八年级数学上册第十三章轴对称专题课堂四等腰三角形的性质与判定课件新版 人教版 11页

第十三章　轴对称 专题课堂(四)　等腰三角形的性质与判定 一、等腰三角形的有关计算 1 ．如图，点 K ， B ， C 分别在 GH ， GA ， KA 上，且 AB ＝ AC ， BG ＝ BH ， KA ＝ KG ，求∠ BAC 的度数． 解：设∠ BAC ＝ x ，∵ BG ＝ BH ， KA ＝ KG ，∴∠ G ＝∠ H ＝ x ， 又∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 2 x ， 在△ ABC 中， 2 x ＋ 2 x ＋ x ＝ 180° ，∴∠ BAC ＝ x ＝ 36° 2 ．如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， BD ⊥ AD ，垂足为点 D ， 过 D 作 DE ∥ AC ，交 AB 于点 E ，若 AB ＝ 5 ，求线段 DE 的长． 二、等腰三角形中的有关证明 3 ．如图，在等腰 Rt△ OAB 中，∠ AOB ＝ 90° ， 等腰 Rt△ EOF 中，∠ EOF ＝ 90° ，连接 AE ， BF . 求证： (1) AE ＝ BF ； (2) AE ⊥ BF . 解： (1)∵△ OAB 与△ EOF 都是等腰直角三角形，∴ AO ＝ OB ， OE ＝ OF ， ∠ AOB ＝∠ EOF ＝ 90° ，∴∠ AOB －∠ EOB ＝∠ EOF －∠ EOB ， 即∠ AOE ＝∠ BOF ，∴△ AEO ≌△ BFO (SAS) ，∴ AE ＝ BF 　 (2) 延长 AE 交 BF 于 D ，交 OB 于 C ，则∠ BCD ＝∠ ACO . 由 (1) 知∠ OAC ＝∠ OBF ，∴∠ BDA ＝∠ AOB ＝ 90° ，∴ AE ⊥ BF 三、等腰三角形与等边三角形的图形变换 4 ．如图①，在△ ABC 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AE ＝ BE ， D 是 AE 上的一点，且 DE ＝ CE ，连接 BD ， CD . (1) 试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系，并说明理由； (2) 如图②，若将△ DCE 绕点 E 旋转一定的角度后， 试判断 BD 与 AC 的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3) 如图③，若将 (2) 中的等腰三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想 BD 与 AC 的数量关系，并说明理由； ②你能求出 BD 与 AC 的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数； 如果不能，请说明理由． 解： (1) BD ⊥ AC ， BD ＝ AC . 理由如下：延长 BD 交 AC 于点 F . ∵ AE ⊥ BC 于 E ，∴∠ BED ＝∠ AEC ＝ 90°. 又∵ AE ＝ BE ， DE ＝ CE ， ∴△ DBE ≌△ CAE ，∴ BD ＝ AC ，∠ DBE ＝∠ CAE ， ∠ BDE ＝∠ ACE .∵∠ BDE ＝∠ ADF ，∴∠ ADF ＝∠ ACE . ∵∠ ACE ＋∠ CAE ＝ 90° ，∴∠ ADF ＋∠ CAE ＝ 90° ，∴ BD ⊥ AC (2) BD 与 AC 的位置关系与数量关系不发生变化． 理由如下：∵∠ AEB ＝∠ DEC ＝ 90° ，∴∠ AEB ＋∠ AED ＝∠ DEC ＋∠ AED ，即∠ BED ＝∠ AEC .∵ BE ＝ AE ， DE ＝ CE ，∴△ BED ≌△ AEC ，∴ BD ＝ AC ，∠ BDE ＝∠ ACE ，∠ DBE ＝∠ CAE .∵∠ BFC ＝∠ ACD ＋∠ CDE ＋∠ BDE ＝∠ ACD ＋∠ ACE ＋∠ CDE ＝∠ ECD ＋∠ CDE ＝ 90° ，∴ BD ⊥ AC 　 (3) ① BD ＝ AC . 理由如下： ∵△ ABE 和 △ DCE 是等边三角形， ∴∠ AEB ＝ ∠ DEC ＝ 60° ， BE ＝ AE ， DE ＝ CE ， ∴∠ AEB ＋ ∠ AED ＝ ∠ DEC ＋ ∠ AED ，即 ∠ BED ＝ ∠ AEC ， ∴△ BED ≌△ AEC ， ∴ BD ＝ AC 　 ② 能， BD 与 AC 的夹角度数为 60° 或 120°