分式方程(二)教案 6页

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  • 2021-11-01 发布

分式方程(二)教案

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‎5.4.2 分式方程(二)‎ ‎●教学目标 ‎(一)教学知识点 ‎1.解分式方程的一般步骤.‎ ‎2.了解解分式方程验根的必要性.‎ ‎(二)能力训练要求 ‎1.通过具体例子,让学生独立探索方程的解法,经历和体会解分式方程的必要步骤.‎ ‎2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径.‎ ‎(三)情感与价值观要求 ‎1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度.‎ ‎2.运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信.‎ ‎●教学重点 ‎1.解分式方程的一般步骤,熟练掌握分式方程的解决.‎ ‎2.明确解分式方程验根的必要性.‎ ‎●教学难点 明确分式方程验根的必要性.‎ ‎●教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下,探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性.‎ ‎●教学过程 Ⅰ.提出问题,引入新课 ‎[师]在上节课的几个问题,我们根据题意将具体实际的情境,转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决,则必须设法解出所列的分式方程.‎ 这节课,我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法,也许你会从中得到启示,寻找到解分式方程的方法.‎ 解方程+=2-‎ ‎[师生共解](1)去分母,方程两边同乘以分母的最小公倍数6,得 ‎3(3x-1)+2(5x+2)=6×2-(4x-2).‎ ‎(2)去括号,得9x-3+10x+4=12-4x+2,‎ ‎(3)移项,得9x+10x+4x=12+2+3-4,‎ ‎(4)合并同类项,得23x=13,‎ - 6 -‎ ‎(5)使x的系数化为1,两边同除以23,x=.‎ Ⅱ.讲解新课,探索分式方程的解法 ‎[师]刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.‎ ‎[例1]解方程:=. (1)‎ ‎[生]解这个方程,能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢?‎ ‎[师]同学们说他的想法可取吗?‎ ‎[生]可取.‎ ‎[师]同学们可以接着讨论,方程两边同乘以什么样的整式(或数),可以去掉分母呢?‎ ‎[生]乘以分式方程中所有分母的公分母.‎ ‎[生]解一元一次方程,去分母时,方程两边同乘以分母的最小公倍数,比较简单.解分式方程时,我认为方程两边同乘以分母的最简公分母,去分母也比较简单.‎ ‎[师]我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢?‎ ‎[生]x(x-2).‎ ‎[师生共析]方程两边同乘以x(x-2),得x(x-2)·=x(x-2)·,‎ 化简,得x=3(x-2). (2)‎ 我们可以发现,采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程,而且是我们曾学过的一元一次方程.‎ ‎[生]再往下解,我们就可以像解一元一次方程一样,解出x.即x=3x-6(去括号)‎ ‎2x=6(移项,合并同类项).‎ x=3(x的系数化为1).‎ ‎[师]x=3是方程(2)的解吗?是方程(1)的解吗?为什么?同学们可以在小组内讨论.‎ ‎(教师可参与到学生的讨论中,倾听学生的说法)‎ ‎[生]x=3是由一元一次方程x=3(x-2) (2)解出来的,x=3一定是方程(2)的解.但是不是原分式方程(1)的解,需要检验.把x=3代入方程(1)的左边==1,右边==1,左边=右边,所以x=3是方程(1)的解.‎ ‎[师]同学们表现得都很棒!相信同学们也能用同样的方法解出例2.‎ - 6 -‎ ‎[例2]解方程:-=4‎ ‎(由学生在练习本上试着完成,然后再共同解答)‎ 解:方程两边同乘以2x,得 ‎600-480=8x 解这个方程,得x=15‎ 检验:将x=15代入原方程,得 左边=4,右边=4,左边=右边,所以x=15是原方程的根.‎ ‎[师]很好!同学们现在不仅解出了分式方程的解,还有了检验结果的好习惯.‎ 我这里还有一个题,我们再来一起解决一下(先隐藏小亮的解法)‎ 议一议 解方程=-2.‎ ‎(可让学生在练习本上完成,发现有和小亮同样解法的同学,可用实物投影仪显示他的解法,并一块分析)‎ ‎[师]我们来看小亮同学的解法:=-2‎ 解:方程两边同乘以x-3,得2-x=-1-2(x-3)‎ 解这个方程,得x=3.‎ ‎[生]小亮解完没检验x=3是不是原方程的解.‎ ‎[师]检验的结果如何呢?‎ ‎[生]把x=3代入原方程中,使方程的分母x-3和3-x都为零,即x=3时,方程中的分式无意义,因此x=3不是原方程的根.