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- 2021-10-26 发布
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2019-2020学年四川省成都市金牛区八年级(下)期末数学试卷
一.选择题(共10小题)
1.若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x≠﹣1 C.x=1 D.x=﹣1
2.下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.12a2b2=3a•4ab2 B.(x+4)(x﹣4)=x2﹣16
C.am+an=a(m+n) D.x﹣1=x(1﹣)
4.若m>n,则下列判断正确的是( )
A.m﹣2<n﹣2 B. C.6m<6n D.﹣8m>﹣8n
5.若一个多边形的内角和是900°,则这个多边形的边数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.下列等式一定成立的是( )
A.=﹣ B.=
C.= D.=
7.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB=DC,AD∥BC
8.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ABO=60°,若矩形的对角线长为6.则线段AD的长是( )
A.3 B.4 C.2 D.3
9.如图,在△ABC中,∠BAC=70°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
10.如图,在▱ABCD中,∠ADO=30°,AB=6,点A的坐标为(﹣2,0),则点C的坐标为( )
A.(6,) B.(3,2) C.(6,2) D.(6,3)
二.填空题(共4小题)
11.分式的值为0,则x的值为 .
12.若x2+5x+a=(x﹣3)(x+b),则a+b= .
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=9,AB=15,则DE= .
14.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFC为直角,若DF=2cm.BC=16cm,则AC的长为 cm.
三.解答题
15.计算
(1)因式分解:5a2b2﹣20ab2+20b2;
(2)解方程:+=5.
16.先化简,再求值:÷(x﹣),其中x=2.
17.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.并写出点B的对应点B1的坐标;
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.
18.如图,在▱ABCD中,∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E,与AD交于点F,且点F恰好为边AD的中点,连接AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)若AG⊥BE于点G,BC=6,AG=2,求EF的长.
19.水果店小明先用1600元购进一批葡萄,供不应求,又用8000元购进第二批这种葡萄,第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍,但单价比第一批贵2元/斤.
(1)第一批葡萄的进货单价是多少元/斤?
(2)若两批购进的葡萄都按同一价格销售,两批葡萄全部售完后,获利不少于2400元,那么葡萄的销售单价至少为多少元/斤?
20.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F为BC边的中点,连接EF,DF.
(1)求证:EF=DF;
(2)若BC=6.求△DEF的周长;
(3)在(2)的条件下,若EC=BF,求四边形EFDA的面积.
B卷
一.填空题
21.已知m2+n2=2mn,则+的值等于 .
22.若关于x的分式方程+=6有增根,则a的值为 .
23.如图,经过点(4,0)的直线:y=﹣x+b与直线:y=ax交于点P(n,3),则不等式组﹣x+b≥ax>0的解集是 .
24.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边AD、BC上.将该纸片沿EF折叠,使点A的对应点G落在边DC上,折痕EF与AG交于点Q,点K为GH的中点,则随着折痕EF位置的变化,△GQK周长的最小值为 .
25.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=4,N是斜边AB上方一点,连接BN,点D是BC的中点,DM垂直平分BN,交AB于点E,连接DN,交AB于点F,当△ANF为直角三角形时,线段AE的长为 .
二.解答题
26.成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元,用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共40件,其中甲种玩具的件数少于20件,并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元,求商场共有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,若每件甲种玩具售价32元,每件乙种玩具售价50元.请求出卖完这批玩具共获利w(元)与甲种玩具进货量m(件)之间的函数关系式,并求出最大利润为多少元?
27.已知四边形ABCD为矩形,对角线AC、BD相交于点O,∠CDO=30°.点E、F为矩形边上的两个动点,且∠EOF=60°.
(1)如图1,当点E、F分别位于AB、AD边上时.
①求证:∠DOF=∠AOE;
②若∠OEB=75°,求证:DF=AE.
(2)如图2,当点E、F同时位于AB边上时,若∠OFB=75°,试探究线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由.
28.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0),点C为线段AB的中点.
