4 3．已知方程 3x2－5x－7＝0 的两根为 x1，x2 则下列各式中正确的是 ( C ) A．x1＋x2＝5，x1·x2＝7 B．x1＋x2＝－5，x1·x2＝－7 C．x1＋x2＝5 3 ，x1·x2＝－7 3 D．x1＋x2＝－5 3 ，x1·x2＝－7 3 4．[2013·泸州]设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则x2 x1 ＋x1 x2 的值为( B ) A．5 B．－5 C．1 D．－1 5．[2012·攀枝花]已知一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两个根分别是 x1，x2，则 x12x2 ＋x1x22 的值为 ( A ) A．－3 B．3 C．－6 D．6 【解析】 ∵一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两个根分别是 x1，x2，∴x1＋x2＝3， x1·x2＝－1， ∴x12x2＋x1x22＝x1x2·(x1＋x2)＝－1×3＝－3. 6．[2012·张家界]已知 m 和 n 是方程 2x2－5x－3＝0 的两根，则1 m ＋1 n ＝__－5 3__． 【解析】 ∵m 和 n 是方程 2x2－5x－3＝0 的两根， ∴m＋n＝－－5 2 ＝5 2 ，m·n＝－3 2 ， ∴1 m ＋1 n ＝m＋n mn ＝ 5 2 －3 2 ＝－5 3. 7．[2012·枣庄]已知关于 x 的方程 x2＋mx－6＝0 的一个根为 2，则这个方程的另 一个根是__－3__． 【解析】 方法一：(根与系数的关系法)∵方程 x2＋mx－6＝0 的一个根为 2， 设另一个根为 x1， 则 2x1＝－6，解得 x1＝－3， 则方程的另一个根是－3. 方法二：(根代入法)把 x＝2 代入原方程，得 22＋2m－6＝0，解得 m＝1，把 m＝1 代入原方程，得 x2＋x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－3. 8．已知 2－ 5是关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，求方程的另一 个根． 解：设方程的另一个根为 x1，由 x1＋2－ 5＝4，得 x1＝2＋ 5. 9．已知关于 x 的方程 x2－mx－3＝0 的两实数根为 x1，x2，若 x1＋x2＝2，求 x1， x2 的值． 解：解法一：已知关于 x 的方程 x2－mx－3＝0 的两实数根为 x1，x2， 由根与系数的关系可得 x1·x2＝－3， 又∵x1＋x2＝2， ∴x1(2－x1)＝－3， 解得 x1＝3，x2＝－1 或 x1＝－1，x2＝3. 解法二：∵x1＋x2＝2， ∴m＝2. ∴原方程为 x2－2x－3＝0，即(x－3)(x＋1)＝0， 解得 x1＝3，x2＝－1 或 x1＝－1，x2＝3. 10．[2012·莱芜]已知 m，n 是方程 x2＋2 2x＋1＝0 的两根，则代数式 m2＋n2＋3mn 的值为 ( C ) A．9 B．±3 C．3 D．5 【解析】 ∵m，n 是方程 x2＋2 2x＋1＝0 的两根， ∴m＋n＝－2 2，mn＝1， ∴ m2＋n2＋3mn＝ （m＋n）2＋mn ＝ （－2 2）2＋1＝ 9＝3. 故选 C. 11．[2012·南通]设α，β是一元二次方程 x2＋3x－7＝0 的两个根，则α2＋4α＋β＝ __4__． 【解析】 因为α，β是一元二次方程 x2＋3x－7＝0 的两个根，则α2＋3α－7 ＝0，α＋β＝－3，∴α2＋4α＋β＝4. 12．[2013·呼和浩特]已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋3)x＋m2＝0 的 两个不相等的实数根，且满足1 α ＋1 β ＝－1，求 m 的值． 解：根据条件知： α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2， ∴ 1 α＋ 1 β＝β＋α αβ ＝－（2m＋3） m2 ＝－1， 即 m2－2m－3＝0， 所以，得 m2－2m－3＝0， （2m＋3）2－4m2>0. 解得 m＝3. 13．[2012·南充]关于 x 的一元二次方程 x2＋3x＋m－1＝0 的两个实数根分别为 x1， x2. (1)求 m 的取值范围； (2)若 2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求 m 的值． 解：(1)∵原方程有两个实数根， ∴Δ＝9－4(m－1)≥0，解得 m≤13 4 . (2)由韦达定理，得 x1＋x2＝－3，x1·x2＝m－1， ∴2×(－3)＋(m－1)＋10＝0，解得 m＝－3. 14．[2013·荆门改编]设 x1，x2 是方程 x2－x－2 013＝0 的两实数根，求 x13＋2 014x2 －2 013. 解：∵x2－x－2 013＝0， ∴x2＝x＋2 013，x＝x2－2 013， 又∵x1，x2 是方程 x2－x－2 013＝0 的两实数根， ∴x1＋x2＝1， ∴x13＋2 014x2－2 013 ＝x1·x12＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1·(x1＋2 013)＋2 013x2＋x2－2 013[来] ＝(x1＋2 013)＋2 013x1＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1＋x2＋2 013(x1＋x2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013 ＝2 014 15．[2013·南充]关于 x 的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0. (1)求出方程的根； (2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解：(1)根据题意得 m≠1 Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4， ∴x1＝ 2m＋2 2（m－1） ＝m＋1 m－1 x2＝ 2m－2 2（m－1） ＝1. (2)由(1)知 x1＝m＋1 m－1 ＝1＋ 2 m－1 ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 2 m－1 是正整数， 又∵m－1 是整数， ∴m－1＝1 或 2， ∴m＝2 或 3.