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  • 2021-11-01 发布

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)13

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13.3.2 等边三角形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 含 30 ° 角的直角三角形的性质 八年级数学上(RJ) 学习目标 1 . 探索含 30° 角的直角三角形的性质.(重点) 2 . 会运用 含 30° 角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.(难点) 导入新课 问题引入 问题 1 如图,将两个相同的 含 30° 角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到 Rt△ ABC 的直角 边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗? 分离 拼接 A C B 问题 2 将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折,如图所示,你有什么发现? 讲授新课 含 30° 角的直角三角形的性质 一 性质: 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 . A B C D 如图, △ ADC 是 △ ABC 的轴对称图形, 因此 AB=AD , ∠ BAD =2×30°=60° , 从而 △ ABD 是一个 等边三角形 . 再由 AC ⊥ BD , 可得 BC = CD = AB . 你还能用其他方法证明吗? 证法 1 证明:在 △ ABC 中 ,∵ ∠ C =90° ,∠ A =30°, ∴  ∠ B =60° . 延长 B C 到 D , 使 BD = AB , 连接 AD , 则 △ ABD 是等边三角形. 又 ∵ AC ⊥ BD , 已知:如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ C =90° ,∠ A =30°. 求证: BC = AB . A B C D 证明方法: 倍长法 ∴   BC = AB .    ∴ BC = BD .    E A B C 证明 2 : 在 BA 上截取 BE = BC , 连接 EC . ∵ ∠ B = 60° , BE=BC . ∴ △ BCE 是等边三角形, ∴ ∠ BEC = 60°, BE = EC . ∵ ∠ A = 30°, ∴ ∠ ECA =∠ BEC -∠ A =60°-30° = 30° . ∴ AE = EC , ∴ AE = BE = BC , ∴ AB = AE + BE =2 BC . ∴   BC = AB .    证明方法: 截半法 知识要点 含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 应用格式: ∵   在 Rt△ ABC 中 ,   ∠ C =90° ,∠ A =30° ,    A B C ∴   BC = AB .    √ 判断下列说法是否正确: 1 )直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半. 2 )三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半。 3 )直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4 )直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍. 例 1 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ ACB = 90° , ∠ B = 30° , CD 是斜边 AB 上的高, AD = 3cm ,则 AB 的长度是 (    ) A . 3cm B . 6cm C . 9cm D . 12cm 典例精析 注意: 运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形. D 解析:在 Rt△ ABC 中, ∵ CD 是斜边 AB 上的高, ∴∠ ADC = 90° , ∴∠ ACD = ∠ B = 30°. 在 Rt△ ACD 中, AC = 2 AD = 6cm ,在 Rt△ ABC 中, AB = 2 AC = 12cm.∴ AB 的长度是 12cm. 故选 D. 例 2 如图, ∠ AOP = ∠ BOP = 15° , PC∥OA 交 OB 于 C , PD ⊥ OA 于 D ,若 PC = 3 ,则 PD 等于 (    ) A . 3 B . 2 C.1.5 D . 1 解析:如图,过点 P 作 PE ⊥ OB 于 E , ∵ PC∥OA , ∴∠ AOP = ∠ CPO , ∴∠ PCE = ∠ BOP + ∠ CPO = ∠ BOP + ∠ AOP = ∠ AOB = 30°. 又 ∵ PC = 3 , ∴ PE = 1.5.∵∠ AOP = ∠ BOP , PD ⊥ OA , ∴ PD = PE = 1.5. 故选 C. E C 方法总结: 含 30° 角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含 30° 角的直角三角形. 