八年级数学上册同步练习题及答案 106页

西南大学状元教育 ‎12.1.1 平方根（第一课时）‎ ‎◆随堂检测 ‎1、若x2 = a ，则 叫 的平方根，如16的平方根是 ，的平方根是 ‎ ‎2、表示 的平方根，表示12的 ‎ ‎3、196的平方根有 个，它们的和为 ‎ ‎4、下列说法是否正确？说明理由 ‎ （1）0没有平方根；‎ ‎（2）—1的平方根是；‎ ‎（3）64的平方根是8；‎ ‎（4）5是25的平方根；‎ ‎（5）‎ ‎5、求下列各数的平方根 ‎ （1）100 （2） （3）1.21 （4）‎ ‎◆典例分析 例 若与是同一个数的平方根，试确定m的值 ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 一、选择 ‎1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15，那么这个数是（ ）‎ A、49 B、441 C、7或21 D、49或441‎ ‎2、的平方根是（ ）‎ A、4 B、2 C、-2 D、‎ 二、填空 106‎ 西南大学状元教育 ‎3、若5x+4的平方根为，则x= ‎ ‎4、若m—4没有平方根，则|m—5|= ‎ ‎5、已知的平方根是，3a+b-1的平方根是，则a+2b的平方根是 ‎ 三、解答题 ‎6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解 ‎ （1） 求a的值 （2）的平方根 ‎7、已知+∣x+y-2∣=0 求x-y的值 ‎● 体验中考 ‎1、（09河南）若实数x，y满足+=0，则代数式的值为 ‎ ‎2、（08咸阳）在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有 个 ‎3、（08荆门）下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A、64的平方根是8 B、-1 的平方根是 ‎ C、-8是64的平方根 D、没有平方根 ‎12.1.1平方根（第二课时）‎ ‎◆随堂检测 ‎1、的算术平方根是 ；的算术平方根___ __‎ ‎2、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是 ‎ ‎3、若有意义，则x的取值范围是 ，若a≥0，则 0‎ ‎4、下列叙述错误的是（ ）‎ ‎ A、-4是16的平方根 B、17是的算术平方根 ‎ C、的算术平方根是 D、0.4的算术平方根是0.02‎ ‎◆典例分析 ‎ 例：已知△ABC的三边分别为a、b、c且a、b满足，求c的取值范围 分析：根据非负数的性质求a、b的值，再由三角形三边关系确定c的范围 106‎ 西南大学状元教育 ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 一、选择 ‎1、若，则的平方根为（ ）‎ A、16 B、 C、 D、‎ ‎2、的算术平方根是（ ）‎ A、4 B、 C、2 D、‎ 二、填空 ‎3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是 ‎ ‎4、若+=0，则= ‎ 三、解答题 ‎5、若a是的平方根，b是的算术平方根，求+2b的值 ‎6、已知a为的整数部分，b-1是400的算术平方根，求的值 ‎●体验中考 ．(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、（08年泰安市）的整数部分是 ；若a<1）‎ ‎ ‎ ‎④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）‎ 单项式与多项式相乘随堂练习题 一、选择题 ‎1．计算（-3x）·（2x2-5x-1）的结果是（ ）‎ ‎ A．-6x2-15x2-3x B．-6x3+15x2+3x ‎ C．-6x3+15x2 D．-6x3+15x2-1‎ ‎2．下列各题计算正确的是（ ）‎ ‎ A．（ab-1）（-4ab2）=-4a2b3-4ab2 B．（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2‎ ‎ C．（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2 D．（-2x）（3x2-4x-2）=-6x3+8x2+4x ‎3．如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2，高为6xy，则这个三角形的面积是（ ）‎ ‎ A．6x3y2+3x2y2-3xy3 B．6x3y2+3xy-3xy3‎ ‎ C．6x3y2+3x2y2-y2 D．6x3y+3x2y2‎ ‎4．计算x（y-z）-y（z-x）+z（x-y），结果正确的是（ ）‎ ‎ A．2xy-2yz B．-2yz C．xy-2yz D．2xy-xz 二、填空题 ‎5．方程2x（x-1）=12+x（2x-5）的解是__________．‎ ‎6．计算：-2ab·（a2b+3ab2-1）=_____________．‎ ‎7．已知a+2b=0，则式子a3+2ab（a+b）+4b3的值是___________．‎ 三、解答题 ‎8．计算：‎ ‎①（x2y-2xy+y2）·（-4xy） ②-ab2·（3a2b-abc-1）‎ ‎③（3an+2b-2anbn-1+3bn）·5anbn+3（n为正整数，n>1）‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎④-4x2·（xy-y2）-3x·（xy2-2x2y）‎ ‎9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。‎ 四、探究题 ‎10．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题．‎ ‎ 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值．‎ ‎ 解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3‎ ‎ =x（x2+x-1）+x2+x-1+4‎ ‎ =0+0+4=4‎ ‎ 如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值．‎ ‎3. 多项式与多项式相乘 回 忆（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb 概 括 这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：‎ 多项式与多项式相乘，先用 ，再把 ．‎ 例4计算：‎ ‎（1） （x＋2）（x－3） （2） （3x－1）（2x＋1）．‎ 例5计算：‎ ‎（1） （x－3y）（x＋7y）； （2） （2x＋5y）（3x－2y）．‎ 106‎ 西南大学状元教育 练习 ‎1. 计算：（1） （x＋5）（x－7）； （2） （x＋5y）（x－7y）‎ ‎（3） （2m＋3n）（2m－3n）； （4） （2a＋3b）（2a＋3b）．‎ ‎2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?‎ 习题13.2‎ ‎1. 计算：‎ ‎（1） 5x·8x；（2） 11x·（－12x）；‎ ‎（3） 2x·（－3x）；（4） （－8xy）·－(1/2x) ．‎ ‎2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０块大石块，每块重约2.5×１０千克．请问： 胡夫金字塔总重约多少千克?‎ ‎3. 计算：（1） －3x·（2x－x＋4）；（2） 5/2xy·(－xy＋4/5xy)．‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎4. 化简：‎ ‎（1）x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2）x（x－1）＋2x（x－2x＋3）．‎ ‎5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?‎ ‎6. 计算：‎ ‎（1） （x＋5）（x＋6）； （2） （3x＋4）（3x－4）； ‎ ‎（3） （2x＋1）（2x＋3）；（4） （9x＋4y）（9x－4y）．‎ ‎13.5 因式分解（1）‎ 一、基础训练 ‎ 1．若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么其余的因式是（ ）‎ ‎ A．-1-3x+4y B．1+3x-4y C．-1-3x-4y D．1-3x-4y ‎ 2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）‎ ‎ A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c ‎ 3．下列用提公因式法分解因式正确的是（ ）‎ ‎ A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）‎ ‎ C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c） D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）‎ ‎ 4．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）‎ ‎ A．-6a3b2=2a2b·（-3ab2） B．9a2-4b2=（3a+2b）（3a-2b）‎ ‎ C．ma-mb+c=m（a-b）+c D．（a+b）2=a2+2ab+b2‎ ‎ 5．下列各式从左到右的变形错误的是（ ）‎ ‎ A．（y-x）2=（x-y）2 B．-a-b=-（a+b）‎ ‎ C．（m-n）3=-（n-m）3 D．-m+n=-（m+n）‎ ‎ 6．若多项式x2-5x+m可分解为（x-3）（x-2），则m的值为（ ）‎ ‎ A．-14 B．-6 C．6 D．4‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎ 7．（1）分解因式：x3-4x=_______；（2）因式分解：ax2y+axy2=________．‎ ‎ 8．因式分解：‎ ‎（1）3x2-6xy+x； （2）-25x+x3；‎ ‎（3）9x2（a-b）+4y2（b-a）； （4）（x-2）（x-4）+1．‎ 二、能力训练 ‎ 9．计算54×99+45×99+99=________．‎ ‎ 10．若a与b都是有理数，且满足a2+b2+5=4a-2b，则（a+b）2006=_______．‎ ‎ 11．若x2-x+k是一个多项式的平方，则k的值为（ ）‎ ‎ A． B．- C． D．-‎ ‎ 12．若m2+2mn+2n2-6n+9=0，求的值．‎ ‎13．利用整式的乘法容易知道（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb，现在的问题是：‎ 如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢？用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解．‎ ‎14．由一个边长为a的小正方形和两个长为a，宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式．‎ ‎ 15．说明817-299-913能被15整除．‎ 106‎ 西南大学状元教育 参考答案 ‎ 1．D 点拨：-6ab+18abx+24aby=-6ab（1-3x-4y）．‎ ‎ 2．C 点拨：公因式由三部分组成；系数找最大公约数，字母找相同的，字母指数找最低的．‎ ‎ 3．C 点拨：A中c不是公因式，B中括号内应为x2-x+2，D中括号内少项．‎ ‎ 4．B 点拨：分解的式子必须是多项式，而A是单项式；分解的结果是几个整式乘积的形式，C、D不满足．‎ ‎ 5．D 点拨：-m+n=-（m-n）．‎ ‎ 6．C 点拨：因为（x-3）（x-2）=x2-5x+6，所以m=6．‎ ‎ 7．（1）x（x+2）（x-2）；（2）axy（x+y）．‎ ‎ 8．（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）；‎ ‎ （2）-25x+x3=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）；‎ ‎ （3）9x2（a-b）+4y2（b-a）=9x2（a-b）-4y2（a-b）‎ ‎ =（a-b）（9x2-4y2）=（a-b）（3x+2y）（3x-2y）；‎ ‎ （4）（x-2）（x-4）+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=（x-3）2．‎ ‎ 9．9900 点拨：54×99+45×99+99=99（54+45+1）=99×100=9900．‎ ‎10．1 点拨：∵a2+b2+5=4a-2b，‎ ‎∴a2-4a+4+b2+2b+1=0，即（a-2）2+（b+1）2=0，‎ 所以a=2，b=-1，（a+b）2006=（2-1）2006=1．‎ ‎ 11．A 点拨：因为x2-x+=（x-）2，所以k=．‎ ‎ 12．解：m2+2mn+2n2-6n+9=0，‎ ‎ （m2+2mn+n2）+（n2-6n+9）=0，‎ ‎ （m+n）2+（n-3）2=0，‎ ‎ m=-n，n=3，‎ ‎ ∴m=-3．‎ ‎ ==-．‎ ‎ 13．解：m3-m2n+mn2-n3=m2（m-n）+n2（m-n）=（m-n）（m2+n2）．‎ ‎ 14．a2+2ab=a（a+2b），a（a+b）+ab=a（a+2b），a（a+2b）-a（a+b）=ab，‎ ‎ a（a+2b）-2ab=a2，a（a+2b）-a2=2ab等．‎ ‎ 点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来．‎ ‎15．解：817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13‎ ‎=328-327-326=326（32-3-1）=326×5‎ ‎=325×3×5=325×15，‎ 故817-279-913能被15整除．