2020八年级数学下册 专题突破讲练 一次函数在实际问题中的应用试题 （新版）青岛版 11页

一次函数在实际问题中的应用 一次函数在实际问题中的应用 ‎1. 在行程类问题中的应用：‎ 本类应用为今后重点出题方向，从知识点上讲，主要考查了二元一次方程组、一次函数、图象交点等内容的综合。‎ ‎（1）相遇类问题：如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。如何理解图象？‎ 答案：慢车12h到达终点，两车之间的距离开始的时候是‎1000千米，4h时两车相遇，C点时快车到达终点，慢车继续行驶，CD过程中快车与慢车的距离仍然在拉大，但拉大幅度比BC段减小。‎ ‎（2）追及类问题：如图所示，小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，‎ ‎2. 在工程类问题中的应用：‎ 如图所示，某项工程，由甲、乙两个施工队合作完成。先由甲施工队单独施工3天，剩下的工作由甲、乙两个施工队合作完成。工程进度满足如图所示的函数关系，则完成此项工程共需多少天？‎ 答案：9天。‎ ‎3. 商品利润类问题中的应用：‎ 11‎ 如图所示，一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时间为x分，计费为y元，如图是在同一平面直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函救的图象，如何理解？‎ 答案：400分钟的时候两种方式消费相同，400分钟以内方式甲费用低于方式乙，400分钟以上甲的费用高于方式乙。‎ ‎4. 根据文字叙述情境用函数关系式解决问题：‎ 某校为了实施“大课间”活动，计划购买篮球、排球共60个，跳绳120根．已知一个篮球70元，一个排球50元，一根跳绳10元．设购买篮球x个，购买篮球、排球和跳绳的总费用为y元。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若购买上述体育用品的总费用为4700元，问篮球、排球各买多少个？‎ 答案：（1）；（2）篮球25个，排球35个。‎ 总结：‎ ‎1. 理解图象中的交点，与x轴平行等所表达的意义。‎ ‎2. 在实际应用中，要特别观察图象x、y轴代表的实际意义，理解了坐标轴的意义才能更好的解决问题。‎ 例题 校运动会前，小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人并行跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛过程中小明的速度始终是‎180米/分，小亮的速度始终是‎220米/分。两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间t（分钟）之间的函数图象如图所示，下列说法：①小明比赛前的速度为‎180米/分；②小明和小亮家相距‎540米；③小亮在跑步过程中速度始终保持不变；④小明离家7分钟时两人之间的距离为‎80米；⑤小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，再经过0.9分钟两人相遇，其中一定正确的个数（　　）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ 解析：根据函数图象可以求出小明比赛前的速度为（540－440）÷1=‎‎100米 11‎ ‎/分，两家的距离为‎540米，根据速度×时间=路程就可以求出小亮在比赛前的速度与220比较就可以确定是否发生变化，根据比赛时两人的速度关系就可以求出比赛2分钟时两人的距离，⑤先求出14分钟时小亮在小明前面的距离，再由相遇问题就可以求出结论。‎ 答案：解：由函数图象及题意，得①小明比赛前的速度为：（540－440）÷1=‎100米/分≠‎180米/分，故①错误；②小明与小亮家相距：‎540米；故②正确；③小亮在比赛前的速度为：440÷2－100=‎120米/秒≠‎220米/秒；故③错误；④小明离家7分钟时两人之间的距离为：（7－5）（220－180）=‎80米，故④正确；⑤小亮从家出门跑了14分钟后两人之间的距离为：（14+1－5）（220－180）=‎400米，小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）=1分钟，故⑤不正确．∴正确的个数有2个。故答案为：B。‎ 点拨：解答时，灵活运用行程问题的数量关系解答是关键。‎ 两车距离问题 例题 甲乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离s（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶。‎ ‎（1）A、B两地的距离　　　　‎560千米；乙车速度是　　　　‎100km/h；a表示　　　　　　　　。‎ ‎（2）乙出发多长时间后两车相距‎330千米？‎ 解析：（1）根据图象，甲出发时的s值即为A、B两地间的距离；先求出甲车的速度，设乙车的速度为xkm/h，再利用相遇问题列出方程求解即可；求出相遇后甲车到达B地的时间，再根据路程=速度×时间求出两车的相距距离a；（2）设直线BC的解析式为s=k1t+b1（k1≠0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，再令s=330，求出t的值，减去1即为相遇前乙车出发的时间；设直线CD的解析式为s=k2t+b2（k2≠0），利用待定系数法求出直线CD的解析式，再令s=330，求出t的值，减去1即为相遇后乙车出发的时间。