(1)求点B的坐标;
(2)点P为直线AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线,与直线OC交于点Q,设点P的横坐标为m,△OPQ的面积为S,求S与m的函数解析式;
(3)当点P在直线AB上运动时,在平面直角坐标系内是否存在一点N,使得以O,B,P,N为顶点的四边形为矩形,若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
2019-2020学年四川省成都市金牛区八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x≠﹣1 C.x=1 D.x=﹣1
【分析】根据分式有意义的条件:分母不等于0即可求解.
【解答】解:根据题意得:x﹣1≠0,
解得:x≠1.
故选:A.
2.下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
C、不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、是中心对称图形,故此选项符合题意;
故选:D.
3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.12a2b2=3a•4ab2 B.(x+4)(x﹣4)=x2﹣16
C.am+an=a(m+n) D.x﹣1=x(1﹣)
【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式.要确定从左到右的变形中是否为因式分解,只需根据定义来确定.
【解答】解:A、左边不是多项式的形式,不是因式分解,故此选项不符合题意;
B、是整式的乘法,不是因式分解,故此选项不符合题意;
C、am+an=a(m+n)是因式分解,故此选项符合题意;
D、右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,故此选项不符合题意.
故选:C.
4.若m>n,则下列判断正确的是( )
A.m﹣2<n﹣2 B. C.6m<6n D.﹣8m>﹣8n
【分析】根据不等式的基本性质,逐项判断即可.
【解答】解:A、将m>n两边都减去2得:m﹣2>n﹣2,故此选项错误;
B、将m>n两边都除以3得:>,故此选项正确;
C、将m>n两边都乘6得:6m>6n,故此选项错误;
D、将m>n两边都乘﹣8得:﹣8m<﹣8n,故此选项错误.
故选:B.
5.若一个多边形的内角和是900°,则这个多边形的边数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°,列式求解即可.
【解答】解:设这个多边形是n边形,根据题意得,
(n﹣2)•180°=900°,
解得n=7.
故选:C.
6.下列等式一定成立的是( )
A.=﹣ B.=
C.= D.=
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案.
【解答】解:A、原式=,原变形错误,故此选项不符合题意;
B、原式=,原变形正确,故此选项符合题意;
C、原式=,原变形错误,故此选项不符合题意;
D、原式=±,原变形错误,故此选项不符合题意;
故选:B.
7.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB=DC,AD∥BC
【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可.
【解答】解:A、∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
B、∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
C、∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意;
D、AB=DC,AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
故选:D.
8.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ABO=60°,若矩形的对角线长为6.则线段AD的长是( )
A.3 B.4 C.2 D.3
【分析】由矩形的性质可得AC=2AO,BD=2BO,AC=BD=6,可证△AOB是等边三角形,可得AB=3=OA,由勾股定理可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=2AO,BD=2BO,AC=BD=6,
∴AO=OB=3,
∵∠ABO=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=3=OA,
∴AD===3,
故选:A.
9.如图,在△ABC中,∠BAC=70°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出∠DAC=∠C=30°,进而求出∠BAD的度数.
【解答】解:由作图可知:MN垂直平分线段AC,
可得DA=DC,
则∠DAC=∠C=30°,
故∠BAD=70°﹣30°=40°,
故选:A.
10.如图,在▱ABCD中,∠ADO=30°,AB=6,点A的坐标为(﹣2,0),则点C的坐标为( )
A.(6,) B.(3,2) C.(6,2) D.(6,3)
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出DO的长,进而结合平行四边形的性质得出DC的长,即可得出点C的坐标.
【解答】解:∵点A的坐标为(﹣2,0),
∴AO=2,
∵∠ADO=30°,
∴tan30°===,
解得:DO=2,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=6,
∴C点坐标为:(6,2).
故选:C.
二.填空题(共4小题)
11.分式的值为0,则x的值为 1 .
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案.
【解答】解:∵分式的值为0,
∴|x|﹣1=0且(x+2)(x+1)≠0,
解得:x=1.
故答案为:1.
12.若x2+5x+a=(x﹣3)(x+b),则a+b= ﹣16 .
【分析】先计算(x﹣3)(x+b),然后将各个项的系数依次对应相等,求出a、b即可.
