2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧用中点解决问题试题 （新版）青岛版 12页

1 巧用中点解决问题 一、中位线定理 1. 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2. 三角形中 位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 两边中点，求证 DE 平行且等于 。利用全 等和平行四边形进行证明。 强调理解： （1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它的对 边中点的线段，而三角形中位线是 连接三角形两边中点的线段。 （2）三角形有三条中位线，首尾相接时，小三角形面积等于原三角形的四分之一，这 四个三角形都互相全等。 二、直角三角形斜边中线 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图，在 Rt△ABC 中，∠A CB＝90°，D 是 AB 的中点，求证 。利用矩形性质 进行证 明。 总结： （1）当图形中有一个中点的时候考虑倍长中线，当图形中有两个中点的时候考虑连接 后用中位线； （2）计算中经常使用直角三角形斜边中线等于斜边一半，特别要注意等腰直角三角形。 例题 1 如图，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，且 BN⊥AN，垂足为 N，且 AB ＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC 的周长是（　　） A. 28 B. 32 C. 18 D. 25 2 BC 2 ABCD = 2 解析：延长线段 BN 交 AC 于 E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明 MN 是中位线，从而求出 CE 的长。 答案：延长线段 BN 交 AC 于 E。∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°， ∴△ABN≌△AEN，∴AB＝AE＝6，BN＝EN， 又∵M 是△ABC 的边 BC 的中点，∴CE＝2MN＝2×1.5＝3， ∴△ABC 的周长是 AB＋BC＋AC＝6＋10＋6＋3＝25，故选 D。 例题 2 如图，以边长为 1 的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边 中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为 ；所 作的第 n 个四边形的周长为 。 解析：根据正方形的性质以及三角形中位线的定理，求出第二个，第三个四边形的周 长，从而发现规律，即可求出第 n 个四边形的周长。 答案：根据三角形中位线定理得，第二个四边形的边长为 ＝ ，周长 为 2 ，第三个四边形的周长为 4× ＝2，第 n 个四边形的周长为 4·（ ）n−1， 故答案为 2，4·（ ）n−1。 利用中点判断三角形形状 示例 如图，在线段 AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE（∠ACE＜120°），点 P、 点 M 分别是线段 BE、AD 的中点，则△CPM 是（　　） 22 )2 1()2 1( + 2 1 2 22( )2 2 2 2 2 3 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 非等腰三角形 解析：首先根据等边三角形的性质，得出 AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，则∠BCE ＝∠ACD，从而根据 SAS 证明△BCE≌△ACD，得∠CBE＝∠CAD，BE＝AD；再由点 P、点 M 分 别是线段 BE、AD 的中点，得 BP＝AM，根据 SAS 证明△BCP ≌△ACM，得 PC＝MC，∠ BCP＝ ∠ACM，则∠PCM＝∠ACB＝60°，从而证明该三角形是等边三角形。 答案：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°。 ∴∠BCE＝∠ACD。∴△BCE≌△ACD。∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD。又点 P、点 M 分别是线段 BE、AD 的中点，∴BP＝AM。∴△BCP≌△ACM。∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM。∴∠PCM＝∠ACB＝ 60°。∴△CPM 是等边三角形。故选 C。 转化三角形构造中位线 示例 已知两个共顶点的等腰 Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接 AF，M 是 AF 的中点，连接 MB、ME。 （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图 1，若 CB＝a，CE＝2a，求 BM，ME 的长； （3）如图 2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME。 解析：（1）如答图 1 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，证明 BM 为△ADF 的中位线即可； （2）如答图 2 所示，作辅助线，推出 BM、ME 是两条中位线； （3）如答图 3 所示，作辅助线，推出 BM、ME 是两条中位线：BM＝ DF，ME＝ AG； 然后证明△ACG≌△DCF，得到 AG＝DF，从而证明 BM＝ME。 