2020年秋人教版八年级数学上册期中试卷（2） 30页

第 1页（共 30页） 2020 年秋人教版八年级数学上册期中试卷（2） 一、选择题（共 15 题，每小题 3 分，共 45 分） 1．（3 分）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 3．（3 分）三条线段 a=5，b=3，c 的值为整数，由 a、b、c 为边可组成三角形（ ） A．1 个 B．3 个 C．5 个 D．无数个 4．（3 分）多边形每一个内角都等于 150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线 有（ ） A．7 条 B．8 条 C．9 条 D．10 条 5．（3 分）如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ ABC 全 等 的 图 形 是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 6．（3 分）如图，△ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平 分线将△ABC 分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO 等于（ ） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 7．（3 分）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他 想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ） 第 2页（共 30页） A．① B．② C．③ D．①和② 8．（3 分）下列说法正确的是（ ） A．周长相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 9．（3 分）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 的是（ ） A．AB=DE，BC=ED，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D．∠B=∠E，∠A=∠D，AB=DE 10．（3 分）AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，若 AB=4，AC=6，则 AD 的取值范围 是（ ） A．AD＞1 B．AD＜5 C．1＜AD＜5 D．2＜AD＜10 11．（3 分）如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DE ∥BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，那么下列结论： ①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形； ②DE=BD+CE； ③△ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和； ④BF=CF． 其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 12．（3 分）如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，角平分线 AE 交 CD 于 H， EF⊥AB 于 F，则下列结论中不正确的是（ ） 第 3页（共 30页） A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD 13．（3 分）下列命题正确的是（ ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等 D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等 14．（3 分）将点 A（3，2）沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A′，点 A′关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，﹣2） 15．（3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，BD 和 CE 交 于 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全等的直角三角形有（ ） A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 16．（3 分）若一个 n 边形的边数增加一倍，则内角和将增加 ． 17．（3 分）如图，由平面上五个点 A、B、C、D、E 连接而成，则∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E= ． 18．（3 分）如图：在△ABC 和△FED 中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 时， 第 4页（共 30页） 就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可） 19．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC=15，且 BD：DC=3：2，则 D 到边 AB 的距离是 ． 20．（3 分）如图，OP 平分∠MON，PE⊥OM 于 E，PF⊥ON 于 F，OA=OB，则图 中有 对全等三角形． 21．（3 分）如图，在 Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段 PQ=AB，P、 Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则 AP= ． 22．（3 分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ． 23．（3 分）已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂 线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于 ． 第 5页（共 30页） 24．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换， 若原来点 A 坐标是（a，b），则经过第 2016 变换后所得的 A 点坐标是 ． 25．（3 分）如图是 4×4 正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色．现在要 从其余 13 个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴 对称图形，这样的白色小方格有 个． 三、解答题（共 7 小题，满分 45 分） 26．（6 分）作图题：（不写作法，但要保留痕迹） （1）作出下面图形关于直线 l 的轴对称图形（图 1）． （2）在图 2 中找出点 A，使它到 M，N 两点的距离相等，并且到 OH，OF 的距 离相等． （3）在图 3 中找到一点 M，使它到 A、B 两点的距离和最小． 27．（4 分）已知 A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点 A，B 关于 x 轴对称，求 a， 第 6页（共 30页） b 的值． 28．（6 分）已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF 是 CD 的垂直平分线， 求证：∠B=∠E． 29．（6 分）如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，AE=CE， AB 与 CF 有什么位置关系？证明你的结论． 30．（6 分）如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB，将直角三角板的顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D，问 PC 与 PD 相等吗？试 说明理由． 31．（6 分）已知：如图，在△ABC、△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE， 点 C、D、E 三点在同一直线上，连接 BD． 求证：△BAD≌△CAE． 32．