2020八年级数学上册第十二章全等三角形12 3页

第十二章 12.3角的平分线的性质 知识点1：角平分线的作法 ‎ 平分一个角的方法有很多,如度量法、折叠法,实际上根据尺规作图也可以作出一个角的角平分线.‎ 知识点2：角平分线的性质 ‎ 角平分线上的点到角两边的距离相等.‎ 关键提醒:1. 性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时需含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.‎ ‎2. 该性质可以直接证明线段相等,不用再证明三角形全等.‎ ‎3. 使用该性质进行证明时,要注意条件“一个角平分线,二个垂直”缺一不可.‎ 知识点3：角平分线的判定 ‎ 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.‎ 关键提醒:它与角平分线的性质是互逆定理,在运用这两个定理的时候,一定要弄清楚题设和结论,切记不要搞错.‎ 考点1：利用角平分线条件求距离与角 ‎【例1】如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为　　　　. ‎ 答案:4‎ 点拨:如图,过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,则M、N、P三点共线.‎ 3‎ ‎                       ‎ ‎∵　BP平分∠ABC,AP平分∠BAD,PE⊥AB于点E,‎ PM⊥AD于点M,PN⊥BC于点N,‎ ‎∴　PN=PE=PM(角平分线上的点到角两边的距离相等).‎ ‎∵　PE=2,∴　PM=PN=2. ∴　MN=4.‎ 考点2：利用角平分线条件证明角或边相等 ‎【例2】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:‎ ‎(1)CF=EB;‎ ‎(2)∠CBA+∠AFD=180°.‎ ‎                       ‎ 证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.又∵DF=DB,∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).∴CF=EB.‎ ‎(2)由(1)得∠DBE=∠DFC,而∠DFC+∠AFD=180°,‎ ‎∴∠CBA+∠AFD=180°.‎ 点拨：欲证CF=EB,只需证△DCF≌△DEB.而这两个三角形都是直角三角形,已知BD=DF,还需要证明DC=DE,由角平分线的性质可证得结论.欲证两角互补,有两种方法:其一是邻补角互补,其二是平行线的同旁内角互补.本题所证两角不符合上述条件,所以可通过证全等三角形来将∠CBA转化成∠AFD的邻补角∠CFD即可.‎ 考点3：利用角平分线条件证明线段的和差 ‎【例3】如图 (1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由.‎ ‎        ‎ 3‎ ‎       (1)                    (2)                 ‎ 解:AB=AC+BD.理由如下:‎ 如图 (2),在AB上截取AF=AC,连接EF.‎ 在△ACE和△AFE中,∴△ACE≌△AFE(SAS).‎ ‎⇒∠6=∠D.‎ 在△EFB和△EDB中,‎ ‎ ‎ ‎∴△EFB≌△EDB(AAS),∴FB=DB.∴AC+BD=AF+FB=AB.‎ 点拨：欲证线段a=b+c,通常利用“截长补短”法,如本题的方法一,是在最长线段AB上“截取”AF=AC后,再证BF=BD;而本题的方法二,是在较短线段AC上“补接”CF,再证AB=AF,BD=FC.‎ ‎              ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ · ‎ ‎ 3‎