答案：（1）证明：如答图 1，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知△ABC 与△DBC 均为等腰直 角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴点 B 为线段 AD 的中点，又∵点 M 为线段 AF 的中点，∴BM 为 △ADF 的中位线，∴BM∥CF。 2 1 2 1 4 （2）解：如答图 2 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知△DBC 与△ABC 为等腰直角三角 形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝DC＝ a，∴点 B 为 AD 中点，又∵点 M 为 AF 中点，∴BM＝ DF。 分别延长 FE 与 CA 交于点 G，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝2 a，∴点 E 为 FG 中点， 又∵点 M 为 AF 中点，∴ME＝ AG。∵CG＝CF＝2 a，CA＝CD＝ a，∴AG＝DF＝ a， ∴BM＝ME＝ × a＝ a。 （3）证明：如答图 3，延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，则易知△ABC 与△DBC 均为等腰 直角三角形， 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 5 ∴AB＝BC＝DB，AC＝DC，∴点 B 为 AD 中点，又∵点 M 为 AF 中点，∴BM＝ DF。延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，则易知△CEF 与△CEG 均为等腰直角三角形，∴CE＝EF＝EG，CF＝ CG ， ∴ 点 E 为 FG 中 点 ， 又 ∵ 点 M 为 AF 中 点 ， ∴ME ＝ AG 。 在 △ACG 与 △DCF 中 ， ，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴AG＝DF，∴ME＝BM。 （答题时间：45 分钟） 一、选择题 1. 直角三角形 ABC 的周长为 2＋ ，斜边上的中线长为 1，则该三角形的面积等于（　　） A. 1 B. C. D. 2. 如图，∠MON＝90°，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动 时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB＝2，BC＝1，运动过程中， 点 D 到点 O 的最大距离为（　　） A. ＋1 B. C. D. *3. 如图，BE、CF 分别是△ABC 的高，M 为 BC 的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM 的周长是 （　　） 2 1 2 1 45 AC DC ACG DCF CG CF  ∠ ∠ °  ＝ ＝ ＝ ＝ 6 2 1 4 1 4 3 2 5 5 145 2 5 6 A. 21 B. 18 C. 13 D. 15 **4. 如图，E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的中点，且 AB＝CD。下列结论： ①EG⊥FH，②四边形 EFGH 是矩形，③HF 平分∠EHG，④EG＝ （BC－AD），⑤四边形 EFGH 是菱形。其中正确结论的个数是（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 **5. 在正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，BE⊥PD 的延长线于点 E，连接 AE、BE、FA⊥AE 交 DP 于点 F，连接 BF，FC。下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF， 其中结论正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题 *6.如图，△ABC 的周长为 26，点 D，E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE ，垂足为 Q，∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC＝10，则 PQ 的长为　　　　　。 *7. 如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF，若 菱形 ABCD 的边长为 2cm，∠A＝120°，则 EF＝　　　　　　　 cm。 2 1 7 *8. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，M，N 分别是 AB，AC 的中点，D，E 为 BC 上的点，连接 DN，EM。若 AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，图中阴影部分的面积为　　　　　　。 *9. 命题：如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、AD 上的点，AF＝BE，CE、BF 交于点 H，BF 交 AC 于点 M，O 为 AC 的中点，OB 交 CE 于点 N，连接 OH。