第19章全等三角形19-4逆命题与逆定理1-2互逆命题与互逆定理等腰三角形的判定习题课件华东师大版 29页

1. 互逆命题与互逆定理 2. 等腰三角形的判定 1. 在两个命题中 , 如果第一个命题的 _____ 是第二个命题的结论 , 而第一个命题的结论是第二个命题的 _____, 那么这两个命题叫 做 _____ 命题 . 如果把其中一个命题叫做原命题 , 那么另一个命题 就叫做它的 ___ 命题 . 【 点拨 】 每一个命题都有逆命题 , 原命题正确 , 它的逆命题不一 定正确 . 题设 题设 互逆 逆 2. 如果一个定理的逆命题也是 _____, 那么这两个定理叫做互逆 定理 , 其中的一个定理叫做另一个定理的 _______. 3. 如果一个三角形有两个角 _____, 那么这两个角所对的 ___ 也相 等 .( 简写成“ ___________”) 定理 逆定理 相等 边 等角对等边 4. 如果三角形的一条边的 _____ 等于另外两条边的 _______, 那么 这个三角形是 _____ 三角形 . 【 归纳 】 等腰三角形的性质和判定 , 勾股定理和逆定理都是互逆 定理 . 平方 平方和 直角 【 预习思考 】 1. 定理一定有逆定理吗 ? 提示： 不一定 . 2. 假命题的逆命题一定是假命题吗 ? 提示： 不一定 . 例如 “ 相等的角是对顶角 ” 是假命题 , 但它的逆 命题 “ 对顶角相等 ” 是真命题 , 且是定理 . 互逆命题 【 例 1】 写出下列命题的逆命题 , 并判断这些命题的真假 . (1) 如果∠ α 与∠ β 是邻补角 , 那么∠ α+∠β=180° ； (2) 如果一个三角形的两个内角相等 , 那么这两个内角所对的边 相等 . 【 解题探究 】 1. 如何写出命题的逆命题 ? 答 : 把原命题的题设和结论进行交换 , 就成了逆命题 . 2. 所有命题的逆命题都成立吗 ? 答 : 命题的逆命题并不都成立 . 3. 交换命题的题设和结论 , 并对逆命题进行判断 : (1) 逆命题 : 如果∠ α+∠β=180°, 那么∠ α 与∠ β 是邻补角 . 这 是假命题 . (2) 逆命题 : 如果一个三角形的两条边相等 , 那么这两条边所对的 内角相等 . 这是真命题 . 【 互动探究 】 如何说明例题 (1) 的逆命题是假命题 ? 提示： 说明一个命题是假命题 , 可以用举反例的方法说明，如当 两直线平行时 , 两同旁内角互补 , 但两角不是邻补角 . 【 规律总结 】 求逆命题的“两步法” 【 跟踪训练 】 1. 下列说法中 , 正确的是 ( ) (A) 每一个命题都有逆命题 (B) 假命题的逆命题一定是假命题 (C) 每一个定理都有逆定理 (D) 定理正确那么它的逆命题就正确 【 解析 】 选 A. 因为假命题的逆命题不一定是假命题 , 所以选项 B 错误；有些定理有逆定理 , 有些定理没有逆定理 , 选项 C 错误； 定理正确，但它的逆命题不一定正确，故对顶角相等，所以选 项 D 错误；选项 A 正确 . 2. 命题“等边三角形的每个角都等于 60°” 的逆命题是 _______, 逆命题 _______ ( 填“正确”或“错误” ). 【 解析 】 逆命题 : “ 每个角都等于 60° 的三角形是等边三角形 ” , 逆命题是正确的 . 答案： 每个角都等于 60° 的三角形是等边三角形 正确 3. 举例说明命题的逆命题是错误的 . 命题 : 如果一个整数的个位数字是 5, 那么这个整数能被 5 整除 . 【 解析 】 原命题的逆命题 : 如果一个整数能被 5 整除 , 那么这个整 数的个位数字是 5. 举反例说明逆命题是假命题 :10 能被 5 整除 , 但个位数不是 5. 等腰三角形的判定及性质的应用 【 例 2】(6 分 )(2011· 扬州中考 ) 已知 : 如 图 , 锐角△ ABC 的两条高 BD ， CE 相交于点 O, 且 OB=OC. 求证 :△ABC 是等腰三角形 . 【 规范解答 】 ∵OB=OC, ∴∠OBC= ∠OCB . ………… 1 分 特别提醒 : 此题应用等腰三角形的判定定理，而不是直接证得两腰相等 . ∵ 锐角△ ABC 的两条高 BD ， CE 相交于点 O, ∴∠BEC= ∠BDC =90°. ……………………………… 3 分 ∵∠ EOB=∠DOC,∴∠EBO=∠DCO. ∵∠OBC=∠OCB, ∴∠ABC= ∠ACB , ……………………………………… 4 分 ∴ AB= AC , ……………………………………………… 5 分 ∴△ ABC 是等腰三角形 . ……………………………… 6 分 【 互动探究 】 能否通过△ AEC≌△ADB 的方法得到 AB=AC? 