（11 分）如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边 三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H． 第 7页（共 30页） （1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD． 第 8页（共 30页） 人教版八年级上册 期中试卷（2） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 15 题，每小题 3 分，共 45 分） 1．（3 分）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选 A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合． 2．（3 分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中 线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑 第 9页（共 30页） 三角形的中线． 3．（3 分）三条线段 a=5，b=3，c 的值为整数，由 a、b、c 为边可组成三角形（ ） A．1 个 B．3 个 C．5 个 D．无数个 【考点】三角形三边关系． 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就 可求出第三边 c 的范围，根据 c 的值为整数，即可确定 c 的值．从而确定三角形 的个数． 【解答】解：c 的范围是：2＜c＜8， 因而 c 的值可以是：3、4、5、6、7 共 5 个数，因而由 a、b、c 为边可组成 5 个 三角形．故选 C． 【点评】本题需要理解的是如何根据已知的两条边求第三边的范围． 4．（3 分）多边形每一个内角都等于 150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线 有（ ） A．7 条 B．8 条 C．9 条 D．10 条 【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线． 【分析】多边形的每一个内角都等于 150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则 每个外角是 30 度，而任何多边形的外角是 360°，则求得多边形的边数；再根据 不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线 共有（n﹣3）条，即可求得对角线的条数． 【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于 150°， ∴每个外角是 30°， ∴多边形边数是 360°÷30°=12， 则此多边形从一个顶点出发的对角线共有 12﹣3=9 条． 故选 C． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需 要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条． 第 10页（共 30页） 5．（3 分）如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ ABC 全 等 的 图 形 是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【考点】全等三角形的判定． 【分析】全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即 可． 【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC 不全等； 图乙符合 SAS 定理，即图乙和△ABC 全等； 图丙符合 AAS 定理，即图丙和△ABC 全等； 故选 B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS． 6．（3 分）如图，△ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平 分线将△ABC 分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO 等于（ ） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【考点】角平分线的性质． 【专题】数形结合． 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高 相等，底分别是 20，30，40，所以面积之比就是 2：3：4． 【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选 C． 故选 C． 【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的 第 11页（共 30页） 面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的． 7．（3 分）小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他 想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ） A．① B．② C．③ D．①和② 【考点】全等三角形的应用． 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形． 故选 C． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题 的关键． 8．（3 分）下列说法正确的是（ ） A．周长相等的两个三角形全等 B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 【考点】全等三角形的判定． 【分析】利用三角形全等的判定方法逐项判断即可． 【解答】解：A、周长相等的两个三角形，三组边不一定对应相等，则这两个三 角形不一定全等，故 A 不正确； B、由条件可知这两个三角形满足的是 SSA，可知不能判定其全等，故 B 不正确； C、只要等底等高的两个三角形面积都是相等的，但是不一定全等，故 C 不正确； D、由条件可知这两个三角形满足 AAS，可判定其全等，故 D 正确； 故选 D． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法 SSS、SAS、 ASA、AAS 和 HL 是解题关键，注意 AAA 和 SSA 不能判定两个三角形全等． 第 12页（共 30页） 9．（3 分）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 的是（ ） A．AB=DE，BC=ED，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D．∠B=∠E，∠A=∠D，AB=DE 【考点】全等三角形的判定． 【分析】考查三角形的判定定理，有 AAS，SSS，ASA，SAS 四种．做题时要按判 定全等的方法逐个验证． 【解答】解：AB=DE，BC=ED，∠A=∠D，不符合 SAS，A 不能选； ∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF 不是对应边，B 不能选； ∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EFAC=EF 不是对应边，C 不能选； 根据三角形全等的判定，当∠B=∠E，∠A=∠D，AB=DE 时，△ABC≌△DEF（ASA）． 故选 D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；注意要证明两个三角形是否全等，要看 对应边和对应角是否对应相等． 10．（3 分）AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，若 AB=4，AC=6，则 AD 的取值范围 是（ ） A．AD＞1 B．AD＜5 C．1＜AD＜5 D．2＜AD＜10 【考点】三角形三边关系． 【分析】此题要倍长中线，再连接，构造新的三角形．根据三角形的三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：根据题意得：得 6﹣4＜2AD＜6+4，即 1＜AD＜5．故选 C． 【点评】注意此题中常见的辅助线：倍长中线． 11．