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- 2021-11-01 发布
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第十四章
整式的乘法与因式分解
14.3因式分解
第2课时
1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化
思想.(重点)
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解.(难点)
学习目标
导入新课
a米
b米
b米a米
(a-b)
情境引入
如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米
的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此
图形变换,你能得到什么公式?
a2- b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
想一想:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解
因式吗? 是a,b两数的平方差的形式
))(( b a ba -+=22 ba -
))(( 22baba ba-+ = -
整式乘法
因式分解
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式:
用平方差公式进行因式分解
√
√
×
×
辨一辨:下列多项式能否用平方差公式来分解因式,
为什么?
√
√
★符合平方差的形式
的多项式才能用平方
差公式进行因式分解,
即能写成: ( ) 2 -
( )2的形式.
(1)x2+y2
(2)x2-y2
(3)-x2-y2 -(x2+y2)
y2-x2(4)-x2+y2
(5)x2-25y2 (x+5y)(x-5y)
(6)m2-1 (m+1)(m-1)
2(1) 4 9;x
例1 分解因式:
2 2(2 ) 3x (2 3)(2 3);x x
2 2(2)( ) ( ) .x p x q
a ab b( + )( - )a2 - b2 =
解:(1)原式= 2x 3 2x 2x3 3
( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q (2)原式
(2 )( ).x p q p q
2 2( ) ( )x p x q a b
典例精析
方法总结:公式中的a、b无论表示数、单项式、
还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方
差的形式,就能用平方差公式因式分解.
分解因式:
(1)(a+b)2-4a2; (2)9(m+n)2-(m-n)2.
针对训练
=(2m+4n)(4m+2n)
解:(1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a)
=(b-a)(3a+b);
(2)原式=(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n)
=4(m+2n)(2m+n). 若用平方差公式分解后的结
果中有公因式,一定要再用
提公因式法继续分解.
))((22 bababa -+=-
20152-20142 =(2mn)2 - ( 3xy)2 =(x+z)2 - (y+p)2 =
例2 分解因式:
4 4 3(1) ; (2) .x y a b ab
解:(1)原式=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后,一定要检查是
否还有能继续分解的因式,
若有,则需继续分解.
=(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式=ab(a2-1) 分解因式时,一般先用提公
因式法进行分解,然后再用
公式法.最后进行检查.
=ab(a+1)(a-1).
方法总结:分解因式前应先分析多项式的特点,
一般先提公因式,再套用公式.注意分解因式必
须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式:
(1)5m2a4-5m2b4; (2)a2-4b2-a-2b.
针对训练
=(a+2b)(a-2b-1).
=5m2(a2+b2)(a+b)(a-b);
解:(1)原式=5m2(a4-b4)
=5m2(a2+b2)(a2-b2)
(2)原式=(a2-4b2)-(a+2b)
=(a+2b)(a-2b)-(a+2b)
例3 已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.
∴x-y=-2②.
解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,
x+y=1①,
联立①②组成二元一次方程组,
解得
1 ,2
3 .2
x
y
方法总结:在与x2-y2,x±y有关的求代数式或
未知数的值的问题中,通常需先因式分解,然
后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题:
(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4.
解:(1)原式=(101+99)(101-99)=400;
(2)原式=4(53.52-46.52)
=4(53.5+46.5)(53.5-46.5)
=4×100×7=2800.
方法总结:较为复杂的有理数运算,可以运用
因式分解对其进行变形,使运算得以简化.
例5 求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2
一定能被8整除.
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明:原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n,
∵n为整数,
∴8n被8整除,
方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整
式乘积的形式,然后分析能被哪些数或式子整除.
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn
C.-x2-y2 D.-x2+9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是( )
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3)
C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )
A.-21 B.21 C.-10 D.10
A
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
4
原式=-40×5=-200.
当4m+n=40,2m-3n=5时,
7.如图,在边长为6.8 cm正方形钢板上,挖去4个边长
为1.6 cm的小正方形,求剩余部分的面积.
解:根据题意,得
6.82-4×1.62
=6.82- (2×1.6)2
=6.82-3.22
=(6.8+3.2)(6.8 - 3.2)
=10×3.6
=36 (cm2)
答:剩余部分的面积为36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除吗?
解:(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98,
所以,(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除?
所以992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
课堂小结
平 方 差
公 式 分
解 因 式
公 式 a2-b2=(a+b)(a-b)
步 骤
一提:公因式;
二套:公式;
三查:多项式的因式分解有没
有分解到不能再分解为止.
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