‎ ‎13.5 因式分解（2）‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎ ‎ ‎ 1．3a4b2与-12a3b5的公因式是_________．‎ ‎ 2．把下列多项式进行因式分解 ‎（1）9x2-6xy+3x； （2）-10x2y-5xy2+15xy； （3）a（m-n）-b（n-m）．‎ ‎ 3．因式分解：‎ ‎（1）16-m2； （2）（a+b）2-1； （3）a2-6a+9； （4）x2+2xy+2y2．‎ ‎ 4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）‎ ‎ A．（x+2）（x-2）=x2-4 B．x2-2x+1=x（x-2）+1‎ ‎ C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+b）‎ ‎ 5．因式分解：‎ ‎ （1）3mx2+6mxy+3my2； （2）x4-18x2y2+81y4；‎ ‎ （3）a4-16； （4）4m2-3n（4m-3n）．‎ ‎6．因式分解：‎ ‎（1）（x+y）2-14（x+y）+49； （2）x（x-y）-y（y-x）；（3）4m2-3n（4m-3n）．‎ ‎7．用另一种方法解案例1中第（2）题．‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎ 8．分解因式：‎ ‎（1）4a2-b2+6a-3b； （2）x2-y2-z2-2yz．‎ ‎ 9．已知：a-b=3，b+c=-5，求代数式ac-bc+a2-ab的值．‎ 参考答案 ‎ 1．3a3b2‎ ‎ 2．（1）原式=3x（3x-2y+1）；‎ ‎ （2）原式=-（10x2y+5xy2-15xy）=-5xy（2x+y-3）；‎ ‎ （3）原式=a（m-n）+b（m-n）=（m-n）（a+b）．‎ ‎ 点拨：（1）题公因式是3x，注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1；（2）题公因式是-5xy，当多项式第一项是负数时，一般提出“－”号使括号内的第一项为正数，在提出“－”号时，注意括号内的各项都变号．‎ ‎ 3．（1）16-m2=42-（m）2=（4+m）（4-m）；‎ ‎ （2）（a+b）2-1=[（a+b）+1][（a+b）-b]=（a+b+1）（a+b-1）；‎ ‎ （3）a2-6a+9=a2-2·a·3+32=（a-3）2；‎ ‎ （4）x2+2xy+y2=（x2+4xy+4y2）= [x2+2·x·2y+（2y）2]=（x+2y）2．‎ ‎ 点拨：如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式，若不是，则要先化成符合公式的形式，再套用公式．（1）（2）符合平方差公式的形式，（3）（4）符合完全平方公式的形式．‎ ‎ 4．C 点拨：这是一道概念型试题，其思路是根据因式分解的定义来判断，分解因式的最后结果应是几个整式积的形式，只有C是，故选C．‎ ‎ 5．（1）3mx2+6mxy+3my2=3m（x2+2xy+y2）=3m（x+y）2；‎ ‎ （2）x4-18x2y2+81y4=（x2）2-2·x2·9x2+（9y2）2‎ ‎=（x2-9y2）2=[x2-（3y）2] 2‎ ‎=[（x+3y）（x-3y）]‎ ‎ =（x+3y）2（x-3y）2；‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎ （3）a416=（a2）2-42=（a2+4）（a2-4）=（a2+4）（a+2）（a-2）；‎ ‎ （4）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2=（2m-3n）2．‎ ‎ 点拨：因式分解时，要进行到每一个多项式因式都不能分解为止．（1）先提公因式3m，然后用完全平方公式分解；（2）把x4作（x2）2，81y4作（9y2）2，然后运用完全平方公式．‎ ‎ 6．（1）（x+y）2-14（x+y）+49=（x+y）2-2·（x+y）·7+72=（x+y-7）2；‎ ‎ （2）x（x-y）-y（y-x）=x（x-y）+y（x-y）=（x-y）（x+y）；‎ ‎ （3）4m2-3n（4m-3n）=4m2-12mn+9n2=（2m）2-2·2m·3n+（3n）2‎ ‎ =（2m-3n）2．‎ ‎ 7．x（x-y）+y（y-x）=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=（x-y）2．‎ ‎ 8．解：（1）原式=（4a2-b2）+（6a-3b）=（2a+b）（2a-b）+3（2a-b）=（2a-b）（2a+b+3）；‎ ‎ （2）原式=x2-（y2+2yz+z2）=x2-（y+z）2=（x+y+z）（x-y-z）．‎ ‎9．∵a-b=3，b+c=-5，‎ ‎∴a+c=-2，∴ac-bc+a2-ab=c（a-b）+a（a-b）=（a-b）（c+a）=3×（-2）=-6．‎ 因式分解方法研究系列 三、十字相乘法(关于的形式的因式分解)‎ ‎1、因式分解以下各式：‎ ‎ 1、； 2、； 3、； 4、‎ ‎2、因式分解以下各式：‎ ‎ 1、； 2、；‎ ‎ 3、； 4、‎ ‎2、因式分解以下各式：‎ ‎ 1、； 2、； 3、； 4、‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎3、挑战自我：‎ ‎1、； 2、‎ 数学当堂练习(1) 姓名　　　‎ 计算 (1) (-2a)2 (3ab2-5ab3) (2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)‎ ‎(3)3(m+n) (m+n) 4+3(-m-n) 3(m+n) 2‎ 数学当堂练习(2) 姓名　　　‎ 计算 (1)(x-y) 3÷(y-x) 2=　 ‎ ‎(2) 3a2·(2a2-9a+3)-4a(2a-1) (3)5xy[4xy-6(xy-xy2)]‎ ‎(4)(2x-3)(x+4) (5)(3x+y)(x一2y) ‎ 106‎ 西南大学状元教育 数学当堂练习(3) 姓名　　　‎ 计算(1) (3x-5)(2x+3) (2) 5x(x-2)-(x-2)(x+4)‎ 解不等式1-(2y+1)(y-2)＞y 2-(3y-1)(y+3)-11‎ 数学当堂练习(4) 姓名　　　‎ 计算 （1） （1-xy）(-1-xy) (2)(a+2)(a-2)(a2+4)‎ ‎(3) (x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y) (4) 6×5‎ 数学当堂练习(5) 姓名　　　‎ 计算 (1) (2x-1) 2- (2x+1) 2 (2) (2x-1) 2(2x+1) 2‎ ‎ ‎ ‎(3) (2x) 2- 3(2x+1) 2 (4) ( 2x+ y – 3) 2‎ ‎(5)(m – 2n + 3)(m+2n +3)‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎ ‎ 数学当堂练习(6) 姓名　　　‎ 计算 (1) (1+x+y)(1- x –y) (2) (3x- 2y +1) 2‎ ‎（3）已知 (x+y) 2=6 (x- y) 2=8 求 (1) ( x+y ) 2 (2) xy 值 ‎（4）（x- 2）(x 2+2x+4) (5) x(x- 1) 2- (x 2 –x +1)(x+1)‎ 数学当堂练习(7) 姓名　　‎ 计算 (1) (-2m- 1) 2 (2) (3x-2y+1) 2‎ ‎(3) (3s-2t)(9s2 +6st+4t2) (4) -21a2b3c÷7a2b2‎ ‎(5) (28a4b2c-a2b3+14a2b2) ÷(-7a2b) (6)(x2y -xy2-2xy) ÷xy 数学当堂练习(8) 姓名　　‎ 一． 计算 (1) (16x3-8x2 +4x) ÷(-2x) (2) (x2x3) 3÷(-x3) 4 ‎ 106‎ 西南大学状元教育 二 。因式分解 (1) 2x+4x (2) 5(a-2) – x(2-x)‎ ‎(3) -12m2n+3mn2 ‎ ‎18.1 勾股定理 ‎1. 在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（ ）‎ ‎ A．c2=a2+b2 B．a2=（b+c）（b-c ） C．a2=c2-b2 D．b=a+c 知识点：勾股定理 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。‎ 答案：B 详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b2=a2+c2。a2=（b +c）（b-c ）可变形为b2=a2+c2，所以选B ‎1. 下列说法正确的是（　　）‎ A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；‎ B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；‎ C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2；‎ D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则c2-b2＝a2。‎ 答案：D 详细解答：A是错的，缺少直角条件；‎ B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；‎ C也是错的，既然，那么a边才是斜边，应该是a2＝c2＋b2‎ D才是正确的，，那么c2＝a2+b2，即c2-b2＝a2.‎ ‎2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是 ( ) ‎ 106‎ 西南大学状元教育 A. 9英寸(23cm) B. 21英寸(54cm) C. 29英寸(74cm) D.34英寸(87cm)‎ 知识点：勾股定理的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。‎ 答案：C 详细解答：‎ 如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。‎ 在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365，所以AC=74cm，选C。‎ ‎2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )‎ A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm ‎ 答案：C 详细解答：‎ ‎ 如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，‎ 另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，‎ 由题意可知两个方向互相垂直，‎ 所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000，所以AC=100 cm ‎3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( )‎ ‎ A.1:1: B.1:1:2 C.1:: D.1:4:1‎ 知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形 知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。‎ 答案：A 详细解答：‎ 106‎ 西南大学状元教育 三角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、 45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC2=AB2+BC2=1+1=2，所以AC=，三条边的比是1:1:。‎ ‎3．已知△ABC中，∠A=∠C=∠B，则它的三条边之比为（ ）．‎ ‎ A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1‎ 答案：B 详细解答：△ABC中，∠A=∠C=∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。‎ 假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3，所以AB=，因此三边的比为1：：2。‎ ‎4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（ ）‎ ‎（A）15° （B）30° （C）45° （D）不能确定 知识点：勾股定理在数学中的应用 知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 答案：C 详细解答：由勾股定理得AC2=BC2+AB2，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC2=2AB×BC，所以BC2+AB2=2AB×BC，得（BC-AB）2=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。‎ ‎4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′‎ 106‎ 西南大学状元教育 重合,如果AP=3,那么PP′长为（ ）‎ ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）‎ 答案：D 详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，‎ 所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，‎ 在直角三角形APP′中，PP′2= AP′2+AP2=32+32=18，所以PP′=‎ ‎5．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）‎ A． B．- C．2 D．