【解答】解:(x﹣3)(x+b)=x2+(b﹣3)x﹣3b,
∵x2+5x+a=(x﹣3)(x+b),
∴x2+5x+a=x2+(b﹣3)x﹣3b,
∴a=﹣3b,b﹣3=5,
解得a=﹣24,b=8,
所以a+b=﹣24+8=﹣16.
故答案为:﹣16.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=9,AB=15,则DE= 4.5 .
【分析】根据勾股定理求出AB,根据角平分线的性质得到CD=DE,根据三角形的面积公式求出DE.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,
由勾股定理,得BC═12,
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE,
×AC×CD+×AB×DE=×AC×BC,
即×9×DE+×15×DE=×9×12,
解得:DE=4.5.
故答案为:4.5.
14.如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFC为直角,若DF=2cm.BC=16cm,则AC的长为 12 cm.
【分析】根据三角形的中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:∵DE为△ABC的中位线,
∴DE=BC=8cm,
∵DF=2cm,
∴EF=DE﹣DF=6cm,
∵点E是AC的中点,∠AFC=90°,
∴AC=2EF=12cm,
故答案为:12.
三.解答题
15.计算
(1)因式分解:5a2b2﹣20ab2+20b2;
(2)解方程:+=5.
【分析】(1)先提取公因式,再根据完全平方公式分解因式即可求解;
(2)方程两边都乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解:(1)5a2b2﹣20ab2+20b2;
=5b2(a2﹣4a+4)
=5b2(a﹣2)2;
(2)+=5,
方程两边都乘(x﹣3)得
x﹣2﹣1=5(x﹣3),
解得x=3,
检验:当x=3时,x=3=3﹣3=0,是增根,
故原方程无解.
16.先化简,再求值:÷(x﹣),其中x=2.
【分析】直接利用分式的混合运算法则将括号里面通分运算,进而化简得出答案.
【解答】解:原式=÷
=•
=,
当x=2时,原式==.
17.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣3,5),B(﹣
2,1),C(﹣1,3).
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度,得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.并写出点B的对应点B1的坐标;
(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.
【分析】(1)依据△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度,即可得到△A1B1C1;
(2)依据△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°,即可得到△A2B2C2.
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,点B1的坐标为(2,﹣4);
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
18.如图,在▱ABCD中,∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E,与AD交于点F,且点F恰好为边AD的中点,连接AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)若AG⊥BE于点G,BC=6,AG=2,求EF的长.
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到AB∥CD,求得∠ABE=∠BEC,根据全等三角形的性质得到DE=AB,于是得到结论;
(2)根据平行四边形的性质得到AD∥CB,求得∠AFB=∠CBF,推出∠AFB=∠ABF,得到AF=AB,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠ABE=∠BEC,
∵点F恰好为边AD的中点,
∴AF=DF,
∵∠AFB=∠DFE,
∴△ABF≌△DEF(AAS),
∴DE=AB,
∵DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,
∴∠AFB=∠CBF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AF=AB,
∵AF=DF,AD=BC=6,
∴AB=AF=3,
∵AG=2,
∴BG==,
∴EF=BF=2BG=2.
19.水果店小明先用1600元购进一批葡萄,供不应求,又用8000元购进第二批这种葡萄,第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍,但单价比第一批贵2元/斤.
(1)第一批葡萄的进货单价是多少元/斤?
(2)若两批购进的葡萄都按同一价格销售,两批葡萄全部售完后,获利不少于2400元,那么葡萄的销售单价至少为多少元/斤?
【分析】(1)设第一批葡萄的进货单价为x元/斤,则第二批进货单价为(x+2)元/斤,根据数量=总价÷单价结合第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的4倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)利用数量=总价÷单价可求出第一批购进数量,结合第二批的数量是第一批的4倍可求出第二批购进数量,设销售单价为y元/斤,根据利润=销售收入﹣成本,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.
【解答】解:(1)设第一批葡萄的进货单价为x元/斤,则第二批进货单价为(x+2)元/斤,
依题意,得:=4×,
解得:x=8,
经检验,x=8是所列分式方程的解,且符合题意.
答:第一批葡萄的进货单价为8元/斤.
(2)第一批购进数量为1600÷8=200(千克),
第二批购进数量为200×4=800(千克).
