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- 2021-10-27 发布
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2020 年秋人教版八年级数学上册第 13 章 轴对称 测试卷(1)
一、选择题
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,
必须保证∠1 的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比( )
A.形状没有改变,大小没有改变
B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变
D.形状有改变,大小有改变
4.正方形的对称轴的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.正三角形△ABC 的边长为 3,依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1,使
AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1 的面积是( )
A. B. C. D.
6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10.若以点 C 为圆心,CB 为半径的圆恰好经过
AB 的中点 D,则 AC=( )
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A.5 B. C. D.6
7.观察下列图形,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
8.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
9.以下图形中对称轴的数量小于 3 的是( )
A. B. C. D.
10.下列图案中,轴对称图形是( )
A. B. C. D.
11.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,
是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
12.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴
对称图形的是( )
A. B. C. D.
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13.下列图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
14.如图,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
15.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形 ABCD,转动这个四
边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图 1,测得 AC=2,当∠B=60°时,如图 2,
AC=( )
A. B.2 C. D.2
16.P 是∠AOB 内一点,分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,连接 OP1、
OP2,则下列结论正确的是( )
A.OP1⊥OP2 B.OP1=OP2
C.OP1⊥OP2 且 OP1=OP2D.OP1≠OP2
17.如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点 M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点 P
关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的
延长线上.若 PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段 QR 的长为( )
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A.4.5cm B.5.5cm C.6.5cm D.7cm
18.已知 AD∥BC,AB⊥AD,点 E,点 F 分别在射线 AD,射线 BC 上.若点 E 与
点 B 关于 AC 对称,点 E 与点 F 关于 BD 对称,AC 与 BD 相交于点 G,则( )
A.1+tan∠ADB= B.2BC=5CF
C.∠AEB+22°=∠DEF D.4cos∠AGB=
二、填空题
19.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种
衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图 1,衣架杆
OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图 2,则此时 A,B 两点之间的距
离是 cm.
20.如图,有一个英语单词,四个字母都关于直线 l 对称,请在试卷上补全字母,
在答题卡上写出这个单词所指的物品 .
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21.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分.
A.一个正五边形的对称轴共有 条.
B.用科学计算器计算: +3tan56°≈ (结果精确到 0.01)
22.如图,△ABC 是等边三角形,高 AD、BE 相交于点 H,BC=4 ,在 BE 上截
取 BG=2,以 GE 为边作等边三角形 GEF,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的
面积为 .
23.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD,
DF=DE,则∠E= 度.
24.如图,直线 a∥b,△ABC 是等边三角形,点 A 在直线 a 上,边 BC 在直线 b
上,把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到△A′B′C′(如图①);继续以上的平移
得到图②,再继续以上的平移得到图③,…;请问在第 100 个图形中等边三角形
的个数是 .
25.如图,点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点,以 OB1 为一边,
构造等边△OB1A1(点 O,B1,A1 按逆时针方向排列),称为第一次构造;点 B2
是△OB1A1 的两条中线的交点,再以 OB2 为一边,构造等边△OB2A2(点 O,B2,
A2 按逆时针方向排列),称为第二次构造;以此类推,当第 n 次构造出的等边△
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OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一次重合时,构造停止.则构造出的最
后一个三角形的面积是 .
26.已知等边三角形 ABC 的边长是 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形,
得到第一个等边三角形 AB1C1,再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边
作等边三角形,得到第二个等边三角形 AB2C2,再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2
边上的高 AB3 为边作等边三角形,得到第三个等边 AB3C3;…,如此下去,这样
得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 .
27.如图,在平面直角坐标系中,点 O 是原点,点 B(0, ),点 A 在第一象
限且 AB⊥BO,点 E 是线段 AO 的中点,点 M 在线段 AB 上.若点 B 和点 E 关于
直线 OM 对称,则点 M 的坐标是( , ).
28.已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点
P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距
离分别是 .
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三、解答题
29.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过
点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数;
(2)若 CD=2,求 DF 的长.