-2‎ 知识点：认识长度为无理数的线段 知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段 答案：B 详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD2=CB2+BD2=2，所以CD=，CA=CD=，因此点A所表示的数为-‎ ‎5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ A B C 106‎ 西南大学状元教育 答案：C 详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB2=AD2+BD2=26，AB=‎ 在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC2=BE2+CE2=13，BC=‎ 在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC2=AF2+CF2=25，AC=5‎ 所以边长为无理数的边是：AB 和BC B ‎6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）‎ ‎ A．5 B．25 C． D．5或 知识点：两解问题 知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。‎ 答案：D 详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为。‎ ‎6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )‎ ‎ A.42 B.32 C.42或32 D.37或33‎ 答案：C 详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，‎ 在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9‎ 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5‎ 所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42‎ 若高AD在△ABC外部，如图，‎ 在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD2=AB2-AD2=81，BD=9‎ 在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD2=AC2-AD2=25，CD=5‎ 所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32‎ 所以选C.‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）‎ ‎（A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m ‎ 知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题 知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题 答案：C 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。‎ 在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD2=AE2+DE2=62+82=100，所以AB=10 m。‎ ‎7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( )‎ ‎ A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 答案：B 详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，‎ 106‎ 西南大学状元教育 AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。‎ 在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。‎ 由题意知AF=5，所以AF2=25，显然AD小于AF，有危险。‎ B A C D ‎.‎ ‎8．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（ ）.‎ A．10 m B．11 m C．12 m D．15 m 知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题 知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。‎ 答案：C 详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，‎ ‎∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米） ‎ 所以树高12 m 。‎ ‎8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).‎ A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m 答案：A 详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是 106‎ 西南大学状元教育 拉向岸边的竹竿，CD是水面，‎ 由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）2=x2+1.52，解得x=2，所以河水的深度为2m ‎ ‎9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（ ）‎ ‎（A） （B）4 （C）6 （D）‎ 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。‎ 答案：A （2也行）‎ 分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度 详细解答：作AB边的高CD,如图，‎ 在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，‎ 那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=；‎ 在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD=，‎ 那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=； ‎ 小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)‎ ‎9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（ ）。‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎（A）20 （B） ‎ ‎（C） （D）16‎ 答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2-就可以了)‎ 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。‎ 详细解答：延长AD、BC交于E。‎ ‎∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。‎ ‎∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，‎ ‎∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。 ‎ ‎∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=×4×-×2·=2-= ‎ 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。‎ ‎10. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用 知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。‎ 答案：B 106‎ 西南大学状元教育 详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。‎ 因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，‎ 又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),‎ 在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）2=x2+42，‎ 解得x=3‎ 所以CD=‎ ‎10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长( )．‎ ‎（A）3cm （B）4cm ‎ ‎（C）5cm （D）6cm 答案：A 详细解答：‎ 由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．‎ ‎ 在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用这个关系建立方程:(8－x)2＝42＋x2‎ 解得x＝3，即CE的长为3cm．‎ ‎18.2 勾股定理的逆定理 ‎1.如图所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于( )‎ ‎ ‎ ‎ A.2 B.2 ‎ ‎ C. D. ‎ 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 答案：C 106‎ 西南大学状元教育 详细解答：作BC边上的高AD,‎ △ ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，从而∠BAD=30°‎ 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=‎ 在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=,所以CD=AD=，‎ ‎ 利用勾股定理可得AC=。‎ ‎1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，线段AB长为（ ）。‎ A.2 B.3 ‎ C.4 D.3 ‎ 答案：C 分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD。或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。‎ 详细解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出AD=1。‎ 在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。‎ 在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三边的比求出BD=3。‎ 因此AB=BD+CD=3+1=4，‎ 小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。‎ ‎2．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，则它的形状为 A．直角三角形 B．等腰三角形 ‎ 106‎ 西南大学状元教育 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难作出判断。‎ 答案：D 详细解答：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右两边因式分解得 ‎∴ ∴或，‎ 即或，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎2．若△ABC的三边a，b，c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，则△ABC是（ ）‎ ‎（A）等腰三角形 （B）直角三角形 ‎ ‎（C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b =0且a2-b2-c2=0 即且，‎ 所以三角形的形状为等腰直角三角形。‎ ‎3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）‎ ‎ ‎ 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。‎ 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。‎ 答案：C 106‎ 西南大学状元教育 详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。‎ ‎3．在下列说法中是错误的（ ）‎ ‎ A．在△ABC中，（为正整数，且），则△ABC为直角三角形.‎ ‎ B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形.‎ ‎ C．在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形.‎ ‎ D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，则△ABC为直角三角形.‎ 答案：B 详细解答： 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝‎ 不是直角三角形。‎ ‎△ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．