八年级数学下册第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第1课时课件（湘教版） 35页

1.2 直角三角形的性质和判定 (Ⅱ) 第 1 课时 1. 掌握勾股定理的内容 . 2. 理解勾股定理的证明 . 3. 应用勾股定理进行有关计算与证明 .   星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩 , 同学们看到山势险峻 , 查看景区示意图得知 : 凌峰山主峰高约为 900 米 , 如图 : 为了方便游人 , 此景区从主峰 A 处向地面 B 处架了一条缆车线路 , 已知山底端 C 处与地面 B 处相距 1200 米 , ∠ACB=90°, 请问缆车路线 AB 长应为多少？ 读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽作出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（ TCM－2002） 的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 　　　　　　　 图1-1 图1-2 相传 2500 年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系． 我们也来观察图中的地面，看看能发现些什么？ 数学家毕达哥拉斯的发现： A 、 B 、 C 的面积有什么关系？ 直角三角形三边有什么关系？ S A +S B =S C 两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C A B C A B C （ 图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系 A 的面积 ( 单位面积 ) B 的面积 ( 单位面积 ) C 的面积 ( 单位面积 ) 图 1 图 2 9 9 18 4 4 8 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 把 C“ 补” 成边长为 6 的正方形 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 S A +S B =S C A 的面积 ( 单位面积 ) B 的面积 ( 单位面积 ) C 的面积 ( 单位面积 ) 图 1 9 9 18 图 2 A 、 B 、 C 面积关系 直角三角形三边关系 4 4 8 两直角边的平方和 等于斜边的平方 A B C 图 1 A B C 图 2 1. 观察右边两个图并填写下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 图 1 图 2 16 9 25 4 9 13 　 你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流． 做 一 做 A B C 图 1 A B C 图 2 2 ．如图 , 三个正方形 A ， B ， C 面积之间有什么关系？ S A + S B = S C 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积． 议 一 议 A B C a c b S A +S B =S C 3. 设直角三角形的三边长分别是 a ， b ， c ， 猜想 : 两直角边 a ， b 与斜边 c 之间的关系？ a 2 +b 2 =c 2 这是 2002 年国际数学家大会会标 赵爽弦图 ∵ ab×4+ (b-a)²=c² ， ∴ a²+b² =c². a b c 即 2ab+ （ b²-2ab+a² ） =c² ， 此结论被称为“勾股定理” . 在 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， 边 BC ， AC ， AB 所对应的边分别 为 a ， b ， c, 则存在下列关系， 结论： 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的 平方 . a 2 +b 2 =c 2 . 勾 股 弦 c a b B C A 如果直角三角形的两直角边分别为 a，b， 斜边为 c， 那么 a 2 + b 2 = c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理 ∵ ∠ C＝90° ， ∴ a 2 + b 2 = c 2 . c a b B C A 勾股定理的运用 1: 　　已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长 . a 2 =c 2 -b 2 b 2 =c 2 -a 2 c 2 =a 2 +b 2 在直角三角形 ABC 中，∠ C=90° ，∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别为 a ， b ， c. (1) 已知 a=1 ， b=2 ，求 c. (2) 已知 a=10 ， c=15 ，求 b. A C B b a c 例：将长为 5 米的梯子 AC 斜靠在墙上， BC 长为 2 米，求梯子上端 A 到墙的底端 B 的距离 . C A B 解：在 Rt△ABC 中，∠ ABC=90°. ∵BC=2 ， AC=5 ， ∴AB 2 = AC ² - BC ² = 5 ² -2 ² =21 ， ∴ AB= （米）（舍去负值） . 【 跟踪训练 】 3. 在等腰 Rt△ABC 中 , a=b=1, 则 c= ＿＿＿ C A B 第 3 题图 第 4 题图 a b c C B A 5. 在一个直角三角形中 , 两边长分别为 3 ， 4, 则第三边的长为 ________ 5 或 4. 在 Rt△ABC 中 , ∠A=30 ° ， AB=2 ，则 BC= ＿＿ AC= ＿＿＿ 1 6. 求下列图中表示边的未知数 x ， y ， z 的值 . ① 81 144 x y ② 625 576 x=15 y=7 D A B C 7. 蚂蚁沿图中的折线从 A 点爬到 D 点，最少一共爬了多少厘米？（小方格的边长为 1 厘米） G F E 3 4 12 5 6 8 答： 最少一共爬了 28 厘米 【 解析 】 选 D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5 米 , 所以 BC=10 米， 米 . 大树折断前的高度为 AC+BC=15( 米 ). 3. 如图所示，一棵大树在一 次强台风中离地面 5 米处折 断倒下，倒下部分与地面 成 30° 角，则这棵大树在 折断前的高度和 AB 的长分 别为（ ） （ A ） 10 米， 米 （ B ） 15 米， 米 （ C ） 10 米， 米 （ D ） 15 米， 米 4.( 广东 · 中考）如图（ 1 ），已知小正方形 ABCD 的面积为 1 ，把它的各边延长一倍得到新正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 （如图（ 2 ））； ··· 以此下去，则正方形 A 4 B 4 C 4 D 4 的面积为 __________. 图（ 1 ） A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D D 2 A 2 B 2 C 2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 图（ 2 ） 【 解析 】 由勾股定理得：新正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长为 ，正 方形 A 2 B 2 C 2 D 2 边长为 5 ， ··· ，正方形 A 4 B 4 C 4 D 4 的边长为 25 ， 正方形 A 4 B 4 C 4 D 4 的面积为 625. 答案： 625 5. （宜宾 · 中考）已知，在△ ABC 中，∠ A=45° ， AB= +1 ，则边 BC 的长为 ____. 【 解析 】 过点 C 作 CD⊥AB, ∵∠A=45°,∴AD=CD, ∴2AD 2 =AC 2 =2, ∴DC=AD=1, ∴BD=AB-AD= +1-1= 在 Rt△CDB 中， 答案： 2 6. 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）； 以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a 、 b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图 2 ），请你利用图 2 ，验证勾股定理 . 【 解析 】 ［定理表述］如果直角三角形的两直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c ，那么 a 2 +b 2 =c 2 , 证明： ∵ Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC, 又∠ EDC+∠DEC=90° ，∴∠ AEB+∠DEC=90°, ∴∠AED=90°. ∵S 梯形 ABCD =S Rt△ABE +S Rt△DEC +S Rt△AED ， ∴ （ a+b)(a+b)= ab+ ab+ c 2 . 整理，得 a 2 +b 2 =c 2 . 通过本课时的学习，需要我们 1. 掌握勾股定理的内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 2. 理解勾股定理的证明过程 . 3. 应用勾股定理计算线段的长度 . 注意使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中 . 理想是指路明灯 . 没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就没有生活 . —— 托尔斯泰