中考数学专题训练——专题一 几何题型 中点M型无答案 3页

专题一 中点M型 ‎ 基本条件：‎ ‎①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点 基本结论：‎ ‎①△EMF∽△EBM∽△MCF.‎ ‎②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.‎ ‎③EM＝EB·EF，FM＝FC·EF.‎ 常见特例：‎ 特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。‎ 特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。特例三：条件：①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。‎ 特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。‎ 特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。‎ 巩固练习：‎ 1. 已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，若AD＝2，‎ BC＝4，∠CED＝90°，则CD长为 。‎ 2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若 AE＝2，EF＝1，‎ AF＝ ，则正方形的边长为 。‎ 3. 已知：等边 △ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点 ‎，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。DN交AC于点F，当 ‎∠DAN＝90°时，则FN的长为 。‎ 4. 如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.‎ （1） 求直线EF的解析式；‎ （2） 将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。‎ 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.‎ (1) 当0＜α＜90，（如图1），求证：AE＋2BF＝AB；‎ (2) 当90＜α＜180，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系 ；‎ (3) 在（1）的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时（如图3），求BF的值。‎ 2. 已知：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为射线BC上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，分别交直线AB、直线CD于点G和F.‎ (1) 当点E在BC上时（如图1），求证：BE＝BG＋CF.‎ (2) 当点E在BC的延长线上时（如图2），猜想BE、BG和CF的数量关系，并证明你的猜想；‎ (3) 在（2）的条件下，设AE交CD于点H，若CH＝BE，AB＝2，且CD＜，求EG的长。‎ ‎“A”字型专题 ‎ 1. 已知，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，点G在边AD上，连接EG，EG＝DG，作EF⊥EG，交边BC于点F(图1)。‎ （1） 求证：AE＋CF＝EF；‎ （2） 连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论 。‎ （3） 在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝8，△BEF的周长为24，求PK的长。‎ 2. 如图，在△ABC中，AB＝‎2AC，点D在BC上，且∠CAD＝∠B，点E在AB的中点，连接CE，CE与AD交于点G，点F在BC上，且∠CEF＝∠BAC.‎ （1） 若∠BAC＝90°，如图1，求证：EG＋EF＝AC；‎ （2） 若∠BAC＝120°，如图2，此时线段EG、EF、AC三者之间的数量关系为 ；‎ （3） 在（2）的条件下，在∠BAD的内部作∠DAM＝60°，∠DAM的一边AM交BC于点M，AM与CE交于点N，若AC＝2，求线段MN的长。‎ 3. 已知，在△ABC中， BC＝AC，∠MCN＝∠ACB，CM交AB于点E，过点B作BF⊥CB交CN于点F.‎ （1） 当 ∠ACB＝90°（如图1所示）时，求证：BE－AE＝BF；‎ （1） 当∠ACB＝120°（如图2所示）时，线段BE、AE与BF之间的数量关系为 ；‎ （2） 在（2）的条件下，FB、CE的延长线相交于点G，连接AG、FE，直线AG、FE交于点H,若AC＝6，BF＝BE，求AH的长。‎ ‎“X”字型专题 1. 已知，A、C分别为∠BOE两边上的两点，D为∠BOE内一点，DC∥OB，DA∥OE，连接OD、AC相交于点F，G为FD上一点，过点G的直线交OE于Q，交CD于点P，交AD于点N，交OB于点M.‎ （1） 若FG＝FD时（如图1），求证：PQ＋MN＝PN；‎ （2） 若FG＝FD时（如图1），且△OAC为等边三角形，OC＝4，CQ＝3，现将∠DAC绕点A顺时针旋转，旋转后AD所在边交OC于S，AC所在边交CD于点T，当旋转到AT∥MQ时，连接ST，‎ 求：ST长。‎ 2. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，sin∠BAC＝(即＝)，P为AB边上一点，过点P作PM⊥BC，PN⊥AD垂足为M、N。‎ （1） 当点M与点D重合时，求证：PM＝P N.‎ （2） 当点N与点重合时，连接AM交PD于点E，将射线PD绕点P顺时针旋转45°，交AM于点F；若AC＝3，求EF的长。‎ ‎“M”字型专题 1. 已知，四边形ABCD中，AD＝AB，AD∥BC，∠A＝90°，M为AD的中点，F为BC边上一点，连接MF，过M点作ME⊥MF，交边AB于点E。‎ （1） 如图1，当∠ADC＝90°时，求证：4AE＋2CF＝CD.‎ （2） 如图2，当∠ADC＝135°时，线段AE、CF、CD的数量关系为 .‎ （3） 如图3，在（1）的条件下，连接EF、EC、EC与FM相交于点K，线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N，若NE＝，FC＝AE，求MK的长。‎ ‎2.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，过点B作∠BAC平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于点E.‎ ‎（1）当＝时，求证：DE＝AE；‎ ‎（2）当＝时，判断DE、AE的关系 ；‎ ‎（3）在（2）的条件下，取CD中点F，连结EF并延长交AC延长线于点G，交CD于F，现有一个45°角顶点与F重合，将它旋转一边交CG于点M，另一边交BC于点N，若CM＝MG，AC＝3，求CN的长。‎ 2. 