‎ ‎4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )‎ A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b 知识点：互逆命题 知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。‎ 答案：C 详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然这是一个假命题。‎ ‎4．下列命题的逆命题成立的是（ ）‎ ‎（A）若a=b，则 （B）全等三角形的周长相等 ‎（C）同角（或等角）的余角相等 （D）若a=0，则ab=0‎ 答案：C 106‎ 西南大学状元教育 详细解答：（A）的逆命题是：若，则a=b。不一定成立，也可能a=-b ‎（B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。‎ ‎（D）的逆命题是：若ab=0，则a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。‎ ‎5．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，‎ 离开港口2小时后，两船相距（　　） ‎ A.25海里 B.30海里 ‎ C.35海里 D.40海里 知识点：勾股定理的实际应用题 知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。‎ 答案：D 详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，‎ AC=32海里，AB=24海里，‎ 根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，‎ 所以BC=40（海里）‎ ‎5．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm 在Rt△ACB中，AC和BC 是直角边，AB是斜边，AB2=AC2+CB2=41,‎ 在Rt△ADB中，AB和BD 是直角边，AD是斜边，AD2=AB2+BD2‎ ‎=41+9=50,所以AD=‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎6．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 ‎ C．钝角三角形 D．以上答案都不对 知识点：网格问题，勾股定理和逆定理 知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。‎ 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 答案：A 详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称，画出图形。‎ 在Rt△BCD中， CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65，‎ 在Rt△ACE中， AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13，‎ 在Rt△ABF中， AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52，‎ 所以，在△ABC中， AC2+AB2=13+52=65，‎ 又CB2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形 ‎6．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是 ( )‎ ‎ A.25 B.12.5 ‎ ‎ C. 9 D.8.5‎ 答案：B 详细解答：S四边形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH ‎=5×5-×1×2-×3×3-×2×3-×2×4=12.5‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎7.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形ABCD的面积.（ ）‎ A. 36 B. 25 ‎ C. 24 D. 30‎ 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。‎ 答案：A 分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.‎ 详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，‎ AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.‎ 在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，‎ 又∵ AD2=132=169，‎ ‎∴ AC2＋CD2=AD2，∴ ∠ACD=90°．‎ 故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD ‎=×3×4＋×5×12=6＋30=36.‎ ‎7．在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积是( )。‎ A. 10 B. ‎ ‎ C. D. ‎ 答案：B 详细解答：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝ ‎ 所以＝＋＝9‎ 所以AC＝3‎ 106‎ 西南大学状元教育 又因为，‎ 所以 所以∠CAD＝90°‎ 所以＝×2×＋×3×4＝‎ ‎8.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。‎ 那么四边形ABCD的面积是( )。 ‎ A. 24 B. 36‎ C. 18 D. 20‎ 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。‎ 答案：C 详细解答：如图，作DE∥AB，连结BD，可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；‎ 所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；‎ 在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，‎ ‎3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC；‎ 利用梯形面积公式可得：四边形ABCD的面积是（3+6）×4=18‎ ‎8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC边上的中线AD＝15cm，求AC得( )。‎ A. 15 B. 16 C. 17 D. 18‎ 答案：C 详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC＝16cm ‎∴BD＝8cm ‎ ‎∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm ‎ 则有：‎ ‎∴∠ADB＝90°‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°‎ 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm 根据勾股定理得：AC＝＝17 （cm）‎ ‎9.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD，△ABC是( )。‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 ‎ C. 不等边三角形 D. 等边三角形 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。‎ 答案：A 详细解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2‎ ‎∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2‎ 又∵CD2=AD·BD ‎∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2‎ ‎=（AD+BD）2=AB2‎ ‎ 所以△ABC是直角三角形。‎ ‎9．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度数（ ）．‎ A A C ‎ 东 南 B A C C P B A. 115° B. 125° ‎ C. 135° D. 120°‎ 答案：C 详细解答：如答图，‎ 将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,‎ ‎∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.‎ ‎ 又∵PB2=1，BE2=9，‎ ‎∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°，‎ ‎∴∠BPC=135°.‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎10．已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上且DF＝DC，判断△BEF为（ ）。‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 ‎ C. 不等边三角形 D. 等边三角形 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。‎ 答案：A 详细解答： 设DF＝a，则DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。‎ 在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2‎ 在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2‎ 在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2‎ 所以BE2＋EF2＝BF2‎ 所以∠BEF＝90°‎ 所以△BEF为直角三角形。 ‎ ‎10．如图，△ABC中，D是AB的中点，AC＝12，BC＝5，CD＝。△ABC为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 ‎ C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案：A 详细解答：‎ 延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE ‎∵CD＝，DE＝CD ‎∴CE＝13‎ ‎∵在△ADE和△BDC中 ‎∴△ADE≌△BDC 106‎ 西南大学状元教育 ‎∴AE＝BC＝5‎ 在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13‎ 即，∴∠EAC＝90°‎ ‎∵∠EAB＝∠CBA ‎∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90°‎ ‎∴∠ACB＝90°‎ ‎∴△ACB为直角三角形 第十八章 勾股定理 ‎1. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）‎ A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24 ‎ 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。‎ 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。‎ 答案:A 详细解答: A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，‎ a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，‎ 所以，a2＋b2≠c2，这个三角形不是直角三角形．‎ ‎ B． a2-b2=c2 即a2 =c2+b2，这个三角形是直角三角形．‎ C．a2=(b+c)(b-c) 即a2 =b2-c2，所以a2 +c2= b2，这个三角形是直角三角形．‎ D． a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2 =262=676，所以a2=c2+b2，这个三角形是直角三角形．‎ ‎1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（　　）．‎ ‎ （A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4‎ 答案:C 详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，‎ 由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。‎ 106‎ 西南大学状元教育 其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。‎ ‎2、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（ ）‎ A、8 B、10 ‎ C、12 D、16‎ 知识点：勾股定理在数学上的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。‎ 答案:D 详细解答: 在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD2=AC2-AD2=64，CD=8.