‎ 答案：解：（1）当t=0时，s=560，所以A、B两地的距离为‎560千米；甲车的速度为：（560－440）÷1=‎120km/h，设乙车的速度为xkm/h，则（120+x）×（3－1）=440，解得x=100；相遇后甲车到达B地的时间为：（3－1）×100÷120=小时，所以a=（120+100）×=千米；（2）设直线BC的解析式为s=k1t+b1（k1‎ 11‎ ‎≠0），将B（1，440），C（3，0）代入得，解得，所以s=－220t+660，当－220t+660=330时，解得t=1.5，所以t－1=1.5－1=0.5；设直线CD的解析式为s=k2t+b2（k2≠0），点D的横坐标为+3=，将C（3，0），D（，）代入，得，解得，所以s=220t－660，当220t－660=330时，解得t=4.5，所以，t－1=4.5－1=3.5。‎ 答：乙出发多长0.5小时或3.5小时后两车相距‎330千米。‎ 隐含条件的函数应用 例题 因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少。为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予支援。下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象。在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：‎ ‎（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？‎ ‎（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？‎ ‎（3）求直线AD的解析式。‎ 解析：（1）由甲函数图象5天水的减少量即可算出甲每天的放水量；（2）由图象可以看出，10天后乙水库蓄水量开始增加，由直线AB的函数解析式得出A点坐标，求出此时乙水库的蓄水量；（3）要求直线AD的解析式需求出D点坐标，甲的排水量为乙的进水量，则D的横坐标为15，按等量关系“15天后乙的蓄水量=10天原有的水量+甲注入的水量－自身排出的水量”求出D点纵坐标，再求出函数解析式。‎ 答案：解：（1）甲水库每天的放水量为（3000－1000）÷5=400（万米3/天）；‎ ‎（2）甲水库输出的水第10天时开始注入乙水库，设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵B（0，800），C（5，550）∴，解得，∴直线AB的解析式为：yAB=－50x+800，当x=10时，y=300，∴此时乙水库的蓄水量为300（万米3）。‎ 答：在第10天时甲水库输出的水开始注入乙水库，此时乙水库的蓄水量为300万立方米。‎ 11‎ ‎（3）∵甲水库单位时间的放水量与乙水库单位时间的进水量相同且损耗不计，∴乙水库的进水时间为5天，∵乙水库15天后的蓄水量为：300+2000－5×50=2050（万米3），∵过点A的直线解析式为yAB=－50x+800，∴当x=10，y=－500+800=300，∴A（10，300），D（15，2050），设直线AD的解析式为：y=k1x+b1（k≠0），‎ ‎∴，∴‎ ‎∴直线AD的解析式为：yAD=350x－3200。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：‎ ‎（1）他们都行驶了‎20km；（2）小陆全程共用了1.5h；（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；（4）小李在途中停留了0.5h．其中正确的有（　　）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎2. 为使我市冬季“天更蓝、房更暖”、政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条‎600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖‎100米；②乙队开挖两天后，每天挖‎50米；③当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 个 D. 4个 ‎*3. 甲、乙两车同时从M地出发，以各自的速度匀速向N地行驶．甲车先到达N地，停留1h后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇，乙车的速度为‎60km/h 11‎ ‎。如图是两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象。以下结论正确的是（ ）‎ ‎①甲车从M地到N地的速度为‎100km/h；②M、N两地之间相距‎120km；③点A的坐标为（4，60）；④当4≤x≤4.4时，函数解析式为y=－150x+660；⑤甲车返回时行驶速度为‎100km/h A. ①②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②③‎ ‎*4. 小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行。他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示。下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480。其中正确的是（　　）‎ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④‎ ‎**5. 