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- 2021-05-13 发布
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专题一 中点M型
基本条件:
①∠PMQ=∠B=∠C;②M是BC的中点
基本结论:
①△EMF∽△EBM∽△MCF.
②EM平分∠BEF,FM平分∠EFC.
③EM=EB·EF,FM=FC·EF.
常见特例:
特例一:条件:①等边△ABC;②∠MPN=60°,③P是BC的中点。
特例二:条件:①等腰直角△ABC,AC=BC,∠C=90°;②∠EDF=45°;③点D是AB的中点。特例三:条件:①AB=AC;②∠BAC=120°,∠EDF=30°,③D是BC的中点。
特例四:条件:①矩形ABCD;②∠GEF=90°,③E是AB的中点。
特例五:条件:①直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°;②E是AD的中点;③∠BEC=90°。
巩固练习:
1. 已知:梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,E为AB的中点,若AD=2,
BC=4,∠CED=90°,则CD长为 。
2. 如图,在正方形ABCD中,点E、F在边BC、CD上,若 AE=2,EF=1,
AF= ,则正方形的边长为 。
3. 已知:等边 △ABC中,AB=8,点D为AB的中点,点M为BC上一动点
,以DM为一边,在点B异侧作等边△DMN。DN交AC于点F,当
∠DAN=90°时,则FN的长为 。
4. 如图,以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,F为线段OA上的一点,将△COF沿直线CF翻折,点O落在AB的中点E处,且OC=6.
(1) 求直线EF的解析式;
(2) 将直线EF绕点F逆时针旋转90°,得到直线m,直线m交y轴于点D,求点D的坐标。
1. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D为BC边的中点,BE⊥AC于E,DF⊥AB于F.
(1) 当0<α<90,(如图1),求证:AE+2BF=AB;
(2) 当90<α<180,(如图2),则AE、BF、AB之间的数量关系 ;
(3) 在(1)的条件下,过点D作DG∥AB,交AC于G,且DF=GE=3时(如图3),求BF的值。
2. 已知:直角梯形ABCD,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=BC,E为射线BC上一点,连接AE,过点E作AE的垂线,分别交直线AB、直线CD于点G和F.
(1) 当点E在BC上时(如图1),求证:BE=BG+CF.
(2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),猜想BE、BG和CF的数量关系,并证明你的猜想;
(3) 在(2)的条件下,设AE交CD于点H,若CH=BE,AB=2,且CD<,求EG的长。
“A”字型专题
1. 已知,在正方形ABCD中,点E是边AB上一点,点G在边AD上,连接EG,EG=DG,作EF⊥EG,交边BC于点F(图1)。
(1) 求证:AE+CF=EF;
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC,连接DF,线段AC与线段DF相交于点K(图2),探究线段AE、AD、AK之间的数量关系,直接写出你的结论 。
(3) 在(2)的条件下,连接线段DE与线段AC相交于点P,(图3)若AK=8,△BEF的周长为24,求PK的长。
2. 如图,在△ABC中,AB=2AC,点D在BC上,且∠CAD=∠B,点E在AB的中点,连接CE,CE与AD交于点G,点F在BC上,且∠CEF=∠BAC.
(1) 若∠BAC=90°,如图1,求证:EG+EF=AC;
(2) 若∠BAC=120°,如图2,此时线段EG、EF、AC三者之间的数量关系为 ;
(3) 在(2)的条件下,在∠BAD的内部作∠DAM=60°,∠DAM的一边AM交BC于点M,AM与CE交于点N,若AC=2,求线段MN的长。
3. 已知,在△ABC中, BC=AC,∠MCN=∠ACB,CM交AB于点E,过点B作BF⊥CB交CN于点F.