‎ ‎△ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=16‎ ‎2、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（ ）‎ A、3 B、 C、4 D、5‎ 答案: B（3也可）‎ 详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，‎ 由 A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道 AC=3, BC=3 ,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18‎ 因此AB=‎ ‎3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（ ）‎ A、10米 B、12米 C、15米 D、米 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 106‎ 西南大学状元教育 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。‎ 答案:D（10也可）‎ 详细解答:根据题意画出如图所示的示意图，‎ 由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300,‎ 在Rt△BCE中，CB=10米, ∠BCE=300, 那么BE=5米， ‎ 因为BC2=BE2+CE2，所以CE2=75。‎ 在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD2=DE2+CE2=75+225=300，‎ 所以CD=米.‎ ‎24cm ‎32cm ‎3.如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm，高为32cm，则桶内能容下的最长的木棒为( )‎ A. 20cm B. 50cm ‎ C. 40cm D. 45cm 答案:C 详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，‎ 由题意知在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=32 cm，那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600，‎ 所以AB=40 cm ‎4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）．‎ ‎ A． B．3 C． D．‎ 知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。‎ 知识点的描述: 含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1：：2，应用它来解决问题方便快捷。‎ 106‎ 西南大学状元教育 答案:D 详细解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长AB为1，‎ 那么BC=,根据勾股定理求出AC=,‎ 所以周长1++=‎ ‎4．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于( )‎ A．1∶1 B．1∶2 ‎ C．∶2 D．2∶‎ 答案:D 详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE, ∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°,‎ ‎ ∵ CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶‎ ‎5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。‎ 试判断△ABC的形状( )。‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。‎ 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。‎ 答案:A 详细解答: ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , ∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0‎ ‎ ∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0 ∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数，‎ 利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。‎ ‎5、△ABC的三边a,b,c满足则△ABC是（　）‎ A、 等边三角形 B 腰底不等的等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 答案:A 详细解答: ∵‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴△ABC是等边三角形 ‎6. 一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（　　）‎ Ａ.100 B.110 C.120 D. 150‎ 知识点:对比值处理的一般方法。‎ 知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。‎ 答案:C 详细解答: ∵ △ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，‎ ‎∵它的周长为60cm，∴5k +12k +13k =60，k=2， ‎ ‎∴△ABC的三边分别为a＝10 cm，b＝24 cm，c＝26 cm，‎ ‎∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676，‎ ‎∴a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．‎ ‎∴它的面积是×10×24=120 （cm2）‎ ‎6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）‎ A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10‎ 答案:D 详细解答: 斜边与一条直角边之比为13∶5，不妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k +12k +13k =60，解得k=2， ‎ ‎∴△ABC的三边分别为a＝10 ，b＝24 ，c＝26 。‎ ‎7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，则S△ABC等于 ( )‎ A． B． C．或 D．或 知识点:多解问题 106‎ 西南大学状元教育 知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。‎ 答案:C 详细解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论：‎ ‎（1） 若高CD在△ABC的内部，如图 在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3‎ 在Rt△BDC中，BC＝2， CD=，那么利用勾股定理得BD=1‎ ‎∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×=‎ ‎（2） 若高CD在△ABC的外部，如图 在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3‎ 在Rt△BDC中，BC＝2， CD=，那么利用勾股定理得BD=1‎ 则S△ABC=AB×CD=（3-1）×=‎ ‎∴S△ABC=或 ‎7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为 ( )‎ 106‎ 西南大学状元教育 A．30° B．150° B．30°或150° D．60°或120°‎ 答案:B 详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种情况讨论：‎ ‎（1） 若高BD在△ABC的内部，如图 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，‎ ‎∴=，∴∠A＝30°‎ ‎（2） 若高CD在△ABC的外部，如图 在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴=，‎ ‎∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150°‎ ‎∴三角形的顶角为 30°或150°‎ ‎8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）‎ A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2‎ 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。‎ 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。‎ 答案:A 详细解答: Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2+b2=c2，又c=10cm，所以a2+b2=100‎ 由已知a+b=14cm，得（a+b）2=196，即a2+b2+2ab=196，所以2ab=196-100=96，ab=48‎ 则Rt△ABC的面积是ab=×48=24（cm2）‎ ‎8．直角三角形中一直角边的长为11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（　　）‎ A．121 B．132 C．100 D．不能确定 答案:B 详细解答:假设另一直角边为a，斜边为c，根据勾股定理得：c2=a2+112 ，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1‎ 因为 c+a＞c-a 106‎ 西南大学状元教育 ‎ ，所以c+a=121，c-a=1解方程组得c=61，a=60，则直角三角形的周长为132。‎ ‎9．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心300千米范围内是受台风影响的区域． A市是否会受到台风的影响？如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（ ）‎ Ａ. 8小时 B. 10小时 ‎ C. 12小时 D. A市不会受到台风影响 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。‎ 答案:C 详细解答:过A作AC⊥BF于C，则AC=AB=240<300，‎ ‎ ∴A市会受到台风影响．‎ ‎ 过A作AD=300km，交BF于点D．‎ ‎ ∴DC==180（km），‎ ‎ ∴该市受台风影响的时间为：=12小时．‎ A B 小河 东 北 牧童 小屋 ‎9．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？‎ Ａ.15 km B.16 km ‎ C.17 km D.18 km ‎ 答案:C A B D P N A′‎ M 详细解答: 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.‎ ‎ 在Rt△A′DB中，A′D= AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km），‎ 由勾股定理求得A′B==17（km）‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎10．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？（ ）‎ Ａ.D点在距A点60米的地方，最低造价为480元 ‎ B. D点在距A点50米的地方，最低造价为300元 ‎ C. D点在距A点64米的地方，最低造价为480元 ‎ D. D点在距A点64米的地方，最低造价为400元 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。‎ 答案:C 详细解答: ∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，‎ 那么根据勾股定理得AB=100米 当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价，‎ 作AB边的高CD ‎∵CD·AB=AC·BC ∴CD===48（米）‎ ‎∴AD==64（米）‎ ‎∴D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．‎ ‎10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（　　）‎ ‎ A.元 B.元 C.元 D.元 ‎150°‎ ‎20m ‎ 30m 答案:C 详细解答:作BC边上的高AD，∵∠ABC=150° ∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=20m，‎ ‎∴AD=10 m，‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎∴三角形空地的面积为BC·AD=×30m×10m ‎=150m2‎ ‎∵ 这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少需要元 ‎11．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，则四边形ABCD的面积为 ( )‎ A．47 B．49 ‎ C．53 D．