30.如图,O 为△ABC 内部一点,OB=3 ,P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC
为对称轴的对称点.
(1)请指出当∠ABC 在什么角度时,会使得 PR 的长度等于 7?并完整说明 PR
的长度为何在此时会等于 7 的理由.
(2)承(1)小题,请判断当∠ABC 不是你指出的角度时,PR 的长度是小于 7
还是会大于 7?并完整说明你判断的理由.
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参考答案与试题解析
一、选择题
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分
完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
【解答】解:A、是轴对称图形,故 A 符合题意;
B、不是轴对称图形,故 B 不符合题意;
C、不是轴对称图形,故 C 不符合题意;
D、不是轴对称图形,故 D 不符合题意.
故选:A.
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称
轴,图形两部分折叠后可重合.
2.如图,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,
必须保证∠1 的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【考点】生活中的轴对称现象;平行线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,则∠2=60°,根据∠1、∠2 对
称,则能求出∠1 的度数.
【解答】解:要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,
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∠2+∠3=90°,
∵∠3=30°,
∴∠2=60°,
∴∠1=60°.
故选:C.
【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想.
3.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比( )
A.形状没有改变,大小没有改变
B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变
D.形状有改变,大小有改变
【考点】轴对称的性质.
【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答.
【解答】解:∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,
∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变.
故选:A.
【点评】本题考虑轴对称的性质,是基础题,熟记轴对称变换不改变图形的形状
与大小是解题的关键.
4.正方形的对称轴的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】轴对称的性质.
【分析】根据正方形的对称性解答.
【解答】解:正方形有 4 条对称轴.
故选:D.
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【点评】本题考查了轴对称的性质,熟记正方形的对称性是解题的关键.
5.正三角形△ABC 的边长为 3,依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1,使
AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1 的面积是( )
A. B. C. D.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】依题意画出图形,过点 A1 作 A1D∥BC,交 AC 于点 D,构造出边长为 1
的小正三角形△AA1D;由 AC1=2,AD=1,得点 D 为 AC1 中点,因此可求出 S△AA1C1=2S
△AA1D= ;同理求出 S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由 S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1
﹣S△BB1A1 求得结果.
【解答】解:依题意画出图形,如下图所示:
过点 A1 作 A1D∥BC,交 AC 于点 D,易知△AA1D 是边长为 1 的等边三角形.
又 AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1,
∴点 D 为 AC1 的中点,
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得 S△CC1B1=S△BB1A1= ,
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故选 B.
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质,难度不大.本题入口较宽,解题方
法多种多样,同学们可以尝试不同的解题方法.
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6.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=10.若以点 C 为圆心,CB 为半径的圆恰好经过
AB 的中点 D,则 AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考点】等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】连结 CD,直角三角形斜边上的中线性质得到 CD=DA=DB,利用半径相
等得到 CD=CB=DB,可判断△CDB 为等边三角形,则∠B=60°,所以∠A=30°,然
后根据含 30 度的直角三角形三边的关系先计算出 BC,再计算 AC.
【解答】解:连结 CD,如图,
∵∠C=90°,D 为 AB 的中点,
∴CD=DA=DB,
而 CD=CB,
∴CD=CB=DB,
∴△CDB 为等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴BC= AB= ×10=5,
∴AC= BC=5 .
故选 C.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质:三边都相等的三角形为等边三角
形;等边三角形的三个内角都等于 60°.也考查了直角三角形斜边上的中线性质
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以及含 30 度的直角三角形三边的关系.
7.观察下列图形,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选 A.
【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形
两部分沿对称轴折叠后可重合.
8.剪纸是我国传统的民间艺术,下列剪纸作品中,是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,
B、不是轴对称图形,
C、不是轴对称图形,
D、是轴对称图形,
故选:D.
【点评】本题考查了轴对称图形,轴对称图形的判断方法:把某个图象沿某条直
线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形.
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9.以下图形中对称轴的数量小于 3 的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据对称轴的概念求解.