(1) 当 ∠ACB=90°(如图1所示)时,求证:BE-AE=BF;
(1) 当∠ACB=120°(如图2所示)时,线段BE、AE与BF之间的数量关系为 ;
(2) 在(2)的条件下,FB、CE的延长线相交于点G,连接AG、FE,直线AG、FE交于点H,若AC=6,BF=BE,求AH的长。
“X”字型专题
1. 已知,A、C分别为∠BOE两边上的两点,D为∠BOE内一点,DC∥OB,DA∥OE,连接OD、AC相交于点F,G为FD上一点,过点G的直线交OE于Q,交CD于点P,交AD于点N,交OB于点M.
(1) 若FG=FD时(如图1),求证:PQ+MN=PN;
(2) 若FG=FD时(如图1),且△OAC为等边三角形,OC=4,CQ=3,现将∠DAC绕点A顺时针旋转,旋转后AD所在边交OC于S,AC所在边交CD于点T,当旋转到AT∥MQ时,连接ST,
求:ST长。
2. 如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,sin∠BAC=(即=),P为AB边上一点,过点P作PM⊥BC,PN⊥AD垂足为M、N。
(1) 当点M与点D重合时,求证:PM=P N.
(2) 当点N与点重合时,连接AM交PD于点E,将射线PD绕点P顺时针旋转45°,交AM于点F;若AC=3,求EF的长。
“M”字型专题
1. 已知,四边形ABCD中,AD=AB,AD∥BC,∠A=90°,M为AD的中点,F为BC边上一点,连接MF,过M点作ME⊥MF,交边AB于点E。
(1) 如图1,当∠ADC=90°时,求证:4AE+2CF=CD.
(2) 如图2,当∠ADC=135°时,线段AE、CF、CD的数量关系为 .
(3) 如图3,在(1)的条件下,连接EF、EC、EC与FM相交于点K,线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N,若NE=,FC=AE,求MK的长。
2.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,过点B作∠BAC平分线AD的垂线,垂足为D,AD交BC于点E.
(1)当=时,求证:DE=AE;
(2)当=时,判断DE、AE的关系 ;
(3)在(2)的条件下,取CD中点F,连结EF并延长交AC延长线于点G,交CD于F,现有一个45°角顶点与F重合,将它旋转一边交CG于点M,另一边交BC于点N,若CM=MG,AC=3,求CN的长。
2. 如图1,在△ABC中,AC=BC ,∠ACB=90°,点D为AB边中点,以点D为顶点,作∠PDQ=90°,DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F,分别过点E、F作AB的垂线,垂足分别为M、N.
(1) 求证:EM+FN=AC.
(2) 把∠PDQ绕点D旋转,当点E在线段AC的延长线上时(如图2)
特别资料
一、 基本图形:“A”字型
1. 计算,已知:△ABC中,DA交BF于点E,AE=ED,BD:CD=1:2,AC=4,求AF的值。
2. 已知,△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC=120°,若AC=6,BC=3,求AD的长。
3. 已知,△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AF=2,AB=,求DE的长度。
4.已知,D在BC的延长线上,DF交AC于点E,E为AC的中点,BF=3AF.
求证:BC=2CD.
5.已知:△AB C、△BCE均为等边三角形,且A、B、C共线,
求证:(1)MN∥AC (2)
6.已知,△ABC中,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB ,∠B=60°,
求证:(1)AE+CD=AC (2)若AD=5,PC=6,求AE的长。
二、基本图形:“X”字型
1.已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥DE,且DB=BC,若AE:EC=1:3,AB=5,求AD的长。
2.已知: △ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC交AD于点F,若∠BAC=45°,CD=1,BD=
求AD的长。
3. 已知,矩形ABCD沿BE折叠后C与G重合,若DE=1,CE=2,BC=6,求AF的长。
4. 已知:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BF平分∠ABC,且FC=2AF,求证:BE=EF.
5. 已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB⊥BD,∠DAE=60°,求证:BD+2EC=AC.
1. 已知:矩形ABCD沿AE折叠后B与G重合,且CE:BE=1:2,求证:AF-FD=AB.