（3 分）如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 F，过点 F 作 DE ∥BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，那么下列结论： ①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形； ②DE=BD+CE； ③△ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和； 第 13页（共 30页） ④BF=CF． 其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【考点】等腰三角形的判定；角平分线的性质． 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰 三角形的判定和性质． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB， ∵BF 是∠ABC 的平分线，CF 是∠ACB 的平分线， ∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB， ∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF， ∴△DFB，△FEC 都是等腰三角形． ∴DF=DB，FE=EC，即有 DE=DF+FE=DB+EC， ∴△ADE 的周长 AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC． 故选 A． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目 利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换 的利用是解答本题的关键． 12．（3 分）如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，角平分线 AE 交 CD 于 H， EF⊥AB 于 F，则下列结论中不正确的是（ ） A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．AC=AF D．CH=HD 第 14页（共 30页） 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】根据角的平分线的性质，得 CE=EF，两直线平行，内错角相等，得∠AEF= ∠CHE， 用 AAS 判定△ACE≌△AEF，由全等三角形的性质，得∠CEH=∠AEF，用等角对等 边判定边相等． 【解答】解：A、∵∠B 和∠ACD 都是∠CAB 的余角， ∴∠ACD=∠B，故正确； B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD ∴∠AEF=∠CHE， ∴∠CEH=∠CHE ∴CH=CE=EF，故正确； C、∵角平分线 AE 交 CD 于 H， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵∠ACB=∠AFE=90°，AE=AE， ∴△ACE≌△AEF， ∴CE=EF，∠CEA=∠AEF，AC=AF，故正确； D、点 H 不是 CD 的中点，故错误． 故选 D． 【点评】本题是一道综合性较强的题目，需要同学们把直角三角形的性质和三角 形全等的判定等知识结合起来解答． 13．（3 分）下列命题正确的是（ ） A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等 D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等 【考点】命题与定理． 【分析】利用全等三角形的判定定理分别对四个命题进行判断后即可确定正确的 选项． 第 15页（共 30页） 【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确； B、一条边和一个锐角对应相等的两个三角形全等，错误； C、有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等，错误； D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，错误， 故选 A． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够熟练掌握全等三角形 的判定，难度不大． 14．（3 分）将点 A（3，2）沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A′，点 A′关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【考点】坐标与图形变化-平移；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】先利用平移中点的变化规律求出点 A′的坐标，再根据关于 y 轴对称的点 的坐标特征即可求解． 【解答】解：∵将点 A（3，2）沿 x 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A′， ∴点 A′的坐标为（﹣1，2）， ∴点 A′关于 y 轴对称的点的坐标是（1，2）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移及对称的性质；用到的知识点为：两点 关于 y 轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标， 右加左减． 15．（3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，BD 和 CE 交 于 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全等的直角三角形有（ ） A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 第 16页（共 30页） 【考点】直角三角形全等的判定． 【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD． 利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方 法逐个验证． 【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵AC=AB， ∵∠CAE=∠BAD， ∴△AEC≌△ADB； ∴CE=BD， ∵AC=AB， ∴∠CBE=∠BCD， ∵∠BEC=∠CDB=90°， ∴△BCE≌△CBD； ∴BE=CD， ∴AD=AE， ∵AO=AO， ∴△AOD≌△AOE； ∵∠DOC=∠EOB， ∴△COD≌△BOE； ∴OB=OC， ∵AB=AC， ∴CF=BF，AF⊥BC， ∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF． 共 6 对，故选 D． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、HL．做题时要由易到难，不重不漏． 第 17页（共 30页） 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 16．（3 分）若一个 n 边形的边数增加一倍，则内角和将增加 n×180° ． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，将 n 边形的边数增加一倍就变成 2n 边形，2n 边形的内角和是（2n﹣2）•180°，据此即可求得增加的度数． 【解答】解：∵n 边形的内角和是（n﹣2）•180°， ∴2n 边形的内角和是（2n﹣2）•180°， ∴将 n 边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n﹣2）•180°﹣（n﹣2）•180°=n ×180°． 故答案为 n×180°． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，整式的化简，都是需要熟练掌握 的内容． 17．（3 分）如图，由平面上五个点 A、B、C、D、E 连接而成，则∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E= 180° ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】延长 CE 交 AB 于 F，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BFC=∠A+ ∠C，∠D+∠DEG=∠EGB，再根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：延长 CE 交 AB 于 F， ∵∠BFC 是△ACF 的外角，∴∠BFC=∠A+∠C， ∵∠EGB 是△EDG 的外角，∴∠EGB=∠D+∠DEG， ∵∠B+∠BFC+∠EGB=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． 