【解答】解:A、有 4 条对称轴;
B、有 6 条对称轴;
C、有 4 条对称轴;
D、有 2 条对称轴.
故选 D.
【点评】本题考查了轴对称图形,解答本题的关键是掌握对称轴的概念:如果一
个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图
形,这条直线叫做对称轴.
10.下列图案中,轴对称图形是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故此选项错误;
B、不是轴对称图形,故此选项错误;
C、不是轴对称图形,故此选项错误;
D、是轴对称图形,故此选项正确;
故选;D.
【点评】本题考查了轴对称图形,图形两部分沿对称轴折叠后可重合,轴对称图
形的关键是寻找对称轴.
11.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,
第 14页(共 33页)
是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项正确.
故选 D.
【点评】本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形
两部分沿对称轴折叠后可重合.
12.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴
对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选 A.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形
两部分沿对称轴折叠后可重合.
13.下列图案是轴对称图形的是( )
第 15页(共 33页)
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解.
【解答】解:A、是轴对称图形,
B、不是轴对称图形,
C、不是轴对称图形,
D、不是轴对称图形,
故选:A.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形
两部分折叠后可重合.
14.如图,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】轴对称的性质.
【分析】根据轴对称的性质作出选择.
【解答】解:如图所示,直角坐标系中的五角星关于 y 轴对称的图形在第一象限.
故选:A.
第 16页(共 33页)
【点评】本题考查了轴对称的性质.此题难度不大,采用了“数形结合”的数学思
想.
15.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形 ABCD,转动这个四
边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图 1,测得 AC=2,当∠B=60°时,如图 2,
AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的应用;正方形的性质.
【分析】图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边长,图 2 根据有一个角是 60°
的等腰三角形是等边三角形即可求得.
【解答】解:如图 1,
∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°,
∴四边形 ABCD 是正方形,
连接 AC,则 AB2+BC2=AC2,
∴AB=BC= = = ,
如图 2,∠B=60°,连接 AC,
∴△ABC 为等边三角形,
∴AC=AB=BC= .
【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质,利
用勾股定理得出正方形的边长是关键.
第 17页(共 33页)
16. P 是∠AOB 内一点,分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,连接
OP1、OP2,则下列结论正确的是( )
A.OP1⊥OP2 B.OP1=OP2
C.OP1⊥OP2 且 OP1=OP2D.OP1≠OP2
【考点】轴对称的性质.
【专题】压轴题.
【分析】作出图形,根据轴对称的性质求出 OP1、OP2 的数量与夹角即可得解.
【解答】解:如图,∵点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2,
∴OP1=OP2=OP,
∠AOP=∠AOP1,∠BOP=∠BOP2,
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2,
=2(∠AOP+∠BOP),
=2∠AOB,
∵∠AOB 度数任意,
∴OP1⊥OP2 不一定成立.
故选:B.
【点评】本题考查了轴对称的性质,是基础题,熟练掌握性质是解题的关键,作
出图形更形象直观.
17.如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点 M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点 P
关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的
延长线上.若 PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,则线段 QR 的长为( )
第 18页(共 33页)
A.4.5cm B.5.5cm C.6.5cm D.7cm
【考点】轴对称的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】利用轴对称图形的性质得出 PM=MQ,PN=NR,进而利用 MN=4cm,得
出 NQ 的长,即可得出 QR 的长.
【解答】解:∵点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的
对称点 R 落在 MN 的延长线上,
∴PM=MQ,PN=NR,
∵PM=2.5cm,PN=3cm,MN=4cm,
∴RN=3cm,MQ=2.5cm,
即 NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5(cm),
则线段 QR 的长为:RN+NQ=3+1.5=4.5(cm).
故选:A.
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质,得出 PM=MQ,PN=NR 是解题关键.