设葡萄的销售单价为y元/斤,
依题意,得:(200+800)y﹣1600﹣8000≥2400,
解得:y≥12.
答:葡萄的销售单价至少为12元/斤.
20.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F为BC边的中点,连接EF,DF.
(1)求证:EF=DF;
(2)若BC=6.求△DEF的周长;
(3)在(2)的条件下,若EC=BF,求四边形EFDA的面积.
【考点】K3:三角形的面积;KJ:等腰三角形的判定与性质;KO:含30度角的直角三角形;KP:直角三角形斜边上的中线.
【专题】554:等腰三角形与直角三角形;69:应用意识.
【分析】(1)利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题.
(2)证明△DEF是等边三角形即可解决问题.
(3)解直角三角形求出AE,AD即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,
∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵BF=CF,
∴DF=EF=BC.
(2)解:∵FE=FB=FC=FD,
∴∠FBE=∠FEB,∠FCD=∠FDC,
∵∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠BFE+∠DFC=180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB=120°,
∴∠EFD=60°,
∵EF=DF,
∴△EFD是等边三角形,
∵EF=BC=3,
∴△DEF使得周长为9.
(3)∵EC=BF,BF=CF,
∴EC=BC,
∴cos∠BCE=,
∴∠ECB=45°,
∵BC=6,
∴EB=EC=3,
∵∠A=60°,∠AEC=90°,
∴AE=×3=,
∴AB=BE+AE=3+,
在Rt△ADB中,∵∠ABD=30°,
∴AD=AB=,
∴S四边形EFDA=S△EDF+S△ADE=×32+×××=+.
21.已知m2+n2=2mn,则+的值等于 2 .
【考点】4C:完全平方公式;6D:分式的化简求值.
【专题】513:分式;66:运算能力.
【分析】直接利用已知得出m=n,进而代入求出答案.
【解答】解:∵m2+n2=2mn,
∴m2+n2﹣2mn=0,
∴(m﹣n)2=0,
∴m=n,
∴+=1+1=2.
故答案为:2.
22.若关于x的分式方程+=6有增根,则a的值为 .
【考点】B5:分式方程的增根.
【专题】522:分式方程及应用;66:运算能力.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,得到x﹣2=0,求出x的值,代入整式方程即可求出a的值.
【解答】解:分式方程去分母得:x﹣a﹣2a=6(x﹣2),
解得:x=,
由分式方程有增根,得到x﹣2=0,即x=2,
∴=2,
解得:a=.
故答案为:.
23.如图,经过点(4,0)的直线:y=﹣x+b与直线:y=ax交于点P(n,3),则不等式组﹣x+b≥ax>0的解集是 0<x≤1 .
【考点】FD:一次函数与一元一次不等式;FF:两条直线相交或平行问题.
【专题】533:一次函数及其应用;64:几何直观;66:运算能力.
【分析】将点(4,0)和点P的坐标代入一次函数的解析式求得n的值,然后根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可.
【解答】解:∵经过点(4,0)的一次函数y=﹣x+b与正比例函数y=ax交于点P(n,3).
∴﹣4+b=0,
∴b=4,
∴y=﹣x+4,
∴3=﹣n+4,
∴n=1,
∴P(1,3),
由图象得:不等式组﹣x+b≥ax>0的解集是0<x≤1,
故答案为0<x≤1.
24.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边AD、BC上.将该纸片沿EF折叠,使点A的对应点G落在边DC上,折痕EF与AG交于点Q,点K为GH的中点,则随着折痕EF位置的变化,△GQK周长的最小值为 3+3 .
【考点】KQ:勾股定理;LE:正方形的性质;PA:轴对称﹣最短路线问题;PB:翻折变换(折叠问题).
【专题】556:矩形 菱形 正方形;558:平移、旋转与对称;69:应用意识.
【分析】取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值即可解决问题.
【解答】解:取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=6,∠DAM=∠ADG=90°,
∵AM=BM=3,
∴DM===3,
∵GK=HK,AB,GH关于EF对称,
∴QM=QK,
∵∠ADG=90°,AQ=QG,
∴DQ=AQ=QG,
∵△QGK的周长=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.