例 3 如图,在 △ ABC 中, ∠ C = 90° , AD 是 ∠ BAC 的平分线,过点 D 作 DE ⊥ AB . DE 恰好是 ∠ ADB 的平分线. CD 与 DB 有怎样的数量关系?请说明理由. 解: 理由如下: ∵ DE ⊥ AB , ∴∠ AED = ∠ BED = 90°. ∵ DE 是 ∠ ADB 的平分线, ∴∠ ADE = ∠ BDE . 又 ∵ DE = DE , ∴△ AED ≌ △ BED (ASA) , 在 Rt△ ACD 中, ∵∠ CAD = 30° , ∴ AD = BD , ∠ DAE = ∠ B . ∵∠ BAD = ∠ CAD = ∠ BAC , ∴∠ BAD = ∠ CAD = ∠ B . ∵∠ BAD + ∠ CAD + ∠ B = 90° , ∴∠ B = ∠ BAD = ∠ CAD = 30°. ∴ CD = AD = BD ,即 CD = DB . 方法总结: 含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质. 想一想:  图中 BC 、 DE 分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对的锐角分别是多少度? 例 4  如图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的中点,立柱 BC , DE 垂直于横梁 AC , AB =7.4 cm ,∠ A =30° , 立柱 BC 、 DE 要多长? A B C D E A B C D E 解: ∵ DE ⊥ AC , BC ⊥ AC , ∠ A =30 ° , ∴ BC = AB , DE = AD . ∴ BC = AB = ×7.4=3.7(m). 又 AD = AB , ∴ DE = AD = ×3.7=1.85 (m). 答:立柱 BC 的长是 3.7m , DE 的长是 1.85m. 例 5 已知 : 等腰三角形的底角为 15 °, 腰长为 20. 求腰上的高 . A C B D 15 ° 15 ° 20 解 : 过 C 作 CD ⊥ BA , 交 BA 的延长线于点 D. ∵∠ B =∠ ACB =15 ° ( 已知 ), ∴∠ DAC = ∠ B + ∠ ACB = 15 ° +15 ° =30 °, ) ) ∴ CD = AC = ×20=10. 方法总结: 在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出 30 °角,利用含 30 °角的直角三角形的性质解决问题 . 当堂练习 1. 如图,一棵树在一次强台风中于离地面 3 米处折断倒下,倒下部分与地面成 30° 角,这棵树在折断前的高度为 ( ) A . 6 米 B . 9 米 C . 12 米 D . 15 米 2. 某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的 △ABC 空地上种植草皮以美化环境,已知 ∠A = 150° ,这种草皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要 ( ) A . 300 a 元 B . 150 a 元 C . 450 a 元 D . 225 a 元 B B 4 . 在 △ ABC 中, ∠ A : ∠ B : ∠ C =1:2:3, 若 AB =10, 则 BC = . 5 5. 如图, Rt△ ABC 中, ∠ A = 30° , AB + BC =12cm , 则 AB =______. A C B 8 3. 如图,在 △ ABC 中, ∠ ACB =90° , CD 是高 , ∠ A =30° , AB =4 . 则 BD = . A B C D 1 第 3 题图 第 5 题图 6. 在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长. 解:连接AE, ∵DE是AB的垂直平分线, ∴BE=AE, ∴∠EAB=∠B=15°, ∴∠AEC= ∠EAB + ∠B=30°. ∵∠C=90°, ∴AC= AE= BE=2.5. 7. 在 △ABC 中 , AB=AC , ∠BAC=120 ° , D 是 BC 的中点, DE⊥AB 于 E 点,求证: BE=3EA. 证明: ∵AB=AC , ∠BAC=120 °, ∴∠B=∠C=30 ° . ∵ D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC ∴∠ADC=90° , ∠BAD=∠DAC=60 ° . ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB , ∴∠AED=90 °, ∴∠ADE=30 °, ∴AD=2AE. ∴AB=4AE , ∴BE=3AE. 8. 如图,已知 △ABC 是等边三角形, D,E 分别为 BC 、 AC 上的点,且 CD=AE , AD 、 BE 相交于点 P , BQ⊥AD 于点 Q, 求证 :BP=2PQ. 拓展提升 ∴△ADC ≌ △BEA. 证明: ∵△ABC 为等边三角形, ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60° , ∵CD=AE , ∴∠CAD=∠ABE . ∵ ∠BAP+∠CAD=60° , ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又 ∵ BQ⊥AD , ∴BP=2PQ. ∴∠PBQ=30 ° , ∴∠BQP=90 ° , 课堂小结 内容 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含 30° 角的直角三角形的性质 找准 30 ° 的角所对的直角边,点明斜边 注意 前提条件:直角三角形中