18.已知 AD∥BC,AB⊥AD,点 E,点 F 分别在射线 AD,射线 BC 上.若点 E 与
点 B 关于 AC 对称,点 E 与点 F 关于 BD 对称,AC 与 BD 相交于点 G,则( )
A.1+tan∠ADB= B.2BC=5CF
第 19页(共 33页)
C.∠AEB+22°=∠DEF D.4cos∠AGB=
【考点】轴对称的性质;解直角三角形.
【专题】几何图形问题;压轴题.
【分析】连接 CE,设 EF 与 BD 相交于点 O,根据轴对称性可得 AB=AE,并设为 1,
利用勾股定理列式求出 BE,再根据翻折的性质可得 DE=BF=BE,再求出 BC=1,然
后对各选项分析判断利用排除法求解.
【解答】解:如图,连接 CE,设 EF 与 BD 相交于点 O,
由轴对称性得,AB=AE,设为 1,
则 BE= = ,
∵点 E 与点 F 关于 BD 对称,
∴DE=BF=BE= ,
∴AD=1+ ,
∵AD∥BC,AB⊥AD,AB=AE,
∴四边形 ABCE 是正方形,
∴BC=AB=1,
1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ,故 A 正确;
CF=BF﹣BC= ﹣1,
∴2BC=2×1=2,
5CF=5( ﹣1),
∴2BC≠5CF,故 B 错误;
∠AEB+22°=45°+22°=67°,
∵BE=BF,∠EBF=∠AEB=45°,
∴∠BFE= =67.5°,
∴∠DEF=∠BFE=67.5°,故 C 错误;
由勾股定理得,OE2=BE2﹣BO2=( )2﹣( )2= ,
∴OE= ,
∵∠EBG+∠AGB=90°,
∠EBG+∠BEF=90°,
第 20页(共 33页)
∴∠AGB=∠BEF,
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB= = = ,4cos∠AGB=2 ,故 D 错误.
故选:A.
【点评】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性
质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为 1 可使求解过程
更容易理解.
二、填空题
19.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种
衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图 1,衣架杆
OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图 2,则此时 A,B 两点之间的距
离是 18 cm.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】应用题.
【分析】根据有一个角是 60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△AOB 是等边三角形,
∴AB=OA=OB=18cm,
第 21页(共 33页)
故答案为:18
【点评】此题考查等边三角形问题,关键是根据有一个角是 60°的等腰三角形的
等边三角形进行分析.
20.如图,有一个英语单词,四个字母都关于直线 l 对称,请在试卷上补全字母,
在答题卡上写出这个单词所指的物品 书 .
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的性质,组成图形,即可解答.
【解答】解:如图,
这个单词所指的物品是书.
故答案为:书.
【点评】本题考查了轴对称图形,解决本题的关键是根据轴对称的性质,作出图
形.
21.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按所选做的第一题计分.
A.一个正五边形的对称轴共有 5 条.
B.用科学计算器计算: +3tan56°≈ 10.02 (结果精确到 0.01)
【考点】轴对称的性质;计算器—数的开方;计算器—三角函数.
【专题】常规题型;计算题.
【分析】A.过正五边形的五个顶点作对边的垂线,可得对称轴.
B.先用计算器求出 、tan56°的值,再计算加减运算.
【解答】解:(A)如图,
正五边形的对称轴共有 5 条.
故答案为:5.
(B) ≈5.5678,tan56°≈1.4826,
则 +3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02
故答案是:10.02.
第 22页(共 33页)
【点评】A 题考查了轴对称的性质,熟记正五边形的对称性是解题的关键.B 题
考查了计算器的使用,要注意此题是精确到 0.01.
22.如图,△ABC 是等边三角形,高 AD、BE 相交于点 H,BC=4 ,在 BE 上截
取 BG=2,以 GE 为边作等边三角形 GEF,则△ABH 与△GEF 重叠(阴影)部分的
面积为 .
【考点】等边三角形的判定与性质;三角形的重心;三角形中位线定理.
【专题】压轴题.
【分析】根据等边三角形的性质,可得 AD 的长,∠ABG=∠HBD=30°,根据等边
三角形的判定,可得△MEH 的形状,根据直角三角形的判定,可得△FIN 的形状,
根据面积的和差,可得答案.