又∵DQ+QM≥DM,
∴DQ+QM≥3,
∴△QGK的周长的最小值为3+3,
故答案为3+3.
25.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=4,N是斜边AB上方一点,连接BN,点D是BC的中点,DM垂直平分BN,交AB于点E,连接DN,交AB于点F,当△ANF为直角三角形时,线段AE的长为 6或 .
【考点】KG:线段垂直平分线的性质;KO:含30度角的直角三角形;KQ:勾股定理.
【专题】55E:解直角三角形及其应用;69:应用意识.
【分析】分两种情形:如图1中,当∠AFN=90°时.如图2中,当∠ANF=90°时,分别求解即可解决问题.
【解答】解:如图1中,当∠AFN=90°时,
在Rt△ACB中,∵∠C=90°,AC=4,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=8,BC=AC=4,
∵∠AFN=∠DFB=90°,∠ABC=30°,
∴∠FDB=60°,
∵CD=DB=2,
∴DF=BD=,
∵DM垂直平分线段BN,
∴DB=DN,
∴∠FDN=∠EDB=∠EBD=30°,
∴DE=EB,
∵DE==2,
∴BE=DE=2,
∴AE=AB﹣BE=8﹣2=6.
如图2中,当∠ANF=90°时,连接AD,CN交于点O,过点E作EH⊥DB于H.设EH=x,则BH=x,DH=2﹣x.
∵AC=AN,CD=DN,
∴AD垂直平分线段CN,
∴∠AON=90°,
∵CD=DB,MN=BM,
∴DM∥CN,
∴∠ADM=∠AON=90°,
∵∠ACD=∠EHD=90°,
∴∠ADC+∠EDH=90°,∠EDH+∠DEH=90°,
∴∠ADC=∠DEH,
∴△ACD∽△DHE,
∴=,
∴=,
解得x=,
∴BE=2x=,
∴AE=AB﹣BE=8﹣=,
综上所述,满足条件的AE的值为6或.
故答案为6或.
26.成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元,用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共40件,其中甲种玩具的件数少于20件,并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元,求商场共有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,若每件甲种玩具售价32元,每件乙种玩具售价50元.请求出卖完这批玩具共获利w(元)与甲种玩具进货量m(件)之间的函数关系式,并求出最大利润为多少元?
【考点】B7:分式方程的应用;CE:一元一次不等式组的应用;FH:一次函数的应用.
【专题】522:分式方程及应用;524:一元一次不等式(组)及应用;533:一次函数及其应用;69:应用意识.
【分析】(1)设甲种玩具进价为x元/件,则乙种玩具进价为(60﹣x)元/件,根据用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.
(2)设购进甲种玩具m件,则购进乙种玩具(40﹣m)件,根据甲种玩具的件数少于20件,并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元,可列出不等式组求解.
(3)先列出有关总利润和进货量的一次函数关系式,然后利用一次函数的性质结合自变量的取值范围求最大值即可.
【解答】解:(1)设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,
根据题意,得,
解得x=24,
经检验x=24是原方程的解.
则60﹣x=36.
答:甲、乙两种玩具分别是24元/件,36元/件;
(2)设购进甲种玩具m件,则购进乙种玩具(40﹣m)件,
由题意,得,
解得10≤m<20.
∵m是整数,
故商场共有10种进货方案;
(3)设购进甲种玩具m件,卖完这批玩具获利W元,则购进乙种玩具(40﹣m)件,
根据题意得:W=(32﹣24)m+(50﹣36)(40﹣m)=﹣6m+560,
∵k=﹣6<0,
∴W随着m的增大而减小,
∴当m=10时,有最大利润W=﹣6×10+560=500元.
27.已知四边形ABCD为矩形,对角线AC、BD相交于点O,∠CDO=30°.点E、F为矩形边上的两个动点,且∠EOF=60°.
(1)如图1,当点E、F分别位于AB、AD边上时.
①求证:∠DOF=∠AOE;
②若∠OEB=75°,求证:DF=AE.
(2)如图2,当点E、F同时位于AB边上时,若∠OFB=75°,试探究线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由.
【考点】LO:四边形综合题.
【专题】553:图形的全等;556:矩形 菱形 正方形;67:推理能力.