60‎ 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。‎ 答案: B 详细解答：连结AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°‎ ‎∴AC=‎ 在△ADC中，AD＝CD＝‎ ‎∴AD2+DC2=（）2+（）2=100‎ 又∵AC2=102=100‎ ‎∴AD2+DC2=AC2‎ 所以∠ADC=90°‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·DC=×8×6+··=24+25=49 ‎ 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。‎ ‎11．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD等于（ ）‎ A、4 B、6 C、8 D、‎ 106‎ 西南大学状元教育 答案:B 详细解答: ∵ AC=10，DC=2 ， ∴AD=8‎ 在Rt△ABD中，AB=10，AD=8， ∴BD=6‎ ‎12．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（ ）．‎ A． B． ‎ C．1 D．‎ 知识点:方程的思想 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。‎ 答案:B 详细解答: ∵ AD=2BD， ∴可设BD=k，AD=2k Rt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC2-AD2=DC2；‎ Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC2-BD2=DC2，‎ ‎∴AC2-AD2= BC2-BD2， 得方程52-（2k）2= 42-k2‎ 解得k=，所以BD的长为。‎ ‎12．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）‎ ‎ A.56 B.48 C.40 D.32‎ 答案:B 详细解答:如图，假设BD=DC=x，那么AB=AC=16-x，‎ 在Rt△ADC中， AD2+DC2=AC2‎ ‎∵ AD＝8，CD＝x，AC=16-x ‎ ‎ ∴82+x2=（16-x） 2‎ 解得x=6‎ ‎ 三角形的面积为AD·BC=×8×12=48‎ ‎13．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3)是( ) ‎ A.20cm; B.10cm; ‎ 106‎ 西南大学状元教育 C.14cm; D.无法确定.‎ 知识点：勾股定理在实际问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。‎ 在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。‎ 答案:B 详细解答:将圆柱沿过点A的母线展开，画出如图所示的圆柱的侧面展开图，‎ 蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB，‎ 由题意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝×2×2=6，∠C＝90°‎ ‎∴AB=（cm）‎ ‎13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00时甲、乙二人还能保持联系吗？（ ）‎ Ａ.能 B.不能 ‎ 答案:A 分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．‎ O A B 详细解答:如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，‎ 走了12千米，即OA=12（千米）．‎ ‎ 乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，‎ 走了5千米，即OB=5（千米）．‎ ‎ 在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13（千米），‎ ‎ 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．‎ ‎∵15＞13， ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎ ∴甲、乙两人还能保持联系．‎ ‎14、如图，∠AOB=450，点P在∠AOB的内部， OP=2，P1与P关于OA对称，P2与P关于OB对称，则P1P2的长（ ）。‎ A、 B、3 C、 D、2‎ 知识点：勾股定理在数学上的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。‎ 答案:C（也可）‎ 详细解答: ∵P1与P关于OA对称， ∴OP1=OP=2 ，∠AOP=∠AOP1‎ ‎∵P2与P关于OB对称，∴OP2=OP=2 ，∠BOP=∠BOP2‎ ‎ ∵∠AOB=450， 即∠AOP+∠BOP=450，‎ ‎ ∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP ）=2×450=900，‎ ‎∴在Rt△P1OP2中， P1P22= OP12+ OP22=8‎ ‎∴P1P2=‎ ‎14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（ ）。‎ ‎ （A）100π-24 （B）25π-24‎ ‎ （C）100π-48 （D）25π-48‎ 答案:B 详细解答: ∠B为直角，AB=6，BC=8，那么AC=10‎ 则阴影面积为π×52-×6×8=25π-24‎ ‎15．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（ ）‎ A．10 B．4 C． D．2‎ 知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。‎ 106‎ 西南大学状元教育 知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。‎ 答案:D（也可以）‎ 详细解答:如图所示，不妨设中线AD=2，中线BE=5‎ 假设AC=b，BC=a 在Rt△ADC中，AC2+DC2=AD2，即b2+（a）2=（2）2，‎ 化简为4b2+a2=160，‎ 在Rt△BEC中，BC2+EC2=BE2，即a2+（b）2=52，‎ ‎ 化简为4a2+b2=100，‎ 两式相加得4b2+a2+4a2+b2=160+100，即5（a2+ b2）=260，‎ ‎ 所以a2+b2=52，根据勾股定理得AB==2‎ ‎15、CD是直角△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（ ）。‎ A、 B、 C、 D、‎ 答案:A 详细解答:假设CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得AB=k，‎ 又已知AB=1，所以k=，BC=，AC=‎ ‎ AB·CD=AC·BC得CD=‎ ‎16、如图，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD的长为（ ）‎ A、 B、3 ‎ C、 D、‎ 知识点:方程的思想和折叠问题 106‎ 西南大学状元教育 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多，还要特别注意利用相等的线段。‎ 答案:A 详细解答:连结AD， △ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，那么AB=5‎ ‎∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD 假设BD为x，那么AD=x，DC=4-x，‎ ‎△ADC中，∠C=900，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴32+（4-x）2=x2，解得x=‎ ‎16．已知，如图长方形ABCD中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）‎ A B E F D C ‎ A. B. ‎ C. D.‎ 答案:A 详细解答:假设AE=x，那么EB=ED=9-x 在Rt△ABE中，32+x 2=（9-x）2，解得x=4‎ ‎△ABE的面积为×3×4=6（cm2）‎ ‎17．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.（ ）‎ Ａ. cm B. cm C.53 cm D.42 cm ‎ 知识点:方程的思想 知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。‎ D B C A 答案:B 详细解答:由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB 又AC=AB=BD+AD=12+AD，‎ 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，‎ 即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，‎ 故 △ABC的周长为2AB+BC=cm ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（ ）‎ Ａ. 10时41分 B. 10时30分 C. 10时51分 D. 11时 答案:A 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.‎ 详细解答:设MN交AC于E，则∠BEC=900.‎ 又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.‎ A M E N C B 又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE，‎ 则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，‎ ‎∴CE=. ‎ ‎÷13=≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.‎ ‎9时50分+51分=10时41分.‎ 答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.‎ ‎18．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连结CQ．若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（ ）‎ Q C P A B A. 直角三角形 B. 等腰三角形 ‎ C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 知识点:综合利用勾股定理以及逆定理、数学思想、常用方法 知识点的描述:一个综合题往往要用到很多数学知识和方法，设比值为k、方程的思想、勾股定理以及逆定理，还有代数中的一些变形技巧都可能用到，要综合利用。 ‎ 答案:A 106‎ 西南大学状元教育 详细解答:在△ABP与△CBQ中，‎ ‎　　　　∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°‎ ‎　　 　∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ ‎　 ∴△ABP≌△CBQ ∴AP＝CQ ‎　　　　由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a ‎　　　　连结PQ，在△PBQ中，由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°‎ ‎　　　 　∴△PBQ为等边三角形　∴PQ＝4a ‎　　　　于是在△PQC中，‎ ‎　　　 　∴△PQC是直角三角形 ‎18.如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC，‎ ‎ Q是AB边上的一个点,, △PCQ是（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 ‎ C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案:A 详细解答:设AP=x，则PD=8－x，PC=x， ，解得 x=5‎ ‎ 在Rt△APQ中， QP2=AP2+AQ2=52+=,‎ 在Rt△CBQ中，CQ2=BQ2+BC2=+82=,‎ ‎∵QP2+PC2=+52== CQ2 ∴‎ 所以△PCQ是直角三角形 ‎ ‎15.1.1图形的平移 ‎◆随堂检测 ‎1、下列几种运动属于平移的是（ ）‎ ‎（1）水平运输带上的砖的运动；（2）啤酒生产线上的啤酒通过压盖机前后的运动；（3）升降机上下做机械运动；（4）足球场上足球的运动 106‎ 西南大学状元教育 A．一种 B．两种 C．三种 D．四种 ‎2、下列图形中，由原图平移得到的图形是（ ）‎ ‎ ‎ 原图　　　 A． B． C．　　　D．‎ ‎3、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C ． D．‎ ‎４、如图所示，△ABC平移后成为△EFB,下列说法正确的个数有：（ 　　）‎ A ED C B F ‎①线段ＡＣ的对应线段是ＢＥ；②点Ｂ的对应点是点Ｃ；③点Ｂ的对应点是点Ｆ；④平移的距离是线段ＣＦ的长度。‎ Ａ１个　　　　　　Ｂ２个　　　　　Ｃ３个　　　　　　Ｄ４个 ‎5、卷帘门上有A、B两点，（B点在A点下方）当A点向上移1m,那么B点向 移动了 ‎ m。‎ ‎６、如图，经过平移圆心点O平移到了点，你能作出平移后的圆吗？‎ ‎ O ‎ ‎ ‎ ◆ 典例分析 平移后得到△DEF，如图所示，若∠A=80O,∠E=60O,你知道∠C的度数吗？说明理由。