【解答】解:如图所示:
,
由△ABC 是等边三角形,高 AD、BE 相交于点 H,BC=4 ,得
AD=BE= BC=6,∠ABG=∠HBD=30°.
由直角三角的性质,得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°.
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由对顶角相等,得∠MHE=∠BHD=60°
由 BG=2,得 EG=BE﹣BG=6﹣2=4.
由 GE 为边作等边三角形 GEF,得
FG=EG=4,∠EGF=∠GEF=60°,
△MHE 是等边三角形;
S△ABC= AC•BE= AC×EH×3
EH= BE= ×6=2.
由三角形外角的性质,得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°,
由∠IBG=∠BIG=30°,得 IG=BG=2,
由线段的和差,得 IF=FG﹣IG=4﹣2=2,
由对顶角相等,得∠FIN=∠BIG=30°,
由∠FIN+∠F=90°,得∠FNI=90°,
由锐角三角函数,得 FN=1,IN= .
S 五边形 NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN
= ×42﹣ ×22﹣ × ×1= ,
故答案为: .
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质,利用了等边三角形的判定与性质,
直角三角形的判定,利用图形的割补法是求面积的关键.
23.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 B、C、D、E 在同一直线上,且 CG=CD,
DF=DE,则∠E= 15 度.
【考点】等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据等边三角形三个角相等,可知∠ACB=60°,根据等腰三角形底角相
等即可得出∠E 的度数.
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【解答】解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ACB=60°,∠ACD=120°,
∵CG=CD,
∴∠CDG=30°,∠FDE=150°,
∵DF=DE,
∴∠E=15°.
故答案为:15.
【点评】本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为 180°以及等腰三角形的性
质,难度适中.
24.如图,直线 a∥b,△ABC 是等边三角形,点 A 在直线 a 上,边 BC 在直线 b
上,把△ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到△A′B′C′(如图①);继续以上的平移
得到图②,再继续以上的平移得到图③,…;请问在第 100 个图形中等边三角形
的个数是 400 .
【考点】等边三角形的判定与性质;平移的性质.
【专题】规律型.
【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形,又观察图可得,第 n 个图形中大等
边三角形有 2n 个,小等边三角形有 2n 个,据此求出第 100 个图形中等边三角形
的个数.
【解答】解:如图①
∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∵A′B′∥AB,BB′=B′C= BC,
∴B′O= AB,CO= AC,
∴△B′OC 是等边三角形,同理阴影的三角形都是等边三角形.
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又观察图可得,第 1 个图形中大等边三角形有 2 个,小等边三角形有 2 个,
第 2 个图形中大等边三角形有 4 个,小等边三角形有 4 个,
第 3 个图形中大等边三角形有 6 个,小等边三角形有 6 个,…
依次可得第 n 个图形中大等边三角形有 2n 个,小等边三角形有 2n 个.
故第 100 个图形中等边三角形的个数是:2×100+2×100=400.
故答案为:400.
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质,解题的关键是
据图找出规律.
25.如图,点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点,以 OB1 为一边,
构造等边△OB1A1(点 O,B1,A1 按逆时针方向排列),称为第一次构造;点 B2
是△OB1A1 的两条中线的交点,再以 OB2 为一边,构造等边△OB2A2(点 O,B2,
A2 按逆时针方向排列),称为第二次构造;以此类推,当第 n 次构造出的等边△
OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一次重合时,构造停止.则构造出的最
后一个三角形的面积是 .
【考点】等边三角形的性质.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】由于点 B1 是△OBA 两条中线的交点,则点 B1 是△OBA 的重心,而△OBA
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是等边三角形,所以点 B1 也是△OBA 的内心,∠BOB1=30°,∠A1OB=90°,由于
每构造一次三角形,OBi 边与 OB 边的夹角增加 30°,所以还需要(360﹣90)÷
30=9,即一共 1+9=10 次构造后等边△OBnAn 的边 OAn 与等边△OBA 的边 OB 第一
次重合;又因为任意两个等边三角形都相似,根据相似三角形的面积比等于相似
比的平方,由△OB1A1 与△OBA 的面积比为 ,求得构造出的最后一个三角形的
面积.
