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- 2021-11-01 发布
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
1.掌握一次函数与方程、不等式的关系;(重点)
2.综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题.(难点)
一、情境导入
1.下面三个方程有什么共同点和不同点?你能进行解释吗?
(1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
能从函数的角度解这三个方程吗?
2.下面三个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗?
(1)3x+2>2;(2)3x+2<0;(3)3x+2<-1.
二、合作探究
探究点一:一次函数与一元一次方程
一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为( )
A.x=-1 B.x=2
C.x=0 D.x=3[来源:学科网]
解析:∵y=kx+b经过点(2,3)、(0,1),∴解得∴一次函数解析式为y=x+1.令x+1=0,解得x=-1.故选A.[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
方法总结:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标的值.
探究点二:一次函数与一元一次不等式
对照图象,请回答下列问题:
(1)当x取何值时,2x-5=-x+1?
(2)当x取何值时,2x-5>-x+1?
(3)当x取何值时,2x-5<-x+1?
解析:(1)直线y=2x-5与直线y=-x+1的交点横坐标的值即为方程2x-5=-x+1的解;(2)直线y=2x-5在直线y=-x+1上方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x-5>-x+1的解集;(3)直线y=2x-5在直线y=-x+1下方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x-5<-x+1的解集.
解:(1)由图象可知,直线y=2x-5与直线y=-x+1的交点的横坐标是2,所以当x取2时,2x-5=-x+1;
(2)由图象可知,当x>2时,直线y=2x-5落在直线y=-x+1的上方,即2x-5>-x+1;[来源:Zxxk.Com]
(3)由图象可知,当x<2时,直线y=2x-5落在直线y=-x+1的下方,即2x-5<-x+1.
方法总结:从函数的角度看,就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
探究点三:一次函数与二元一次方程(组)
直角坐标系中有两条直线:y=x+,y=-x+6,它们的交点为P,第一条直线交x轴于点A,第二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)用图象法解方程组
(3)求△PAB的面积.
解析:(1)分别令y=0,求出x的值即可得到点A、B的坐标;(2)建立平面直角坐标系,然后作出两直线,交点坐标即为方程组的解;(3)求出AB的长,再利用三角形的面积公式列式计算即可得解.
解:(1)令y=0,则x+=0,解得x=-3,所以点A的坐标为(-3,0).令-x+6=0,解得x=4,所以点B的坐标为(4,0);
(2)如图所示,方程组的解是
(3)AB=4-(-3)=4+3=7,S△PAB=×7×3=.
方法总结:本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系:两个方程的解的对应点分别在两条直线上,所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线,求出交点,则交点的坐标同时满足两个方程,即为方程组的解.
探究点四:运用一次函数与方程、不等式解决实际问题
某销售公司推销一种产品,设x(单位:件)是推销产品的数量,y(单位:元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示,推销员可以任选一种与公司签订合同,看图解答下列问题:
(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式;
(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时,求x的取值范围.
解析:(1)由图已知两点,可根据待定系数法列方程组,求出函数关系式;(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标,即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围.
解:(1)设方案一的解析式为y=kx,把(40,1600)代入解析式,可得k=40,∴方案一y关于x的解析式为y=40x;设方案二的解析式为y=ax+b,把(40,1400)和(0,600)代入解析式,可得解得∴方案二y关于x的解析式为y=20x+600;
(2)根据两直线相交可得40x=20x+600,解得x=30,故两直线交点的横坐标为30.当x>30时,选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬.
方法总结:解决此类识图题,同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势.
三、板书设计[来源:学科网]
1.一次函数与一元一次方程的关系
2.一次函数与一元一次不等式的关系
3.用图象法求二元一次方程组的解
4.应用一次函数与方程、不等式解决实际问题
在教学的过程中,学生是教学的主体,所以发挥学生的主动性相当的重要.本节课是在一次函数的基础上教学的,是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课标的教学理念:教师为主导、学生为主体,把课堂还给学生.
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