四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学理科试题 4页

1 成都石室中学 2020～2021 学年度高 2022 届十月考试 数学试题（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．直线 3 2 3y x   的倾斜角是（ ） A．30 B． 60 C．120 D．150 2. 若直线 022  yax 与直线8 4 0x ay   平行，则 a 的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 4 或 4 D. 2 3．已知椭圆方程为 2 2 5x ky  的一个焦点是 (0,2) ，那么 k  （ ） A. 5 9 B. 5 7 C.1 D. 5 3 4．若 )1,2( P 为圆 25)1( 22  yx 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ） A． 03  yx B． 032  yx C． 01  yx D． 052  yx 5．平移直线 1 0x y   使其与圆 2 2( 2) ( 1) 1x y    相切，则平移的最短距离为（ ） A. 2 B． 2 2 C. 2 1 D. 2 1 6．已知 ，  ， ， 表示不同的平面， l 为直线，下列命题中正确的是（ ） A． ,        P B． ,         C． , ,        P P P D． , , l l          I 7. 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为（ ） A． π B． 3π 4 C． π 2 D． π 4 8．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 2 ，直线 l 与椭圆C 交于 ,A B 两点， 且线段 AB 的中点为  2,1M  ，则直线 l 的斜率为（ ） A. 1 3 B. 3 2 C. 1 2 D.1 9．已知圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36 和点 A(2,2)，B(－1，－2)，若点 C 在圆上 且△ABC 的面积为5 2 ，则满足条件的点 C 的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2 10．已知 F 是椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左焦点，经过原点O的直线l 与椭圆 E 交 于 P ， Q 两点，若 3PF QF ，且 120PFQ   ，则椭圆 E 的离心率为（ ） A． 7 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 3 2 11．已知圆  2 2: 2 2C x y   ,直线 : 2l y kx  ,若直线l 上存在点 P ，过点 P 引圆的两 条切线 1 2,l l ,使得 1 2l l ,则实数 k 的取值范围是（ ） A．   0,2 3 2 3,     B．[ 2 3 , 2 3 ] C． ,0 D．0, )  12．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的两个焦点 1F ， 2F 与短轴的两个端点 1B ， 2B 都 在圆 2 2 1x y  上， P 是C 上除长轴端点外的任意一点， 1 2F PF 的平分线交C 的长轴于 点 M ，则 1 2MB MB 的取值范围是（ ） A． 2, 5 B． 2, 6 C． 2, 7 D． 2,2 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，请将答案写在答题卡上。 13．已知椭圆 C： 2 2 125 16 x y  的两个焦点为 1F 、 2F ，过 1F 的直线交椭圆于 ,A B 两点，则 2 BF A 的周长为________. 14．圆心在直线 2 7 0x y   上的圆C 与 x轴交于两点 ( 2,0), ( 4,0)A B  ，则圆C 的方程 为_____________. 15．已知 P 是椭圆 2 2 14  x y 上的一点， F 为右焦点，点 A 的坐标为 (0, 6) ，则 AFP△ 周长的最大值为_______. 16．已知点 P 在圆 2 2:( 4) 4C x y   上，点 (6,0)A ，M 为 AP 的中点，O为坐标原点， 则 tan MOA 的最大值为________. 3 三、解答题（本题共 6 个小题，共 70 分） 17．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 3，宽为 2，边 ,AB AD 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，点 A 与坐标原点重合．将矩形折叠，使点 A 落在线段 DC 上， 已知折痕所在直线的斜率为 1 2  . （1）求折痕所在的直线方程； （2）若点 P 为 BC 的中点，求 PEF 的面积. 18．（12 分）已知坐标平面上两个定点 (0,4), (0,0)A O ，动点 ( , )M x y 满足：| | 3| |MA OM ． （1）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为 C ，过点 1( ,1)2N  的直线l 被C 所截得的线段的长 2 2 ，求直线 l 的方程． 19．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形， PCD 为等边三 角形，平面 PAC 平面 PCD， PA CD ， 2CD  ， 3AD  ， （Ⅰ）设G H， 分别为 PB AC， 的中点，求证： GH  平面 PAD ； （Ⅱ）求证： PA平面 PCD； （Ⅲ）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值. 4 20．（12 分）已知椭圆 C： 2 2 2 2 x y a b  ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，点 A 为椭 圆的左顶点，点 B 为上顶点，|AB|＝ 7 且|AF1|+|AF2|＝4. （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F2 作直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点，记 AM、AN 的斜率分别为 k1、k2， 若 k1+k2＝3，求直线 l 的方程. 21．（12 分）如图，圆 2 2( ): 2 1M x y   ，点 ( 1, )P t 为直线 : 1l x   上一动点，过点 P 引圆 M 的两条切线，切点分别为 A,B ． （1）若 1t  ，求两条切线所在的直线方程； （2）求直线 AB 的方程，并写出直线 AB 所经过的定点的坐标； （3）若两条切线 ,PA PB 与 y 轴分别交于 S T、 两点，求 ST 的最小值． 22．（12 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三 角形的三个顶点，且椭圆经过点 22, 2N       . （1）求椭圆 M 的方程； （2）若直线  0y kx m k   与圆 2 2 3: 4E x y  相切于点 P ，且交椭圆 M 于 ,A B 两点， 射线 OP 于椭圆 M 交于点Q ，设 OAB 的面积与 QAB 的面积分别为 1 2,S S ． ①求 1S 的最大值； ②当 1S 取得最大值时，求 1 2 S S 的值．