【解答】方法一:
解:∵点 B1 是面积为 1 的等边△OBA 的两条中线的交点,
∴点 B1 是△OBA 的重心,也是内心,
∴∠BOB1=30°,
∵△OB1A1 是等边三角形,
∴∠A1OB=60°+30°=90°,
∵每构造一次三角形,OBi 边与 OB 边的夹角增加 30°,
∴还需要(360﹣90)÷30=9,即一共 1+9=10 次构造后等边△OBnAn 的边 OAn 与
等边△OBA 的边 OB 第一次重合,
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10.
如图,过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M,
∵cos∠B1OM=cos30°= = ,
∴ = = = ,即 = ,
∴ =( )2= ,即 S△OB1A1= S△OBA= ,
同理,可得 =( )2= ,即 S△OB2A2= S△OB1A1=( )2= ,
…,
∴S△OB10A10= S△OB9A9=( )10= ,即构造出的最后一个三角形的面积是 .
故答案为 .
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方法二:
∵∠AOA1=30°,∠A1OA2=30°,∠AOB=60°,
∴每构造一次增加 30°,
∴n= =10,
∵△OBA∽△OB1A1,
∴
⇒
,
∵S△OBA=1,
∴S△OB1A1= ,q= ,
∴S△OB10A10= .
【点评】本题考查了等边三角形的性质,三角函数的定义,相似三角形的判定与
性质等知识,有一定难度.根据条件判断构造出的最后一个三角形为等边△
OB10A10 及利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,得出△OB1A1 与△OBA 的
面积比为 ,进而总结出规律是解题的关键.
26.已知等边三角形 ABC 的边长是 2,以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形,
得到第一个等边三角形 AB1C1,再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边
作等边三角形,得到第二个等边三角形 AB2C2,再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2
边上的高 AB3 为边作等边三角形,得到第三个等边 AB3C3;…,如此下去,这样
得到的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ( )n .
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【考点】等边三角形的性质.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高,利用三线合一得到 B1 为 BC
的中点,求出 BB1 的长,利用勾股定理求出 AB1 的长,进而求出第一个等边三角
形 AB1C1 的面积,同理求出第二个等边三角形 AB2C2 的面积,依此类推,得到第
n 个等边三角形 ABnCn 的面积.
【解答】解:∵等边三角形 ABC 的边长为 2,AB1⊥BC,
∴BB1=1,AB=2,
根据勾股定理得:AB1= ,
∴第一个等边三角形 AB1C1 的面积为 ×( )2= ( )1;
∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ,AB2⊥B1C1,
∴B1B2= ,AB1= ,
根据勾股定理得:AB2= ,
∴第二个等边三角形 AB2C2 的面积为 ×( )2= ( )2;
依此类推,第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 ( )n.
故答案为: ( )n.
【点评】此题考查了等边三角形的性质,属于规律型试题,熟练掌握等边三角形
的性质是解本题的关键.
27.如图,在平面直角坐标系中,点 O 是原点,点 B(0, ),点 A 在第一象
限且 AB⊥BO,点 E 是线段 AO 的中点,点 M 在线段 AB 上.若点 B 和点 E 关于
直线 OM 对称,则点 M 的坐标是( 1 , ).
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【考点】轴对称的性质;坐标与图形性质;解直角三角形.
【专题】压轴题.
【分析】根据点 B 的坐标求出 OB 的长,再连接 ME,根据轴对称的性质可得
OB=OE,再求出 AO 的长度,然后利用勾股定理列式求出 AB 的长,利用∠A 的余
弦值列式求出 AM 的长度,再求出 BM 的长,然后写出点 M 的坐标即可.