已知每一个小时有一列速度相同的动车从甲地开往乙地，图中OA、MN分别是第一列动车和第二列动车离甲地的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象，折线DB－BC是一列从乙地开往甲地速度为‎100km/h的普通快车距甲地的路程s（km）与运行时间t（h）的函数图象。以下说法错误的是（　　）‎ A. 普通快车比第一列动车晚发车0.5h B. 普通快车比第一列动车晚到达终点1.5h C. 第二列动车出发后1h与普通快车相遇 D. 普通快车与迎面的相邻两动车相遇的时间间隔为0.7h 二、填空题 ‎ ‎*6. 一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了　　 　24分钟。‎ 11‎ ‎*7. 有一项工作，由甲、乙合作完成，合作一段时间后，乙改进了技术，提高了工作效率。图①表示甲、乙合作完成的工作量y（件）与工作时间t（时）的函数图象。图②分别表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y乙（件）与工作时间t（时）的函数图象，则甲每小时完成　　　　　　　　　　30件，乙提高工作效率后，再工作　　　　　　　　个小时与甲完成的工作量相等。‎ ‎*8、设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回。设x秒后两车间的距离为y米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度是 　　　　　20‎ 米/秒。‎ ‎**9. 甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地。2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发　　　　　　小时时，行进中的两车相距‎8千米。‎ 11‎ 三、解答题 ‎10. 某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元。求一个工人：（1）完成100个以内所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式。‎ ‎ *11. 快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示。‎ 请结合图象信息解答下列问题：‎ ‎（1）快、慢两车的速度各是多少？‎ ‎（2）出发多少小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等？‎ ‎（3）直接写出在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为‎150千米的次数。‎ ‎*12. 快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行。快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息。下图表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象。请结合图象信息。解答下列问题：‎ ‎（1）直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；‎ ‎（2）求快车从B 返回 A站时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）出发几小时，两车相距‎200千米？请直接写出答案。‎ 11‎ ‎1. A 解析：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了‎20km，故原说法正确；（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2－0.5=1.5h，故原说法正确；（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法正确；（4）根据图象可得：表示小李的s－t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1－0.5=0.5小时，故原说法正确。故选A。‎ ‎2. D 解析：由图象，得①600÷6=‎100米/天，故①正确；②（500－300）÷4=‎50米/天，故②正确；③甲队4天完成的工作量是：100×4=‎400米，乙队4天完成的工作量是：300+2×50=‎400米，∵400=400，∴当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同，故③正确；④由图象得甲队完成‎600米的时间是6天，乙队完成‎60米的时间是：2+300÷50=8天，∵8－6=2天，∴甲队比乙队提前2天完成任务，故④正确；故选D。‎ ‎3. B 解析：设甲车从M到N地的速度为akm/h，∵3小时后甲乙相距‎120km，∴3（a－60）=120，∴a=100，所以①正确；∵甲车先到达N地，停留1h后按原路返回，∴甲到达N时，甲乙相距最远，此时甲行驶了3×100=300（km），∴M、N两地之间相距‎300km，所以②不正确；∵甲在N地停留1h时，乙行驶了1×60=60（km），∴4小时后甲乙相距120－60=60（km），∴A点坐标为（4，60），所以③正确；设当4≤x≤4.4时，函数解析式为y=kx+b（k≠0），把（4，60）、（4.4，0）代入得，，解得，∴函数解析式为y=－150x+660（4≤x≤4.4），所以④正确；当x=4.4，甲乙相遇，此时乙行驶了4.4×60=‎264km，∴甲返回时的速度==90（km/h），所以⑤不正确。故选B。