‎ ‎[师]它是去分母后得到的整式方程的根吗?‎ ‎[生]x=3是去分母后的整式方程的根.‎ ‎[师]为什么x=3是整式方程的根,它使得最简公分母为零,而不是原分式方程的根呢?同学们可在小组内讨论.‎ ‎(教师可参与到学生的讨论中,倾听同学们的想法)‎ ‎[生]在解分式方程时,我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零,那么它就相当于分式方程两边都乘以零,不符合等式变形时的两个基本性质,得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零,也就不适合原方程了.‎ ‎[师]很好!分析得很透彻,我们把这样的不适合原方程的整式方程的根,叫原方程的增根.‎ - 6 -‎ 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么,是不是就不要这样解?或采用什么方法补救?‎ ‎[生]还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.‎ ‎[师]怎样检验较简单呢?还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗?‎ ‎[生]不用,产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是:把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零,则是原方程的增根;若使最简公分母不为零,则是原方程的根.是增根,必舍去.‎ ‎[师]在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质,解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时,解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.‎ Ⅲ.应用,升华 ‎1.解方程:‎ ‎(1)=;(2)+=2.‎ ‎[分析]先总结解分式方程的几个步骤,然后解题.‎ 解:(1)=‎ 去分母,方程两边同乘以x(x-1),得 ‎3x=4(x-1)‎ 解这个方程,得x=4‎ 检验:把x=4代入x(x-1)=4×3=12≠0,‎ 所以原方程的根为x=4.‎ ‎(2)+=2‎ 去分母,方程两边同乘以(2x-1),得 ‎10-5=2(2x-1)‎ 解这个方程,得x=‎ 检验:把x=代入原方程分母2x-1=2×-1=≠0.‎ 所以原方程的根为x=.‎ ‎2.回顾,总结 - 6 -‎ 想一想 解分式方程一般需要经过哪几个步骤?‎ ‎[师]同学们可根据例题和练习题的步骤,讨论总结.‎ ‎[生]解分式方程分三大步骤:(1)方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化分式方程为整式方程;‎ ‎(2)解这个整式方程;‎ ‎(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.‎ ‎3.补充练习 解分式方程:‎ ‎(1)=;‎ ‎(2)=(a,h常数)‎ ‎[分析]强调解分式方程的三个步骤:一去分母;二解整式方程;三验根.‎ 解:(1)去分母,方程两边同时乘以x(x+3000),得9000(x+3000)=15000x 解这个整式方程,得x=4500‎ 检验:把x=4500代入x(x+3000)≠0.‎ 所以原方程的根为4500‎ ‎(2)=(a,h是常数且都大于零)‎ 去分母,方程两边同乘以2x(a-x),得 h(a-x)=2ax 解整式方程,得x=(2a+h≠0)‎ 检验:把x=代入原方程中,最简公分母2x(a-x)≠0,所以原方程的根为 x=.‎ Ⅳ.课时小结 ‎[师]同学们这节课的表现很活跃,一定收获不小.‎ ‎[生]我们学会了解分式方程,明白了解分式方程的三个步骤缺一不可.‎ ‎[生]我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.‎ ‎[生]我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用,但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”,必须经过检验,反思“转化”过程.‎ - 6 -‎ ‎……‎ Ⅴ.课后作业 习题3.7‎ Ⅵ.活动与探究 若关于x的方程=有增根,则m的值是____________.‎ ‎[过程]首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根,但却使最简公分母为零.‎ ‎[结果]关于x的方程=有增根,则此增根必使3x-9=3(x-3)=0,所以增根为x=3.去分母,方程两边同乘以3(x-3),得3(x-1)=m2.‎ 根据题意,得x=3是上面整式方程的根,‎ 所以3(3-1)=m2,则m=±.‎ ‎●板书设计 ‎5.4.2 分式方程(二)‎ 一、提出问题 你能设法求出上一节课的分式方程 ‎=.‎ 二、探求分式方程解法 ‎[例1]解方程=‎ ‎[例2]解方程-=4‎ 三、议一议 小亮的解法对吗?‎ 四、想一想 解分式方程一般步骤 ‎1.去分母 ‎2.解整式方程 ‎3.检验 - 6 -‎