【解答】解:∵点 B(0, ),
∴OB= ,
连接 ME,
∵点 B 和点 E 关于直线 OM 对称,
∴OB=OE= ,
∵点 E 是线段 AO 的中点,
∴AO=2OE=2 ,
根据勾股定理,AB= = =3,
cosA= = ,
即 = ,
解得 AM=2,
∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1,
∴点 M 的坐标是(1, ).
故答案为:(1, ).
第 30页(共 33页)
【点评】本题考查了轴对称的性质,坐标与图形性质,解直角三角形,熟练掌握
轴对称的性质并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
28.已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点
P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的距离是 2,则点 P 到 BC 的最小距离和最大距
离分别是 1,7 .
【考点】等边三角形的性质;平行线之间的距离.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据题意画出相应的图形,直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1,直
线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2,当 P 与 N 重合时,HN 为 P 到 BC 的最小
距离;当 P 与 M 重合时,MQ 为 P 到 BC 的最大距离,根据题意得到△NFG 与△
MDE 都为等边三角形,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出 DB 与
FB 的长,以及 CG 与 CE 的长,进而由 DB+BC+CE 求出 DE 的长,由 BC﹣BF﹣CG
求出 FG 的长,求出等边三角形 NFG 与等边三角形 MDE 的高,即可确定出点 P
到 BC 的最小距离和最大距离.
【解答】解:根据题意画出相应的图形,直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1,
直线 NG 与直线 ME 都与 AC 的距离为 2,
当 P 与 N 重合时,HN 为 P 到 BC 的最小距离;当 P 与 M 重合时,MQ 为 P 到 BC
的最大距离,
根据题意得到△NFG 与△MDE 都为等边三角形,
∴DB=FB= = ,CE=CG= = ,
∴DE=DB+BC+CE= + + = ,FG=BC﹣BF﹣CG= ,
∴NH= FG=1,MQ= DE=7,
则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1,7.
故答案为:1,7.
第 31页(共 33页)
【点评】此题考查了等边三角形的性质,以及平行线间的距离,作出相应的图形
是解本题的关键.
三、解答题
29.如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DE∥AB,过
点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长线于点 F.
(1)求∠F 的度数;
(2)若 CD=2,求 DF 的长.
【考点】等边三角形的判定与性质;含 30 度角的直角三角形.
【专题】几何图形问题.
【分析】(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°,根据三角形内角和定理即
可求解;
(2)易证△EDC 是等边三角形,再根据直角三角形的性质即可求解.
【解答】解:(1)∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°,
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
第 32页(共 33页)
∴△EDC 是等边三角形.
∴ED=DC=2,
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质,以及直角三角形的性质,30 度
的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
30.如图,O 为△ABC 内部一点,OB=3 ,P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC
为对称轴的对称点.
(1)请指出当∠ABC 在什么角度时,会使得 PR 的长度等于 7?并完整说明 PR
的长度为何在此时会等于 7 的理由.
(2)承(1)小题,请判断当∠ABC 不是你指出的角度时,PR 的长度是小于 7
还是会大于 7?并完整说明你判断的理由.
【考点】轴对称的性质;三角形三边关系.
【分析】(1)连接 PB、RB,根据轴对称的性质可得 PB=OB,RB=OB,然后判断
出点 P、B、R 三点共线时 PR=7,再根据平角的定义求解;
(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答.
【解答】解:(1)如图,∠ABC=90°时,PR=7.
证明如下:连接 PB、RB,
∵P、R 为 O 分别以直线 AB、直线 BC 为对称轴的对称点,
∴PB=OB=3 ,RB=OB=3 ,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°,
∴点 P、B、R 三点共线,
第 33页(共 33页)
∴PR=2×3 =7;
(2)PR 的长度是小于 7,
理由如下:∠ABC≠90°,
则点 P、B、R 三点不在同一直线上,
∴PB+BR>PR,
∵PB+BR=2OB=2×3 =7,
∴PR<7.
【点评】本题考查了轴对称的性质,三角形的任意两边之和大于第三边的性质,
熟记各性质是解题的关键.
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