‎ 106‎ 西南大学状元教育 A B C D O F E ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、火车在笔直的铁路上开动，火车头以100千米/时的速度前进了半小时，则车尾走的路程是（ ）‎ A、100千米 B、50千米 C、200千米 D、无法计算 ‎2、将线段AB平移1cm,得到的线段是A/B/,则A到点A/的距离是 。‎ ‎3、如图所示，在等边三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中有两个小等边三角形，其中△FBD可以看成是由△AFE平移而得到，则平移的方向是 ，平移的距离为 。‎ A B C ED F ＤD ‎4、△DEF是把△ABC水平向左平移3.5cm得到，你能作出△ABC吗？‎ ‎ D ‎ E F ‎ ‎5、如图所示，长方形ABCD，对角线AC,BD相交于O,DE∥AC,CE∥BD,那么△EDC可以看作由 平移得到的，平移的距离是线段 的长度。‎ ‎ ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎●体验中考AAE BA CA DA E OA ‎1、（2009年广东广州）将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）‎ ‎2、（2009年青海）如图，请借助直尺按要求画图：‎ ‎（1）平移方格纸中左下角的图形，使点平移到点处．‎ ‎（2）将点平移到点处，并画出将原图放大为两倍的图形．‎ P2‎ P3‎ P1‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎15.1.2平移的特征 ‎◆随堂检测 ‎1、在下面的六幅图案中，平移（1）可得到（2）、（3）、（4）、（5）、（6）中的哪个图案？‎ ‎ (1) (2) (3) (4) (5) (6)‎ ‎2、在下列说法中，①四边形在平移过程中，对应线段一定相等；②四边形在平移过程中，对应线段一定平行；③四边形在平移过程中，周长不变；④四边形在平移过程中，面积不变，、其中正确的是：（ ）‎ A、①②③ B、①②③④ C、②③④ D、①③④‎ ‎3、平移不改变图形的　　　 和　　　　 ，只改变图形的　　　　‎ ‎4、小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印　　 （填能或不能）通过平移与右手手印完全重合。‎ ‎5、将线段AB向右平移3cm得到线段CD，如果AB=5 cm，则CD= cm.‎ ‎6、将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG= °，BF= cm.‎ ‎◆典例分析 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。‎ ‎（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；‎ ‎（2）若平移距离为x（ ），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式。‎ ‎●拓展提高 ‎1、下图中，平移到了位置，下列结论不成立的是 ( )‎ A ． B ． C ． D．‎ ‎ ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎2、如图，△ABC沿着点A到A1的方向平移到△A1B1C1的位置，如果AB=5cm,BC=4cm,∠A=60O∠B=50O,则∠C1= ,B1C1= .‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎3、 将面积为30cm2的等腰直角三角形ABC向下平移20cm，得到△MNP，则△MNP是 三角形，它的面积是 cm2.‎ ‎4、如图，在长方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O ，画出平移后的三角形，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长．‎ ‎5、如图，由三角形ABC平移得到的三角形有几个？‎ ‎6、△ABC经过平移后得到△DEF,(1)指出平移的方向和距离；‎ ‎（2）写出图中相等的线段和平行的线段(包括虚线)；‎ ‎（3）写出图中相等的角。‎ F A B C D E ‎●体验中考 ‎1、（2009年，广东）将线段AB平移1cm，得到线段 的距离是 ‎ ‎2．(2009年福建宁德)在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C ． D．‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎15.2.1图形的旋转 ‎◆随堂检测 ‎1、如右图，甲图案可以看作是乙图案通过怎样变换而得到？（ ）‎ A．先按逆时针旋转90°再平移； ‎ B．先按逆时针旋转90°再作轴对称图 C．先平移再作轴对称； ‎ D．先平移再作逆时针旋转90°‎ ‎2．将字母“T”按顺时针方向旋转90°后的图形是（ ）‎ ‎3、现象中属于旋转的有( )个 ‎①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；‎ ‎⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.‎ A.2 B.3 C.4 D.5 ‎ ‎4、如图，线段MO绕点O旋转900得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是　　　，旋转角是　　　　，它等于　　　度.‎ ‎ ‎ ‎（第4题） （第5题）‎ ‎5、如图，长方形ABCD是长方形EFGD绕旋转中心________沿_______旋转______度得到的，对角线AC与EG的关系是________，理由是_________．‎ ‎◆典例分析 如图，将△ABC绕点A旋转得到△AEF，指出图中的旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。‎ 分析:旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角，而对应线段是对应点所在的线段，对应角则由对应点所形成的角，因此关键是要分清楚是谁的对应点。‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、如图1，在正方形ABCD中有一点P，把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB，‎ 连接PQ，则⊿PBQ的形状是（　　　）‎ ‎（A）等边三角形　　　　　（B）等腰三角形　 ‎ ‎（C）直角三角形　　 （D）等腰直角三角形 A B O E D F C ‎ ‎ ‎（第1题） （第2题） （第3题）‎ ‎2．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（ ） ‎ A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠ AOF ‎ ‎3、如图，绕点O旋转450后得到，则点B的对应点是_____；线段OB的对应线段是____；线段AB的对应线段是____；∠A的对应角是_____；∠B的对应角是_____；旋转中心是_____；旋转的角度是______.△AOB的边OB的中点M的对应点在　　　　　　.‎ ‎4、图中的两个等腰三角形是全等的，且∠AOD=45°，OB=4㎝，OA=‎ ‎1㎝．怎样将右边的三角形变为左边的三角形?‎ ‎ ‎ A O D B C 第4题 ‎5、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。‎ ‎（1）旋转中心是哪一点？ ‎ ‎（2）旋转了多少度？‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？‎ A M ‎ ‎ E D C B ‎ ‎ D ‎6、如图，四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？‎ C A B E F ‎●体验中考 ‎1、（2009年，陕西）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，若点A’在AB上，则旋转角的大小可以是（ ）‎ A、30° B、45° C、60° D、90°‎ ‎ （第1题） （第2题）‎ ‎2、如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，如果∠A′DC=90°，那么∠A的度数是多少？‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎15.2.2旋转的特征 ‎◆随堂检测 ‎1、你玩过万花筒吗？它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。下图是看到的万花筒的一个图形，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（ ）‎ G F A．顺时针旋转600得到 E A B．顺时针旋转1200得到 D C．逆时针旋转600得到 C B D．逆时针旋转1200得到 ‎2、如图，在△ABC中，∠B=900，∠C=300，AB=1，将△ABC绕顶点A旋转1800，点C落在C1处，则C C1的长为（ ）‎ C1‎ B1‎ A．‎ A B．4‎ C B C．‎ D．‎ ‎3、如图所示，图形①经过 变化成图形②，图形②经过 变化成图形③。‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎4、如图，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A= ，∠B= ,AB= ,‎ AC= ‎ E D C B A ‎5、如图，△ABC中，∠ACB=1200，将它绕着点C旋转300 后得到△DCE，则∠ACE= ‎ ‎∠A+∠E= ‎ E D C B A ‎ ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎6、如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点A′，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形．‎ ‎◆典例分析 ‎ 如图所示，△ACD和△BCE都是等边三角形，△DCB经过旋转后得到△ACE。‎ ‎ ⑴指出旋转中心是哪一点？‎ ‎ ⑵旋转了多少度？‎ ‎ ⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗？‎ ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、下列关于图形旋转特征的说法不正确的是（ ）‎ A.对应线段相等 B.对应角相等 ‎ C.图形的形状与大小都保持不变 D.旋转中心平移了一定的距离 ‎2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=∠BCD=,AH⊥BC于H,AH=5,则四边形ABCD的面积是（ ）‎ A.15 B．20 C．25 D．无法确定 H D C B A ‎3、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300到正方形A1B1C1D1，图中阴影部分的面积为（ ）‎ 106‎ 西南大学状元教育 A．C B1‎ B C1‎ A B． ‎ D D1‎ C．1 - D．1 -‎ ‎4、将等边△ABC绕着点A按某个方向旋转400后得到△ADE(点B与点D是对应点)，则∠BAE的度数为_____.‎ ‎5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，求∠BDC的度数．‎ ‎ ‎ ‎6、如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．试求∠APB的度数．（提示：可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△BP′C，连PP′，从而求出∠PP′C的度数）．‎ ‎●体验中考 ‎1、（2009年，泸州）如图l，P是正△ABC内的一点，若将△BCP绕点B旋转到△BAP’，则∠PBP’的度数是（ ）‎ A、45° B、60° C、90° D、120°‎ ‎2、（2008年，长沙）如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。连结AE。‎ 求证：⑴AE∥BC；‎ ‎⑵图中是否存在旋转关系的三角形，若有，请说出其旋转中心与旋转角，若没有，请说明理由。‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎15.2.3旋转对称图形 ‎◆随堂检测 ‎1、如图,过圆心O和圆上一点A连一条曲线,将曲线OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转900,把圆分成四部分,则 ( )‎ A．这四部分不一定相等 B．这四部分相等 ‎ ‎ ‎ ‎ A O B．前一部分小于后一部分 D．不能确 ‎ ‎ ‎ ‎（第1题） （第2题)‎ ‎2、如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ）‎ A．30° B．60° C．120° D．180°‎ ‎3、如图3所示的图形是旋转对称图形，它是绕它的旋转中心旋转_______度后与自身重合的？‎ ‎（第3题） (第4题) （第5题）‎ ‎4、如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 ‎ ‎ 5、如上图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎◆典例分析 我们在生活中可以看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后重合，如下图所示，这四个图形都是旋转对称图形。‎ ‎ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷‎ 请大家观察上面的图形，然后说一说它们在旋转多少度后能与自身重合？