【分析】(1)①由矩形的性质可得AO=DO,∠CDA=90°,可证△AOD是等边三角形,可得∠EOF=∠AOD,可得∠DOF=∠AOE;
②在OF上截取OH=OE,连接DH,由“SAS”可证△AOE≌△DOH,由四边形内角和定理可求∠AFO=105°,可得∠DFH=∠DHF,可证DF=DH=AE;
(2)将△OAF绕点O顺时针旋转120°得到△OBN,连接NE,由旋转的性质可得ON=OF,∠NOF=∠AOB=120°,AF=BN,由“SAS”可证△EOF≌△EON,可得∠OEF=∠OEN,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠OEF=∠OEN=45°,可得∠NEB=∠NEF=90°,由直角三角形的性质可求解.
【解答】证明:(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠CDA=90°,
∴AO=DO,
∵∠CDO=30°,
∴∠ADO=60°,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∵∠EOF=60°,
∴∠EOF=∠AOD,
∴∠DOF=∠AOE;
②在OF上截取OH=OE,连接DH,
∵AO=OD,∠DOF=∠AOE,OE=OH,
∴△AOE≌△DOH(SAS),
∴AE=DH,
∵∠OEB=75°,
∴∠AEO=105°,
∵∠AEO+∠EOF+∠OFA+∠DAB=360°,
∴∠AFO=105°,
∴∠DFH=75°,
∴∠DFH=∠DHF,
∴DF=DH=AE;
(2)将△OAF绕点O顺时针旋转120°得到△OBN,连接NE.
∴ON=OF,∠NOF=∠AOB=120°,AF=BN,
∵∠AOB=120°,∠EOF=60°,
∴∠BON+∠BOE=∠AOF+∠BOE=60°,
∴∠EON=∠EOF,
∵OF=ON,OE=OE,
∴△EOF≌△EON(SAS),
∴∠OEF=∠OEN,
∵∠OFB=75°,∠OBF=30°,
∴∠BOF=75°,
∴∠BOE=75°﹣60°=15°,
∴∠FEO=∠BOE+∠OBE=45°,
∴∠OEF=∠OEN=45°,
∴∠NEB=∠NEF=90°,
∵∠OBN=∠OAF=30°,∠OBE=30°,
∴∠EBN=60°,
∴∠ENB=90°﹣60°=30°,
∴BN=2BE,
∵AF=BN,
∴AF=2BE.
28.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B,且点A的坐标为(4,0),点C为线段AB的中点.
(1)求点B的坐标;
(2)点P为直线AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线,与直线OC交于点Q,设点P的横坐标为m,△OPQ的面积为S,求S与m的函数解析式;
(3)当点P在直线AB上运动时,在平面直角坐标系内是否存在一点N,使得以O,B,P,N为顶点的四边形为矩形,若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】FI:一次函数综合题.
【专题】16:压轴题;65:数据分析观念.
【分析】(1)用待定系数法即可求解;
(2)S=PQ•|xP|,即可求解;
(3)分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况,分别求解即可.
【解答】解:(1)将点A的坐标代入y=﹣x+n并解得:n=3,
故直线的表达式为:y=﹣x+3,
令x=0,则y=3,故点B(0,3);
(2)点C为线段AB的中点,
则由中点公式得,点C(2,),则直线OC的表达式为:y=x,
设点P(m,﹣m+3),则点Q(m,m),
当点P在y轴右侧时,
S=PQ•|xP|=(m+m﹣3)•m=m2﹣m;
当点P在y轴左侧时,
同理可得:S=m2﹣m;
故S=m2﹣m;
(3)设P(m,﹣m+3),点N(s,t),而点O、B的坐标分别为(0,0)、(0,3);
①当OB是矩形的边时,
则点P与点A重合,故点P(4,0),故点N(4,3);
②当OB是矩形的对角线时,
由中点公式得:m+s=0且﹣m+3+t=3+0①,
由矩形的对角线相等得:OB=PN,即(m﹣s)2+(﹣m+3﹣t)2=32②,
联立①②并解得:,故点N(﹣,);
综上,点N的坐标为(4,3)或(﹣,).
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