2. 已知:矩形ABCD中,B(8,5),点P(m,0)且0<m<8,点O关于直线PC的对称点为O,直线CO交直线AB于Q,求m为何值时,△PCQ是以PQ为底边的等腰三角形。
三、 基本图形“直射影、斜射影”
1. 已知:△ABC中,∠BAD=∠C, 若AB=4,BD=2,求AD长。
2.已知:△ABC中,AD⊥AC, 若AB=AC=6,BD=1,求BC的长。
3.已知:AB⊥CD,∠CED=90°,DF⊥AC交BE于点G,若BG=3,AE=6,求EG的长。
4.已知:AD平分∠BAC,E在BC的延长线上,EF垂直平分AD且CE=2CD,
求证:DE=2BD.
5.已知:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,延长AC至E使∠CED=∠CBE,求证:AC=CE .
6. 已知:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为AD中点,且EF⊥EC,求证:BF=3DF .
7.已知:梯形OABC中,BC∥OA,B(3,6),A(8,0)点P(m,n)在AB边上(3<m<8),过P作OA平行线OA,交AC于D,过P作OA的垂线交OA于点E,
求,当m为何值时,△ODE为直角三角形?
8.已知:△ABC中,BC=2AB,P为BC中点,∠ABC=∠APF=120°,且∠ABD=∠C,
(1)求证:PF=AE (2)若AD=,求DE的长。
四、基本图形“M”型①直M型②斜M型
1.已知:Rt △ABC中,∠C=90°,D为BC中点,∠ADE=∠B,若AC=2,BC=4,求BE的长。
2.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠AEF=90°,若AB=3,BE=1,AD=6,EC=8,求DF的长。
3. 已知:Rt △ABC中,∠BAC=90°,D为BC中点,∠EDF=∠B=45°,若BF=2,AE=3,求EF的长。
4.已知:△ABC为等边三角形,D为BC中点,∠EDF=60°,若AE=3,EF=7,求FC的长。
5. 已知:△ABC中,∠BAC=120°,∠EDF=∠B=30°,且AB=2AE,求证:DF=CF。
6. 已知:Rt △ABC中,∠A=90°,∠EDF=∠B=45°,若AE: BD=1:,求证:EC=2AE。
7.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,PA:PD=1:2,且 ∠A=∠EPF=120°
求证:PF=3PE.
8.已知:梯形ABCD中,BC∥OA,A(,0),B(,8),点P在BC边上,点Q(m,n)在AB边上,PO⊥PQ,求当m为何值时,?
9. Rt △ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AD,且AC=2CD,
(1)求证:BD=2BE.
(2)连接EC交AD于F,BD·CD=60,求DF的长。
五、基本图形:(1)“双高型”①含45°必全等②有6+2对相似,(2)斜“A”型,(3)斜“X” 型, (2)“双斜”型,
1.已知:△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,AD:BD=1:2,BC=,求DE的长。
2.已知:矩形ABCD中,BC=3AB,CE:BE=1:2,求∠1+∠2的度数。
3.已知: Rt △ABC中,∠C=90°, AB=AC,D为BC的中点,∠EDF=45°,若BE=4,DE=2,求EF的长。
4.已知:等边△ABC边长为,D为BC的中点,∠EDF=60°,设EF=x,S=y,求y与x之间的函数关系式。
5.已知:Rt △ABC中,∠A=90°,AD=BE=AB=AC,求证:∠1=∠2。
6.已知:△ABC中,AD⊥BC,BF⊥AC,且∠ABC=60°,求证:AB+CE=2CB.
7.已知:梯形ABCD中,AD∥BC,BD=CD,∠AEB=∠C=60°,求证:AD+DE=BD.
8.已知:△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,F为DE中点,求证:AF⊥BE.
9.已知:Rt △ABC中,∠BAC=90°, AD⊥BC,∠EDF=90°,且AD:BD=1:2,
(1)求证:DE=2DF.
(2)若CD·PE=DF·AF,AC=5,求PF的长。