分式方程（二）教案 6页

‎5.4.2 分式方程（二）‎ ‎●教学目标 ‎（一）教学知识点 ‎1.解分式方程的一般步骤.‎ ‎2.了解解分式方程验根的必要性.‎ ‎（二）能力训练要求 ‎1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.‎ ‎2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.‎ ‎（三）情感与价值观要求 ‎1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.‎ ‎2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.‎ ‎●教学重点 ‎1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.‎ ‎2.明确解分式方程验根的必要性.‎ ‎●教学难点 明确分式方程验根的必要性.‎ ‎●教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.‎ ‎●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ‎［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.‎ 这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.‎ 解方程+=2－‎ ‎［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得 ‎3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.‎ ‎（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,‎ ‎（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,‎ ‎（4）合并同类项，得23x=13,‎ - 6 -‎ ‎（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=.‎ Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法 ‎［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.‎ ‎［例1］解方程：=. （1）‎ ‎［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？‎ ‎［师］同学们说他的想法可取吗？‎ ‎［生］可取.‎ ‎［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？‎ ‎［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.‎ ‎［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.‎ ‎［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？‎ ‎［生］x（x－2）.‎ ‎［师生共析］方程两边同乘以x（x－2）,得x（x－2）·=x（x－2）·,‎ 化简，得x=3（x－2）. （2）‎ 我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.‎ ‎［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x.即x=3x－6（去括号）‎ ‎2x=6（移项，合并同类项）.‎ x=3（x的系数化为1）.‎ ‎［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.‎ ‎（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）‎ ‎［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2） （2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x=3代入方程（1）的左边==1，右边==1，左边=右边，所以x=3是方程（1）的解.‎ ‎［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.‎ - 6 -‎ ‎［例2］解方程：－=4‎ ‎（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）‎ 解：方程两边同乘以2x，得 ‎600－480=8x 解这个方程，得x=15‎ 检验：将x=15代入原方程，得 左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.‎ ‎［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯.‎ 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）‎ 议一议 解方程=－2.‎ ‎（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）‎ ‎［师］我们来看小亮同学的解法：=－2‎ 解：方程两边同乘以x－3,得2－x=－1－2（x－3）‎ 解这个方程，得x=3.‎ ‎［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解.‎ ‎［师］检验的结果如何呢？‎ ‎［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根.‎ ‎［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？‎ ‎［生］x=3是去分母后的整式方程的根.‎ ‎［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.‎ ‎（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）‎ ‎［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.‎ ‎［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.‎ - 6 -‎ 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？‎ ‎［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.‎ ‎［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？‎ ‎［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.‎ ‎［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.‎ Ⅲ.应用，升华 ‎1.解方程：‎ ‎（1）=;（2）+=2.‎ ‎［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.‎ 解：（1）=‎ 去分母，方程两边同乘以x（x－1），得 ‎3x=4（x－1）‎ 解这个方程，得x=4‎ 检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，‎ 所以原方程的根为x=4.‎ ‎（2）+=2‎ 去分母，方程两边同乘以（2x－1），得 ‎10－5=2（2x－1）‎ 解这个方程，得x=‎ 检验：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.‎ 所以原方程的根为x=.‎ ‎2.回顾，总结 - 6 -‎ 想一想 解分式方程一般需要经过哪几个步骤？‎ ‎［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结.‎ ‎［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；‎ ‎（2）解这个整式方程；‎ ‎（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.‎ ‎3.补充练习 解分式方程：‎ ‎（1）=;‎ ‎（2）=（a,h常数）‎ ‎［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根.‎ 解：（1）去分母，方程两边同时乘以x（x+3000）,得9000（x+3000）=15000x 解这个整式方程，得x=4500‎ 检验：把x=4500代入x（x+3000）≠0.‎ 所以原方程的根为4500‎ ‎（2）=（a,h是常数且都大于零）‎ 去分母，方程两边同乘以2x（a－x），得 h（a－x）=2ax 解整式方程，得x=（2a+h≠0）‎ 检验：把x=代入原方程中，最简公分母2x（a－x）≠0，所以原方程的根为 x=.‎ Ⅳ.课时小结 ‎［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.‎ ‎［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可.‎ ‎［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.‎ ‎［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.‎ - 6 -‎ ‎……‎ Ⅴ.课后作业 习题3.7‎ Ⅵ.活动与探究 若关于x的方程=有增根，则m的值是____________.‎ ‎［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.‎ ‎［结果］关于x的方程=有增根，则此增根必使3x－9=3（x－3）=0，所以增根为x=3.去分母，方程两边同乘以3（x－3），得3（x－1）=m2.‎ 根据题意，得x=3是上面整式方程的根，‎ 所以3（3－1）=m2,则m=±.‎ ‎●板书设计 ‎5.4.2 分式方程（二）‎ 一、提出问题 你能设法求出上一节课的分式方程 ‎=.‎ 二、探求分式方程解法 ‎［例1］解方程=‎ ‎［例2］解方程－=4‎ 三、议一议 小亮的解法对吗？‎ 四、想一想 解分式方程一般步骤 ‎1.去分母 ‎2.解整式方程 ‎3.检验 - 6 -‎