第 18页（共 30页） 【点评】此题比较简单，解答此题的关键是延长 CE 交 AB 于 F，构造出△BGF， 利用三角形外角的性质把所求的角归结到一个三角形中，再根据三角形内角和定 理求解． 18．（3 分）如图：在△ABC 和△FED 中，AD=FC，AB=FE，当添加条件 BC=ED 或∠A=∠F 或 AB∥EF 时，就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可） 【考点】全等三角形的判定． 【专题】证明题． 【分析】要得到△ABC≌△FED，现有条件为两边分别对应相等，找到全等已经 具备的条件，根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案． 【解答】解：AD=FC ⇒ AC=FD，又 AB=EF，加 BC=DE 就可以用 SSS 判定△ABC≌△ FED； 加∠A=∠F 或 AB∥EF 就可以用 SAS 判定△ABC≌△FED． 故答案为：BC=ED 或∠A=∠F 或 AB∥EF． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等， 不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 19．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 BC=15，且 BD：DC=3：2，则 D 到边 AB 的距离是 6 ． 第 19页（共 30页） 【考点】角平分线的性质． 【分析】首先由线段的比求得 CD=6，然后利用角平分线的性质可得 D 到边 AB 的距离是． 【解答】解：∵BC=15，BD：DC=3：2 ∴CD=6 ∵∠C=90° AD 平分∠BAC ∴D 到边 AB 的距离=CD=6． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离 相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键． 20．（3 分）如图，OP 平分∠MON，PE⊥OM 于 E，PF⊥ON 于 F，OA=OB，则图 中有 3 对全等三角形． 【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质． 【分析】由 OP 平分∠MON，PE⊥OM 于 E，PF⊥ON 于 F，得到 PE=PF，∠1=∠2， 证得△AOP≌△BOP，再根据△AOP≌△BOP，得出 AP=BP，于是证得△AOP≌△ BOP，和 Rt△AOP≌Rt△BOP． 【解答】解：OP 平分∠MON，PE⊥OM 于 E，PF⊥ON 于 F， ∴PE=PF，∠1=∠2， 在△AOP 与△BOP 中， 第 20页（共 30页） ， ∴△AOP≌△BOP， ∴AP=BP， 在△EOP 与△FOP 中， ， ∴△EOP≌△FOP， 在 Rt△AEP 与 Rt△BFP 中， ， ∴Rt△AEP≌Rt△BFP， ∴图中有 3 对全等三角形， 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等 三角形的判定定理是解题的关键． 21．（3 分）如图，在 Rt△ABC，∠C=90°，AC=12，BC=6，一条线段 PQ=AB，P、 Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则 AP= 6 或 12 ． 第 21页（共 30页） 【考点】全等三角形的性质． 【专题】动点型． 【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时 AP=BC=6，可据此求出 P 点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时 AP=AC=12，P、C 重合． 【解答】解：①当 AP=CB 时， ∵∠C=∠QAP=90°， 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）， 即 AP=BC=6； ②当 P 运动到与 C 点重合时，AP=AC， 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， ， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL）， 即 AP=AC=12， ∴当点 P 与点 C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等． 综上所述，AP=6 或 12． 故答案为：6 或 12． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形 全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形 的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 22．（3 分）如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 9： 30 ． 【考点】镜面对称． 【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过 6 和 12 的直线对称，作出相应 图形，即可得到准确时间． 【解答】解：由图中可以看出，此时的时间为 9：30． 第 22页（共 30页） 故答案为：9：30． 【点评】此题考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难 点是作出相应的对称图形． 23．（3 分）已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂 线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于 8 ． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】要求周长，就是求各边长和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进 行等量代换后即可求出． 【解答】解：∵△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E， ∴AD=BD，AE=CE ∴△ADE 的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8． △ADE 的周长等于 8． 故填 8． 【点评】此题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 24．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换， 若原来点 A 坐标是（a，b），则经过第 2016 变换后所得的 A 点坐标是 （a，b） ． 【考点】坐标与图形变化-对称． 第 23页（共 30页） 【专题】规律型． 【分析】观察不难发现，4 次变换为一个循环组依次循环，用 2016 除以 4，根据 正好整除可知点 A 与原来的位置重合，从而得解． 【解答】解：由图可知，4 次变换为一个循环组依次循环， ∵2016÷4=504， ∴第 2016 变换后为第 504 循环组的第四次变换， 变换后点 A 与原来的点 A 重合， ∵原来点 A 坐标是（a，b）， ∴经过第 2016 变换后所得的 A 点坐标是（a，b）． 故答案为：（a，b）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，准确识图，观察出 4 次变换为一个 循环组依次循环是解题的关键． 25．（3 分）如图是 4×4 正方形网格，其中已有 3 个小方格涂成了黑色．现在要 从其余 13 个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴 对称图形，这样的白色小方格有 4 个． 【考点】轴对称图形． 【专题】压轴题；开放型． 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【解答】解：如图所示，有 4 个位置使之成为轴对称图形． 故答案为：4． 【点评】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按 对称轴的不同位置，可以有 4 种画法． 