如图1，在△ABC中，AC＝BC ，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，以点D为顶点，作∠PDQ＝90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过点E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N.‎ （1） 求证：EM＋FN＝AC.‎ （2） 把∠PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时（如图2） ‎ 特别资料 一、 基本图形：“A”字型 1. 计算，已知：△ABC中，DA交BF于点E，AE＝ED，BD：CD＝1:2，AC＝4，求AF的值。‎ 2. 已知，△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，若AC＝6，BC＝3，求AD的长。‎ 3. 已知，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AF＝2，AB＝，求DE的长度。‎ ‎4.已知，D在BC的延长线上，DF交AC于点E，E为AC的中点，BF＝3AF.‎ 求证：BC＝2CD.‎ ‎5.已知：△AB C、△BCE均为等边三角形，且A、B、C共线，‎ 求证：（1）MN∥AC （2） ‎ ‎6.已知，△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB ，∠B＝60°，‎ 求证：（1）AE＋CD＝AC （2）若AD＝5，PC＝6，求AE的长。‎ 二、基本图形：“X”字型 ‎1.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥DE，且DB＝BC，若AE:EC＝1:3，AB＝5，求AD的长。‎ ‎2.已知： △ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC交AD于点F，若∠BAC＝45°，CD＝1，BD＝‎ 求AD的长。 ‎ 3. 已知，矩形ABCD沿BE折叠后C与G重合，若DE＝1，CE＝2，BC＝6，求AF的长。‎ 4. 已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BF平分∠ABC，且FC＝2AF，求证：BE＝EF.‎ 5. 已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB⊥BD，∠DAE＝60°，求证：BD＋2EC＝AC.‎ 1. 已知：矩形ABCD沿AE折叠后B与G重合，且CE:BE＝1:2，求证：AF－FD＝AB.‎ 2. 已知：矩形ABCD中，B（8，5），点P（m，0）且0＜m＜8，点O关于直线PC的对称点为O，直线CO交直线AB于Q,求m为何值时，△PCQ是以PQ为底边的等腰三角形。‎ 三、 基本图形“直射影、斜射影”‎ 1. 已知：△ABC中，∠BAD＝∠C， 若AB＝4，BD＝2，求AD长。‎ ‎2.已知：△ABC中，AD⊥AC， 若AB＝AC＝6，BD＝1，求BC的长。‎ ‎3.已知：AB⊥CD，∠CED＝90°，DF⊥AC交BE于点G，若BG＝3，AE＝6，求EG的长。‎ ‎4.已知：AD平分∠BAC，E在BC的延长线上，EF垂直平分AD且CE＝2CD，‎ 求证：DE＝2BD.‎ ‎5.已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，延长AC至E使∠CED＝∠CBE，求证：AC＝CE .‎ ‎ 6. 已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为AD中点，且EF⊥EC，求证：BF＝3DF .‎ ‎7.已知：梯形OABC中，BC∥OA，B（3，6），A（8,0）点P(m，n)在AB边上（3＜m＜8），过P作OA平行线OA，交AC于D，过P作OA的垂线交OA于点E，‎ 求，当m为何值时，△ODE为直角三角形？‎ ‎8.已知：△ABC中，BC＝2AB，P为BC中点，∠ABC＝∠APF＝120°，且∠ABD＝∠C，‎ ‎（1）求证：PF＝AE （2）若AD＝，求DE的长。‎ 四、基本图形“M”型①直M型②斜M型 ‎1.已知：Rt △ABC中，∠C＝90°，D为BC中点，∠ADE＝∠B，若AC＝2，BC＝4，求BE的长。‎ ‎2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠AEF＝90°，若AB＝3，BE＝1，AD＝6，EC＝8，求DF的长。‎ ‎3. 已知：Rt △ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，∠EDF＝∠B＝45°，若BF＝2，AE＝3，求EF的长。‎ ‎4.已知：△ABC为等边三角形，D为BC中点，∠EDF＝60°，若AE＝3，EF＝7，求FC的长。‎ ‎5. 已知：△ABC中，∠BAC＝120°，∠EDF＝∠B＝30°，且AB＝2AE，求证:DF＝CF。‎ ‎6. 已知：Rt △ABC中，∠A＝90°，∠EDF＝∠B＝45°，若AE: BD＝1:，求证：EC＝2AE。‎ ‎7.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，PA:PD＝1:2，且 ∠A＝∠EPF＝120° ‎ 求证：PF＝3PE.‎ ‎8.已知：梯形ABCD中，BC∥OA，A(，0)，B（，8），点P在BC边上，点Q（m，n）在AB边上，PO⊥PQ，求当m为何值时，?‎ ‎9. Rt △ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD，且AC＝2CD,‎ ‎（1）求证：BD＝2BE.‎ ‎（2）连接EC交AD于F，BD·CD＝60，求DF的长。‎ 五、基本图形：（1）“双高型”①含45°必全等②有6+2对相似，（2）斜“A”型，（3）斜“X” 型， （2）“双斜”型， ‎ ‎1.已知：△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，AD:BD＝1:2，BC＝，求DE的长。‎ ‎2.已知：矩形ABCD中，BC＝3AB，CE:BE＝1:2，求∠1＋∠2的度数。‎ ‎3.已知： Rt △ABC中，∠C＝90°， AB＝AC,D为BC的中点，∠EDF＝45°，若BE＝4，DE＝2，求EF的长。‎ ‎4.已知：等边△ABC边长为，D为BC的中点，∠EDF＝60°，设EF＝x，S＝y，求y与x之间的函数关系式。‎ ‎5.已知：Rt △ABC中，∠A＝90°，AD＝BE＝AB＝AC，求证：∠1＝∠2。‎ ‎6.已知：△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，且∠ABC＝60°，求证：AB＋CE＝2CB.‎ ‎7.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠AEB＝∠C＝60°，求证：AD＋DE＝BD.‎ ‎8.已知：△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，DE⊥AC，F为DE中点，求证：AF⊥BE.‎ ‎9.已知：Rt △ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，∠EDF＝90°，且AD:BD＝1:2，‎ ‎（1）求证：DE＝2DF.‎ ‎（2）若CD·PE＝DF·AF，AC＝5，求PF的长。‎