‎ ‎4. B 解析：由图象得出小文步行‎720米，需要9分钟，所以小文的运动速度为：720÷9=80（m/t），当第15分钟时，小亮运动15－9=6（分钟），运动距离为：15×80=1200（m），∴小亮的运动速度为：1200÷6=200（m/t），∴200÷80=2.5，故②小亮的速度是小文速度的2.5倍正确；当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明小亮已经到达终点，故①小亮先到达青少年宫正确；此时小亮运动19－9=10（分钟），运动总距离为：10×200=2000（m），∴小文运动时间为：2000÷80=25（分钟），故a的值为25，故③a=24错误；∵小文19分钟运动距离为：19×80=1520（m），∴b=2000－1520=480，故④b=480正确．故正确的有：①②④。故选；B。‎ ‎5. D 解析：A. 第一列动车从O点开始走，而普通快车从B点开始走，即普通快车比第一列动车晚发车0.5－0=0.5（h），正确，故本选项错误；B. 普通快车到达终点（C）时，对应的时间是3.5h，而第一列动车到达终点（A）时，时间是2h，即3.5h－2h=1.5h，正确，故本选项错误；C. 第二列动车和普通快车相遇在E点，第二列动车走了2－1=1（h），正确，故本选项错误；D. ∵第二列动车和普通快车相遇在E点，时间2h，第一列动车和普通快车相遇在F点，时间是1.4h，∴2h－1.4h=0.6h，错误，故本选项正确；故选D。‎ 11‎ ‎6. 24 解析：依题意，步行到考场需要时间为40分钟，设乘出租车的路程y与时间x（分钟）的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则，解得，y=x－1，当y=1时，x=16，提前时间=40－16=24分钟。故答案为：24。‎ ‎7. 30， 解析：设甲原来每小时做x件，乙每小时作y件，乙提高工作效率后每小时比原来多做a件，由图象，得，解得：，则甲每小时完成30件；设乙提高工作效率后再工作m小时与甲完成的工作量相等，由题意，得2×20+（20+40）m=2×30+‎30m，解得：m=，故答案为：30，。‎ ‎8. 20 解析：设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，由题意得，，解得：。故答案为20。‎ ‎9. 或 解析：由图可知，小聪的速度为：36÷3=12千米/时，小明的父亲的速度为：36÷（3－2）=36千米/时，设小明的父亲出发x小时两车相距‎8千米，则小聪出发的时间为（x+2）小时，根据题意得，12（x+2）－36x=8或36x－12（x+2）=8，解得x=或x=，所以，出发或小时时，行进中的两车相距‎8千米。故答案为：或。‎ ‎10. 解：（1）y=1.5x （x≤100）；（2）y=1.5x+（x－100）×0.3（100＜x≤200）；（3）y=1.5x+（x－100）×0.3+（x－200）×0.4 （x＞200）。‎ ‎11. 解：（1）如图所示：快车一共行驶了7小时，中间停留了1小时，慢车一共行驶了6小时，∵由图可得出两地相距‎360km，∴快车速度为：360×2÷6=120（km/h），慢车速度为：360÷6=60（km/h）；‎ ‎（2）∵快车速度为：‎120km/h，∴360÷120=3（h），∴A点坐标为；（3，360）∴B点坐标为（4，360），可得E点坐标为：（6，360），D点坐标为：（7，0），∴设BD解析式为：y=kx+b（k≠0），，解得：‎ 11‎ ‎，∴BD解析式为：y=－120x+840，设OE解析式为：y=ax（a≠0），∴360=‎6a，解得：a=60，∴OE解析式为：y=60x，当快、慢两车距各自出发地的路程相等时：60x=－120x+840，解得：x=，答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等；‎ ‎（3）根据两车第一次相遇前可以相距‎150km，第一次相遇后两车再次相距‎150km，当快车到达乙地后返回时两车可以相距‎150km，综上所述：在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为‎150千米的次数是3次。‎ ‎12. 解：（1）∵从图上可以看出来10小时时，快车到达B地，随后的1个小时，快车在休息，只有慢车在走，它1小时走的路程是880－800=‎80km，∴慢车的速度是：‎80km/小时．快车的速度是：6×80÷（10－6）=‎120km/小时；∴两地之间的距离是：6×（120+80）=‎1200km．答：快车的速度120千米/小时；慢车的速度80千米/小时；A、B两站间的距离1200千米。‎ ‎（2）快车从B出发到慢车到站时，二者的距离减小：（120－80）×（15－11）=‎160千米，则此时两车的距离是：880－160=‎720千米，则点Q的坐标为（15，720）。设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），由P（11，880），Q（15，720）得1，解得。‎ 故直线PQ的解析式为：y=－40x+1320．设直线QH的解析式为y=mx+n（m≠0），由Q（15，720），H（21，0）得，解得。‎ 故直线QH的解析式为：y=－120x+2520。‎ 故快车从B返回A站时，y与x之间的函数关系式为：y＝−40x+1320。（11＜x≤15）y＝−120x+2520。（15＜x≤21）。‎ ‎（3）在相遇前两车相距‎200km的时间是：（1200－200）÷（120+80）=5小时；在两车相遇后，快车到达B地前相距‎200km的时间是：（1200+200）÷（120+80）=7小时；在慢车到达A地后，快车在返回A地前相距‎200km的时间是：11+（1200－200）÷120=19小时。故出发5小时或7小时或19小时，两车相距‎200千米。‎ 11‎