下列结论中：①BF⊥CE；②OM ＝ON；③OH＝ CN；④ OH＋BH＝CH。其中正确的结论有________。 三、解答题 *10. 如图，直线 a、b 相交于点 A，C、E 分别是直线 b、a 上两点且 BC⊥a，DE⊥b，点 M、 N 分别是 CE、BD 的中点。 求证：（1）DM＝BM；（2）MN⊥BD。 *11. 已知：在△ABC 中，∠ABC＝90°，点 E 在直线 AB 上，ED 与直线 AC 垂直，垂足为 D，且点 M 为 EC 中点，连接 BM，D M。 2 1 2 8 （1）如图 1，若点 E 在线段 AB 上，探究线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量 关系，并直接写出你得到的结论； （2）如图 2，若点 E 在 BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你 的猜想并加以证明； （3）若点 E 在 AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段 BM 与 DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系。 **12. 已知：在△ABC 中，BC＞AC，动点 D 绕△ABC 的顶点 A 逆时针旋转，且 AD＝BC，连 接 DC。过 AB、DC 的中点 E、F 作直线，直线 EF 与直线 AD、BC 分别相交于点 M、N。 （1）如图 1，当点 D 旋转到 BC 的延长线上时，点 N 恰好与点 F 重合，取 AC 的中点 H， 连接 HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证 明）； （2）当点 D 旋转到图 2 或图 3 中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出 猜想，并任选一种情况证明。 9 1.B 解析：∵CD 是直角三角形 ABC 斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2，∵直角三角形 ABC 的 周长是 2＋ ，∴AC＋BC＝ ，两边平方得：AC2＋2AC•BC＋BC2＝6，由勾股定理得：AC2 ＋BC2＝AB2＝4，∴2AC•BC＝2，AC·BC＝1，∴S△ABC＝ AC·BC＝ ×1＝ 。故选 B。 2. A 解析：如图，取 AB 的中点 E ，连接 OE、DE、OD，∵OD＜OE＋DE，∴当 O、D、E 三 点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝ AB＝1，DE＝ ＝ ＝ ，∴OD 的最大值为： ＋1。 3. C 解析：∵BE、CF 分别是△ABC 的高，M 为 BC 的中点，∴在 Rt△BCE 中，EM＝ BC＝ 4，在 Rt△BCF 中，FM＝ BC＝4，∴△EFM 的周长＝EM＋FM＋EF＝4＋4＋5＝13。故选 C。 4. C 解析：∵E、F、G、H 分别是 BD、BC、AC、AD 的 中点，∴EF＝ CD，FG＝ AB，GH ＝ CD，HE＝ AB，∵AB＝CD， ∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形 EFGH 是菱形，∴①EG⊥FH， 正确；②四边形 EFGH 是矩形，错误；③HF 平分∠EHG，正确；④当 AD∥BC，如图所示：E， G 分别为 BD，AC 中点，∴连接 CD，延长 EG 到 CD 上一点 N，∴EN＝ BC，GN＝ AD，∴EG＝ （BC－AD），只有 AD∥BC 时才可以成立，而本结论中 AD 与 BC 很显然不平行，故本结论 错误；⑤四边形 EFGH 是菱形，正确。综上所述，①③⑤，共 3 个正确。故选 C。 5. D 解析：∵正方形 ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝∠90° ＝∠BEF，∵∠APD＝∠EPB，∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF， 6 6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2AD AE+ 2 21 1+ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 10 ∴①正确；∵AE＝AF，BE＝DF，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，取 EF 的中点 M，连接 AM， ∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM，∴BE∥AM，∵AP＝BP，∴AM＝BE＝ME，∴∠EMB＝∠EBM＝45°，∴∠AMB ＝90°＋45°＝135°＝∠FMB，∵BM＝FM，AM＝FM，∴△ABM≌△FBM，∴AB＝FB，∴②正确；∴ ∠BAM＝∠BFM，∵∠BEF＝90°，AM⊥EF，∴∠BAM＋∠APM＝90°，∠EBF＋∠EFB＝90°， ∴∠APF＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD＝∠FDC，∴∠EBF＝∠FDC，∵BE＝DF，BF＝DC， ∴△BEF≌△DFC，∴FE＝CF，∠FEB＝∠CFD＝90°，∴③正确，④正确；故选 D。 6.3 解析：∵BQ 平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形， ∴点 Q 是 AE 中点，点 P 是 AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE＋CD＝AB＋ AC＝26－BC＝26－10＝16，∴DE＝BE＋CD－BC＝6，∴PQ＝ DE＝3。 