第 24页（共 30页） 三、解答题（共 7 小题，满分 45 分） 26．（6 分）作图题：（不写作法，但要保留痕迹） （1）作出下面图形关于直线 l 的轴对称图形（图 1）． （2）在图 2 中找出点 A，使它到 M，N 两点的距离相等，并且到 OH，OF 的距 离相等． （3）在图 3 中找到一点 M，使它到 A、B 两点的距离和最小． 【考点】作图-轴对称变换；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；轴对称- 最短路线问题． 【分析】（1）找出四边形的四个顶点关于直线 l 的对称点的位置，然后顺次连接 即可； （2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等分别作出∠HOF 的平分线和 MN 的垂直平分线，交点即为 A； （3）根据轴对称确定最短路径问题，作出点 B 关于直线的对称点 B′，连接 AB′ 与直线的交点即为点 M． 【解答】解：（1）轴对称图形如图 1 所示； ； （2）点 A 如图 2 所示； 第 25页（共 30页） ； （3）点 M 如图 3 所示． ． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及利用轴 对称确定最短路径问题，熟记各性质是解题的关键． 27．（4 分）已知 A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b），若点 A，B 关于 x 轴对称，求 a， b 的值． 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求 解即可． 【解答】证明：∵A（a+b，1），B（﹣2，2a﹣b）关于 x 轴对称， ∴ ， ①+②得，3a=﹣3， 解得 a=﹣1， 将 a=﹣1 代入①得，﹣1+b=﹣2， 解得 b=﹣1， 所以，方程组的解是 ． 第 26页（共 30页） 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好 对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 28．（6 分）已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF 是 CD 的垂直平分线， 求证：∠B=∠E． 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题． 【分析】连接 AC，AD 证得 AC=AD，进而证得△ABC≌△AED，则可得∠B=∠E． 【解答】证明：连接 AC，AD， ∵AF 是 CD 的垂直平分线， ∴AC=AD． 又 AB=AE，BC=ED， ∴△ABC≌△AED（SSS）． ∴∠B=∠E． 【点评】考查三角形全等判定“SSS”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是 常用的方法之一． 29．（6 分）如图，在△ABC 中，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，AE=CE， AB 与 CF 有什么位置关系？证明你的结论． 第 27页（共 30页） 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定． 【专题】探究型． 【分析】首先根据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质有目的地 证明相关的角相等，从而证明直线平行． 【解答】解：AB∥CF．证明如下： ∵∠AED 与∠CEF 是对顶角， ∴∠AED=∠CEF， 在△ADE 和△CFE 中， ∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE， ∴△ADE≌△CFE． ∴∠A=∠FCE． ∴AB∥CF． 【点评】运用了全等三角形的判定以及性质，注意根据已知条件选择恰当的角证 明两条直线平行．发现并利用三角形全等是解决本题的关键． 30．（6 分）如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB，将直角三角板的顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D，问 PC 与 PD 相等吗？试 说明理由． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F，构造全等三角形：Rt△PCE 和 Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及 PE=PF，只需再证∠EPC= ∠FPD，根据已知，两个角都等于 90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证． 第 28页（共 30页） 【解答】解：PC 与 PD 相等．理由如下： 过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F． ∵OM 平分∠AOB，点 P 在 OM 上，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°， ∴四边形 OEPF 为矩形， ∴∠EPF=90°， ∴∠EPC+∠CPF=90°， 又∵∠CPD=90°， ∴∠CPF+∠FPD=90°， ∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF． 在△PCE 与△PDF 中， ∵ ， ∴△PCE≌△PDF（ASA）， ∴PC=PD． 【点评】本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是 360°、还有三角形 全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键． 31．（6 分）已知：如图，在△ABC、△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE， 点 C、D、E 三点在同一直线上，连接 BD． 求证：△BAD≌△CAE． 第 29页（共 30页） 【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定． 【分析】直接利用已知得出∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定方法得出答 案． 【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确得出∠BAD=∠CAE 是解题关键． 32．（11 分）如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边 三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H． （1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD． 【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）先根据△ABC 和△CDE 都是等边三角形得出 BC=AC，CE=CD，∠BCA= ∠ECD=60°，再由 SAS 定理即可得出△BCE≌△ACD； 第 30页（共 30页） （2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由 ASA 定理可知 △BCF≌△ACH，可得出 CF=CH，根据∠FCH=60°，可知△CHF 为等边三角形，进 而可得出结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， ∴在△BCE 和△ACD 中， ∵ ， ∴△BCE≌△ACD （SAS）． （2）由（1）知△BCE≌△ACD， 则∠CBF=∠CAH，BC=AC 又∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点 B、C、D 在同一条直线上， ∴∠ACH=180°﹣∠ACB﹣∠HCD=60°=∠BCF， 在△BCF 和△ACH 中， ∵ ， ∴△BCF≌△ACH （ASA）， ∴CF=CH， 又∵∠FCH=60°， ∴△CHF 为等边三角形 ∴∠FHC=∠HCD=60°， ∴FH∥BD． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟 知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．