八年级下册数学同步练习2-4 三角形的中位线2 湘教版 12页

‎2.4 三角形的中位线 一、选择题(本大题共8小题)‎ ‎1. 如图，DE是△ABC的中位线，则△ABC与△ADE的周长的比是 ( )‎ ‎ A．1:2 B．2:1 C．1:3 D．3:1‎ ‎ ‎ 第1题图 第2题图 第3题图 ‎2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．1+‎ ‎3. 如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（　　）‎ A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE ‎4. 一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )‎ ‎ A．6 cm B．12 cm C．18 cm D．36 cm ‎5. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎ ‎ 第5题图 第6题图 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3[来源:Zxxk.Com]‎ ‎7. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（　　）‎ A．4 B．8 C．2 D．4‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 第9题图 ‎8. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ 二、填空题(本大题共6小题)‎ ‎9. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　 　．‎ ‎10. 如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为　　　　　　m．　　‎ ‎ ‎ 第10题图 第11题图 第12题图 ‎11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=    cm．‎ ‎12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=　 　．‎ ‎13. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是 ．‎ ‎ ‎ 第13题图 第14题图 ‎14. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于　 　cm．‎ 三、计算题(本大题共4小题)‎ ‎15. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．‎ ‎（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．‎ ‎16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．‎ ‎（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）求证：∠DHF=∠DEF．‎ ‎17. 如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=AF；‎ ‎（2）求证：BE=（AB+AC）．‎ ‎18. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．‎ ‎（1）求证：BM=MN；‎ ‎（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．‎ 参考答案：‎ 一、选择题(本大题共8小题)‎ ‎1. B 分析：根据三角形中位线定理解答即可。‎ 解：已知DE是△‎ ABC的中位线，所以D，E分别是AB和AC的中点，根据中位线定理可知△ADE的每一条边都是△ABC的对应边的一半，那么周长也应该是△ABC的一半。故选B．‎ ‎2. A 分析：由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．‎ 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，‎ ‎∴AB=2BC=2．‎ 又∵点D、E分别是AC、BC的中点，‎ ‎∴DE是△ACB的中位线，‎ ‎∴DE=AB=1．‎ 故选：A．‎ ‎3.B 分析：首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．‎ 解：∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴E为AC中点，‎ ‎∴AE=EC，‎ ‎∵CF∥BD，‎ ‎∴∠ADE=∠F，‎ 在△ADE和△CFE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADE≌△CFE（AAS），‎ ‎∴DE=FE．‎ 故选B．‎ ‎4. 解: 如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，‎ ‎∴DE= BC，DF= AC，EF= AB，‎ ‎∵原三角形的周长为36，‎ 则新三角形的周长为=18．‎ 故答案为：18．[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎5. B 分析：根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．‎ 解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，‎ ‎∴AC===10，‎ ‎∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DF∥BM，DE=BC=3，‎ ‎∴∠EFC=∠FCM，‎ ‎∵∠FCE=∠FCM，‎ ‎∴∠EFC=∠ECF，‎ ‎∴EC=EF=AC=5，‎ ‎∴DF=DE+EF=3+5=8．‎ 故选B．‎ ‎6. D 分析：在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．‎ 解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，‎ ‎∴BC=6．‎ 又∵DE垂直平分AC交AB于点E，‎ ‎∴DE是△ACB的中位线，‎ ‎∴DE=BC=3．‎ 故选：D．‎ ‎7.D 分析：先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．‎ 解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，‎ ‎∴AB=2DF=8，‎ ‎∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠ABF=30°，‎ ‎∴AF=AB=4，‎ ‎∴BF===4．‎ 故选D．‎ ‎8. B 分析：先根据三角形中位线性质得DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，则可判断四边形DBEF为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．‎ 解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，‎ ‎∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBEF为平行四边形，‎ ‎∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．‎ 故选B．‎ 二、填空题(本大题共6小题)‎ ‎9. 分析：根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．‎ 解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，‎ ‎∴DE=BC=4．故答案为：4．‎ ‎10. 分析：根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．‎ 解：∵点M、N是OA、OB的中点，‎ ‎∴MN是△ABO的中位线，‎ ‎∴AB=AMN．‎ 又∵MN=20m，‎ ‎∴AB=40m．‎ 故答案是：40．‎ ‎11. 分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．‎ 解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，‎ ‎∴CD=AB，‎ 又∵EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴AB=2CD=2×5=10cm，‎ ‎∴EF=×10=5cm．故答案为：5‎ ‎12. 分析：连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．‎ 解：连接CM，‎ ‎∵M、N分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，‎ ‎∴MN=CD，又MN∥BC，‎ ‎∴四边形DCMN是平行四边形，‎ ‎∴DN=CM，‎ ‎∵∠ACB=90°，M是AB的中点，‎ ‎∴CM=AB=3，[来源:学。科。网]‎ ‎∴DN=3，‎ 故答案为：3．[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎13. 分析：延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．‎ 解：延长线段BN交AC于E．‎ ‎∵AN平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，‎ ‎∴△ABN≌△AEN，‎ ‎∴AE=AB=6，BN=NE，‎ 又∵M是△ABC的边BC的中点，‎ ‎∴CE=2MN=2×1.5=3，‎ ‎∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25。‎ ‎14.分析：首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．‎ 解：∵BD=AD，BE=EC，‎ ‎∴DE=AC=4cm，DE∥AC，‎ ‎∵CF=FA，CE=BE，‎ ‎∴EF=AB=3cm，EF∥AB，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形，‎ ‎∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．‎ 故答案为14．‎ 三、计算题(本大题共4小题)‎ ‎15. 分析：（1）作线段AC的垂直平分线即可．‎ ‎（2）根据三角形中位线定理即可解决．‎ 解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．‎ ‎（2）∵AD=DB，AE=EC，‎ ‎∴DE∥BC，DE=BC，‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴BC=8．‎ ‎16.分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；‎ ‎（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．‎ 证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，‎ ‎∴DE、EF都是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF∥AB，DE∥AC，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形；‎ ‎（2）∵四边形ADEF是平行四边形，‎ ‎∴∠DEF=∠BAC，‎ ‎∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，‎ ‎∴DH=AD，FH=AF，‎ ‎∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，‎ ‎∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，‎ ‎∠DHA+∠FHA=∠DHF，‎ ‎∴∠DHF=∠BAC，‎ ‎∴∠DHF=∠DEF．‎ ‎17.分析：（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．‎ ‎（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．‎ 证明：（1）∵DA平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∵AD∥EM，‎ ‎∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴AE=AF．‎ ‎（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．‎ ‎∵EF∥CG，‎ ‎∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，‎ ‎∵∠AEF=∠AFE，‎ ‎∴∠G=∠ACG，‎ ‎∴AG=AC，‎ ‎∵BM=CM．EM∥CG，‎ ‎∴BE=EG，‎ ‎∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．‎ ‎18. 分析：（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．‎ ‎（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．‎ 解：（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，‎ ‎∴MN∥AD，MN=AD，‎ 在RT△ABC中，∵M是AC中点，‎ ‎∴BM=AC，‎ ‎∵AC=AD，‎ ‎∴MN=BM．‎ ‎（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=30°，‎ 由（1）可知，BM=AC=AM=MC，‎ ‎∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，‎ ‎∵MN∥AD，‎ ‎∴∠NMC=∠DAC=30°，‎ ‎∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，‎ ‎∴BN2=BM2+MN2，‎ 由（1）可知MN=BM=AC=1，‎ ‎∴BN=‎