为什么 ? 提示： 不能 . 因为没有△ AEC≌△ADB 的条件 . 【 规律总结 】 等腰三角形性质口诀 研究等腰三角形 , 两腰底角都相等 , 分析顶角平分线 , 平分垂直于底边 , 既是底边上的高 , 又是底边的中线 . 【 跟踪训练 】 4. 如果 D 是△ ABC 中 BC 边上一点 , 且△ ADB≌△ADC, 则△ ABC 是 ( ) (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 等腰三角形 (D) 直角三角形 【 解析 】 选 C. 由△ ADB≌△ADC 知， AB=AC, 则△ ABC 是等腰三角形 . 5. 如图 ,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°, 则图中等腰三角形有 _______ 个 . 【 解析 】 因为∠ A=36°,∠C=72°, 所以 ∠ ABC=72°. 又∠ C=72°, 所以△ ABC 为等腰三角形；由 ∠ A=36°,∠ABD=∠ABC-∠DBC=36°, 所以△ ADB 为等腰三角 形；由于∠ BDC=2∠A=72°=∠C, 所以△ BDC 为等腰三角形 . 答案： 3 6. 已知 : 如图 ,D 是△ ABC 的 BC 边上的中 点 ,DE⊥AC,DF⊥AB, 垂足分别是 E,F, 且 BF=CE. 求证 :△ABC 是等腰三角形 . 【 证明 】 ∵DE⊥AC,DF⊥AB, ∴∠BFD=∠CED=90°. 又 ∵ BD=CD,BF=CE, ∴Rt△BDF≌Rt△CDE,∴∠B=∠C. ∴△ABC 是等腰三角形 . 1. 下列定理中 , 有逆定理的是 ( ) (A) 四边形的内角和等于 360° (B) 同角的余角相等 (C) 全等三角形对应角相等 (D) 在一个三角形中 , 等边对等角 【 解析 】 选 D. 由题意得 , 选项 D 有逆定理 , 其余选项没有逆定理 . 2. 如图 , 已知 AC∥BD,OA=OC, 则下列结论不一定成立的是 ( ) (A)∠B=∠D (B)∠A=∠B (C)OA=OB (D)AD=BC 【 解析 】 选 C.∵AC∥BD, ∴∠A=∠D,∠B=∠C, 又∵ OA=OC, 即∠ A=∠C, ∴∠A=∠B=∠C=∠D, 故 A ， B 正确 . ∵∠B=∠D,∴OB=OD, 又∵ OA=OC,∴OA+OD=OC+OB ， 即 AD=BC. 故 D 正确 . 3.(2011· 德州中考 ) 下列命题中 , 其逆命题成立的是 ______( 只 填写序号 ). ① 同旁内角互补 , 两直线平行； ②如果两个角是直角 , 那么它们相等； ③如果两个实数相等 , 那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a 2 +b 2 =c 2 , 那么这个三角形是 直角三角形 . 【 解析 】 ① 两直线平行 , 同旁内角互补 , 正确；②如果两个角相 等 , 那么它们是直角 , 错误；③如果两个实数的平方相等 , 那么这 两个实数相等 , 错误；④一个三角形是直角三角形 , 那么三角形 的三边长 a,b,c,c 为斜边 , 满足 a 2 +b 2 =c 2 , 正确 . 答案： ①④ 4. 如图 , 以△ ABC 的三边分别向外作正 方形 , 它们的面积分别是 S 1 ,S 2 ,S 3 , 如果 S 1 +S 2 =S 3 , 那么△ ABC 的形状是 _______ 三 角形 . 【 解析 】 ∵S 1 +S 2 =S 3 且 S 1 =AB 2 ,S 2 =BC 2 ,S 3 =AC 2 , ∴AB 2 +BC 2 =AC 2 ,∴△ABC 是直角三角形 . 答案： 直角 5. 已知点 A 和点 B, 以点 A 和点 B 为两个顶点作等腰直角三角形 , 一 共可以作出多少个等腰直角三角形 ? 【 解析 】 当以 AB 为底边 , 有 C 1 ， C 2 两个点符合要求 , 如图 (1) ；当 以 AB 为腰 , 有 C 3 ， C 4 ， C 5 ， C 6 四个点符合条件 , 如图 (2). 所以一共 可作出 6 个等腰直角三角形 .