‎ ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（　　）‎ ‎（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ ‎2、如图所示图形旋转一定角度能与自身重合，则旋转的角度可能是 ( ) ‎ A．30° B．60° C．90° D．120° ‎ A B C D ‎（ （第2题） （第3题） （第4题）‎ ‎3、如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的，把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合，则旋转的角度为（ ）‎ ‎ A．45°或90° B．90°或180°‎ C．180°或270° D．n·45°（1≤n≤8，且n为正整数）‎ ‎4、‎ 106‎ 西南大学状元教育 如图，已知等边三角形ABC和等边三角形DBC有公共的底边BC，以图中的某个点为旋转中心，旋转△DBC与△ABC重合，则旋转中心为 （写出所有满足条件的点）。‎ ‎5、如图，是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转的方法，将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出图形，你来试一试吧！但是涂阴影时，要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则你将得不到理想的效果，并且还要扣分的噢！‎ ‎ ‎ ‎6、已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF:‎ ‎(1)相等吗？（2）△DCF能与△BCE重合吗？（3）BE与DF垂直吗？‎ F E D C B A ‎●体验中考 ‎1、（2009年，天津）如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长．‎ ‎ ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎15.3中心对称 ‎◆随堂检测 ‎1、如图，不是中心对称图形的是 （ ）‎ ‎ ‎ ‎2、给出下列图形：（1）角；（2）直角三角形；（3）等腰三角形；（4）平行四边形；（5）圆。其中为中心对称图形的是（ ）‎ A．（4）（5） B．（2）（3）(5) C．(3)(4) D.(1)(3)(4)(5)‎ ‎3、在数字0至9中，哪些是中心对称图形 。‎ ‎4、世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 。‎ ‎ 一石激起千层浪 方向盘 铜钱 ‎ ‎5、如图,已知ΔABC和ΔDEF关于点O成中心对称,则AO＝ ，BO＝　　　，CO＝　　　，点A关于对称中心O的对称点是 ，点B关于对称中心O的对称点是 ，点C关于对称中心O的对称点是 ．‎ F E D C B A O 106‎ 西南大学状元教育 ‎6、若ΔABC和Δ关于点O成中心对称,那么ΔABC绕点O旋转 后能与Δ重合.‎ ‎◆典例分析 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（　 　）‎ ‎ A．N 　 B．A Ｃ．M D．E ‎2、下列说法错误的是 ( ) ‎ A．中心对称图形一定是旋转对称图形 B．轴对称图形不一定是中心对称图形 ‎ C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分。 ‎ D．旋转对称图形一定是中心对称图形。‎ ‎3、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是( )．‎ ‎ (A) 平行 (B) 相等 (C) 平行且相等 (D) 相等且平行或在同一直线上 ‎4、．已知点O是 ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有 对,它们分别是 .‎ ‎5、如图, ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD,连结AD、BC,得到四边形ABCD,则AB CD(填位置关系),与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD BC(填位置关系)．‎ D C B O A ‎ ‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎6、如图，在正方形网格上有一个△ABC．‎ ‎ （1）作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′（不写作法，但要标出字母）；‎ ‎ （2）若网格上的最小正方形边长为1，求出△ABC的面积．‎ ‎●体验中考 ‎1、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形 ‎2、（2009年山东济宁）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎15.4图形的全等 ‎◆随堂检测 ‎1、下列命题正确的是：（ ）‎ A．形状相同的两个图形叫做全等形 B．大小相同的两个多边形叫做全等多边形 C．“△ABC≌△DEF“说明点A与点D是对应点，点B与点F是对应点，点C与点E是对应点 D．全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ‎2、判断如图（1）（2）（3）所示的两个图形是不是全等图形。‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎3、如图，如果所画的两个三角形是全等的，那么可以写成________≌________．‎ ‎4、下列8个图形中的全等图形：‎ ‎5．如图所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．‎ ‎◆典例分析 已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长. ‎ ‎ ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、下列说法正确的是：( )‎ A．全等图形的面积一定相等 ‎ B．面积相等的两个多边形一定全等 C．轴对称的两图形一定全等，全等的两个图形一定关于某条直线对称 106‎ 西南大学状元教育 D．面积相等的两个圆不一定全等 ‎2、如图，≌，则对于结论①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3、（2009年广东省清远市）如图，若，且，则= ．‎ ‎ ‎A B C C1‎ A1‎ B1‎ ‎4．如图所示，△ABC≌△A′B′C′，∠C=25°，BC=6cm，AC=4cm，你能得出△A′B′C′中哪些角的大小，哪些边的长度？‎ ‎5、如图所示，△ABD≌△ACE,且E在BD上，CE交AB于F,若∠CAB=20O,求∠DEF的度数。‎ A D E B C ‎6、如图，△ABC与△DCB全等，写出它们的对应边和对应角，你认为图中还有没有全等的三角形？如果有，请你把它们写出来。‎ 106‎ 西南大学状元教育 A D B C E ‎●体验中考 ‎1.（2009年海南省）已知图中的两个三角形全等，则∠度数是（ ）‎ A.72° B.60° C.58° D.50°‎ C A B ‎2.（2009山西省太原市）如图，，=30°，则的度数为（ ）‎ A．20° B．30°‎ C．35° D．40°‎ ‎16.1.1 平行四边形的性质 ‎◆随堂检测 ‎1、ABCD的周长为40cm， ABC的周长为25cm，则AC得长为（ ） ‎ A．5cm B．6cm C．15cm D．16cm ‎2、平行四边形不具有的性质是（ ）‎ A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 ‎3、如图，在 ABCD 中，∠ACB=∠B=50°，则∠ACD = ．‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎4、在 ABCD中，∠A的余角与∠B的和为190°，则∠BAD= ．‎ ‎5、在 ABCD中，AD边与BC边的长度之和恰好是边AB与CD边长之和的2倍，又知AB=3，求该平行四边形的周长．‎ ‎◆典例分析 如图，在 ABCD中，∠A+∠C =160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．‎ ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、如图所示，在 ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF交GH于点O，则该图中的平行四边形的个数为（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．11‎ ‎2、如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于 （ ）‎ A．60° B．50° C．70° D．65°‎ ‎3、如图，在 ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，‎ ‎∠E+∠F等于 （ ）‎ A．110° B．30° C．50° D．70°‎ 第4题 106‎ 西南大学状元教育 ‎4、如图，等腰三角形ABC的一腰AB=4cm，过底边BC上的任一点D作两腰的平行线，分别交两腰与E、F，则平行四边形AEDF的周长是 .‎ ‎5、如图，在 ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF= .‎ ‎6、如图，四边形ABCD是平行四边形，已知AD=8，AB=10，BD=6，求BC、CD及此平行四边形的面积.‎ ‎●体验中考 ‎1、（2009年山东省东营市）如图，在□ABCD中，已知AD＝8㎝， AB＝6㎝， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ） ‎ A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm A B C D E ‎2、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图，ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： ．‎ 106‎ 西南大学状元教育 A B C E D F 参考答案：‎ ‎◆随堂检测 ‎1、A．平行四边形的周长为40cm，所以AB+BC=20cm，所以AC=25-20=5cm.‎ ‎2、A．平行四边形的性质.‎ ‎3、80° 根据三角形内角和为180°可得.‎ ‎4、40° 平行四边形的性质.‎ ‎5、18 在 ABCD中，CD=AB=3，AD+BC=(3+3)×2=12，AB+BC+CD+DA=3+3+2=18.‎ ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、C. 平行四边形的性质.‎ ‎2、A．在 ABCD中，BC∥AD，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵∠EAF=60°，∴∠FAD=30°，‎ ‎ 在Rt△ADF中，∠D=90°-∠FAD=60°=∠B.‎ ‎3、D．由∠B=110°可得∠ADC=∠B=110°，∴∠EDF=∠ADC=110°，∴∠E+∠F=70°.‎ ‎4、8cm 在 AEDF中，DE∥AF，∠BDE=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BDE，‎ ‎ ∴BE=DE，同理FD=FC，∴AE+ED+DF+AF=AB+AC=8cm.‎ ‎5、3 易求AE=AB=4，DE=DF=3.‎ ‎6、解：在 ABCD中，BC=AD=8，CD=AB=10，∵，‎ ‎ ∴AD⊥BD，=AD·DB=48.‎ ‎●体验中考 ‎1、A. 平行四边形的性质.‎ ‎2、‎ 106‎ 西南大学状元教育 ‎16.1.2 平行四边形的性质 ‎◆随堂检测 ‎1、已知O是    ABCD的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=12cm，则△BOC的周长 是_______．‎ ‎2、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，‎ 那么 OBC的周长等于 mm.‎ 第4题 ‎3、若一个平行四边形的一条边长为10cm，一条对角线长为16cm，则另一条对角线长a的取值范围为 .‎ ‎4、如图，AF∥BG，AB∥CD，CE⊥BG，FG⊥BG，则下列说法错误的是（ ）‎ A．AB=CD B．点C到直线BG的距离就是线段CE的长 ‎ ‎ C．EC=FG D．直线AF与直线BG的距离就是线段CD的长 ‎◆典例分析 如图所示，已知 ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求 ABCD的面积．‎ ‎◆课下作业 ‎●拓展提高 ‎1、已知三条线段的长分别为22cm，16cm，18cm，以其中的两条线段为平行四边形的对角线，剩下的一条为平行四边形的一边，可以画出 个平行四边形.‎ ‎2、已知    ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么   ABCD的面积 106‎ 西南大学状元教育 为_______．‎ ‎3、在   ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（  ）．‎ ‎    A. AB=4，AD=4     B. AB=4，AD=7    ‎ C. AB=9，AD=2     D. AB=6，AD=2‎ ‎4、平行四边形一边长为12cm，那么它的两条对角线的长度可能是（  ）．‎ A.8cm和14cm     B.10cm和14cm  ‎ ‎ C.18cm和20cm   D.10cm和34cm ‎5、平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( )‎ A. 6