7. 解：连接 BD、AC，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AC 平分∠BAD，∵∠BAD＝ 120°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABO＝90°－60°＝30°，∵∠AOB＝90°，∴AO＝ AB＝ ×2 ＝1，由勾股定理得：BO＝DO＝ ，∵A 沿 EF 折叠与 O 重合，∴EF⊥AC，EF 平分 AO， ∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF＝ BD＝ ×（ ＋ ）＝ ， 故答案为： 。 8. 30cm2 解析：连接 MN。∵M，N 分别是 AB，AC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线， ∴MN∥BC，且 MN＝ BC＝5cm；过点 A 作 AF⊥BC 于 F。则 AF⊥MN，AF＝12cm（勾股定理）。 ∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是 5cm，且高的和为 12cm；∴S 阴影＝ ×5×12＝ 30cm2。 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 1 11 9. ①②④ 解析：∵AF＝BE，AB＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABF≌△BCE，∴∠BC E＝∠ABF，∠BFA＝∠CEB，∴∠BEC＋∠B CE＝∠BEH＋∠ABF＝90°， ∴∠BHE＝90°，即 BF⊥EC，①正确；∵四边形 ABCD 是正方形，∴BO⊥AC，BO＝OC，由题意，正方形 ABCD 中，∠ABO ＝∠BCO，已证∠BCE＝∠ABF，∴∠ECO＝∠FBO，∴△OBM≌△OCN，∴OM＝ON，即②正确； ③∵△OBM≌△OCN，∴BM＝CN，只有当 H 为 BM 的中点时，OH 等于 CN 的一半，故③错误；④ 过 O 点作 OG 垂直于 OH，OG 交 CH 于点 G，在△OGC 与△OHB 中， ，故 △OGC≌△OHB ， ∵OH⊥OG ， ∴△OHG 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ， ，所以结论④正确。综上所述，①②④正确。 10. 证明：（1）∵BC⊥a，DE⊥b，∴∠CBE＝∠CDB＝90°，∴△CBE，△CDE 为直角三角 形，∵点 M 是 CE 的中点，∴DM＝BM＝ EC，∴DM＝BM；（2）∵DM＝BM，∴△MDB 为等腰三 角形，又∵N 为 BD 的中点， ∴MN 为 BD 边上的中线，∴MN⊥BD（三线合一）。 11. 解：（1）结论 ：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD。 理由如下：∵BM、DM 分别是 Rt△EBC、Rt△DEC 的斜边上的中线，∴BM＝DM＝ CE；又 ∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；同理可得∠DME＝2∠DCM；∴∠BME＋∠DME ＝2（∠BCM＋∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD。（2）在（1）中得到的结论仍然成立。即 BM＝DM， ∠BMD＝2∠BCD。 证明：∵点 M 是 Rt△BEC 的斜边 EC 的中点，∴BM＝ EC＝MC，又∵点 M 是 Rt△DEC 的 斜边 EC 的中点，∴DM＝ EC＝MC，∴BM＝DM；∵BM＝MC，DM＝MC，∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM ＝∠CDM，∴∠BMD＝∠EMB－∠EMD＝2∠BCM－2∠DCM＝2（∠BCM－∠DCM）＝2∠BCD，即 ∠BMD＝2∠BCD。（3）所画图形如图所示： 图 1 中有 BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；图 2 中∠BCD 不存在，有 BM＝DM；图 3 中有 BM＝ DM，∠BMD＝360°－2∠BCD。解法同（2）。 OCG OBH OC OB GOC HOB ∠ ∠  ∠ ∠ ＝ ＝ ＝ 2HG OH∴ = 2CH HG CG H BH∴ = + = + 2 1 2 1 2 1 2 1 12 12. 解：图 1：∠AMF＝∠BNE；图 2：∠AMF＝∠BNE ；图 3：∠AMF＋∠ENB＝180°。 证明：如答图 2，取 AC 的中点 H，连接 HE、HF。∵F是 DC 的中点，H 是 AC 的中点，∴HF∥AD， HF＝ AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝ CB，∴∠BNE＝∠HEF。∵AD＝BC，∴HF ＝HE，∴∠HEF＝∠HFE， ∴∠BNE＝∠AMF。如答图 3：取 AC 的中点 H，连接 HE、HF。∵F 是 DC 的中点，H 是 AC 的中点，∴HF∥AD，HF＝ AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理， HE∥CB，HE＝ CB，∴∠ENB＝∠HEF。∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋ ∠ENB＝180°。 答图 2 答图 3 2 1 2 1 2 1 2 1