同步练习《第十二章全等三角形》（整章）人教版数学八年级上册 41页

第十二章 全等三角形 第一节 全等三角形 一、单选题（共10小题）‎ ‎1．如图，沿直角边所在直线向右平移到，则下列结论中，错误的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．‎ ‎【详解】A、Rt△ABC向右平移得到△DEF，则△ABC≌△DEF成立，故正确，不符合题意；‎ B、△ABC≌△DEF，则BC＝EF，BC－EC＝EF－EC，即BE=CF，故正确，不符合题意；‎ C、△ABC≌△DEF，则AC=DF成立，故正确，不符合题意；‎ D、BE=EC不能成立，故错误，符合题意，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.‎ ‎2．下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）‎ A．周长相等的两个等边三角形 B．三个内角分别相等的两个三角形 C．两条边和其中一个角相等的两个三角形 D．面积相等的两个等腰三角形 41‎ ‎【答案】A ‎【解析】依据全等三角形的概念即可做出选择.‎ ‎【详解】解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；‎ B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；‎ C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；‎ D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；‎ 答案为：A.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.‎ ‎3．如图，△ACB≌△A'C'B'，∠ACB=70°,∠ACB'=100°,则∠BCA'的度数为(   )‎ A．30° B．35° C．40° D．50°‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．‎ ‎【详解】解：∵ △ACB≌△A'C'B'， ∠ACB=70°，‎ ‎∴ ∠ACB=∠A´CB´=70°，‎ 又∵ ∠ACB'=100°，‎ ‎∴ ∠BCB'=∠ACB' -∠ACB=100°-70°=30°，‎ ‎∴∠BCA´=∠B´CA´-∠B´CB=70°-30°=40°.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．‎ 41‎ ‎4．（2019·丹东市第十七中学初一期中）下列语句：错误的个数是（ ）‎ ‎①面积相等的两个三角形全等； ‎ ‎②两个等边三角形一定是全等图形；‎ ‎③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同；‎ ‎ ④边数相等的两个多边形形全等 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据能够完全重合的两个图形叫做全等形即可作出判断．‎ ‎【详解】‎ 解：①面积相等的两个三角形不一定全等，故此说法错误；‎ ‎②两个等边三角形一定是相似图形，但不一定全等，故此说法错误；‎ ‎③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，符合全等形的定义，正确；‎ ‎④边数相同的图形不一定能互相重合，故此说法错误；‎ 综上可得错误的说法有①②④共3个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全等形的概念，属于基础题，掌握全等形的定义是关键．‎ ‎5．（2019·哈尔滨风华中学初一期中）如图，△ABO≌△DCO，∠D=80°，∠DOC=70°，则∠B=( )．‎ 41‎ A．35° B．30° C．25° D．20°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全等三角形的性质得到对应角相等，再根据对顶角相等和三角形内角和为180°，即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为△ABO≌△DCO，∠D=80°，‎ 所以∠D=∠A=80°，‎ 由于∠DOC=70°，∠DOC是∠AOB的对顶角，‎ 所以∠DOC=∠AOB =70°，‎ 由于三角形内角和为180°.‎ 则∠B=180°-∠AOB-∠A=30°.‎ 故选择B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全等三角形的性质，解题的关键是知道两个全等三角形的对应角相等.‎ ‎6．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（　　）‎ 41‎ A．PQ B．MO C．PA D．MQ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵△PQO≌△NMO，‎ ‎∴PQ=MN，‎ ‎∴要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．‎ ‎7．（2019·山东省临沂实验中学初二期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠BAC＝75°，∠E＝40°，则∠B的度数为（　　）‎ A．75° B．40° C．65° D．115°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 41‎ ‎【分析】‎ 根据全等三角形的性质得出∠C=∠E=40‎°‎，根据三角形的内角和定理求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵△ABC≌△ADE,∠E=40‎°‎，‎ ‎∴∠C=∠E=40‎°‎，‎ ‎∵∠BAC=75‎°‎，‎ ‎∴∠B=180‎°‎−∠BAC−∠C=65‎°‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全等三角形的性质.‎ ‎8．下列说法中：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长相等；周长相等的两个三角形全等；全等三角形的面积相等；面积相等的两个三角形全等,正确说法有（ ）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等，根据以上知识点逐个判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：全等三角形的对应边相等；正确.‎ 全等三角形的对应角相等；正确.‎ 全等三角形的周长相等；正确.‎ 41‎ 周长相等的两个三角形全等；错误.‎ 全等三角形的面积相等；正确.‎ 面积相等的两个三角形全等；错误 正确的说法有4个，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记性质是解题的关键．‎ ‎9．（2019·中国科技大学附属中学初二期中）如图，‎△ABC≌‎△ADE，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，那么DE的长是‎(‎　　‎‎)‎ A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全等三角形的对应边相等解答即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎△ABC≌‎△ADE，‎ ‎∴DE=BC=7cm，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应边是解题的关键．‎ 41‎ ‎10．（2019·甘肃初二期末）下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A．∵两个图案的形状不形同，故不全等；‎ B．∵两个图案的大小不相等，故不全等；‎ C．∵两个图案的形状不形同，故不全等；‎ D．∵两个图案的形状形同，大小相等，故全等；‎ 提升篇 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·丹东市第十七中学初一期中）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°,∠ABC=70°，则∠BDC=______° ‎ ‎【答案】65‎ ‎【解析】根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，∠ABD=∠CBD，再求出∠CBD，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．‎ ‎【详解】解：∵△ABD≌△CBD，‎ ‎∴∠C=∠A=80°，∠ABD=∠CBD，‎ ‎∵∠ABC=70°，‎ 41‎ ‎∴∠CBD=‎1‎‎2‎∠ABC=‎1‎‎2‎×70°=35°，‎ 在△BCD中，∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-80°-35°=65°．‎ 故答案为：65．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎12．（2019·腾冲县第八中学初二期中）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=8，AC=3，则BE的值为______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】根据△ABC≌△ADE，得到AE=AC，由AB=8，AC=3，根据BE=AB-AE即可解答．‎ ‎【详解】∵△ABC≌△ADE，‎ ‎∴AE=AC，‎ ‎∵AB=8，AC=3，‎ ‎∴BE=AB-AE=AB-AC=8-3=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．‎ ‎13．（2019·东台市三仓镇中学初二期中）一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y=________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解.‎ ‎【详解】解：∵两个三角形全等，‎ 41‎ ‎∴x=4，y=5，‎ ‎∴x+y=4+5=9．‎ 故答案为：9.‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键.‎ ‎14．（2019·哈尔滨风华中学初一期中）如图，△ABC≌△DEF，BE=7，AD=3，AB=_____.‎ ‎【答案】5；‎ ‎【解析】先根据全等三角形的性质AB=DE，再结合题意得DB= AE，则由BE=7，AD=3，‎ 可得答案.‎ ‎【详解】因为△ABC≌△DEF，‎ 所以AB=DE，‎ 则DB=AB-DA，AE=DE-AE，‎ 则DB= AE，‎ 由BE=7，AD=3，‎ 可得AE===2，‎ 则AB= BE-AE=5.‎ ‎【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得出DB= AE.‎ ‎15．（2019·江苏泗阳县实验初级中学初二期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为______‎ ‎【答案】12‎ 41‎ ‎【解析】利用全等三角形的性质即可解决问题．‎ ‎【详解】∵△ABC≌△DEF，∴△ABC与△DEF的周长相等．‎ ‎∵△ABC的周长为12，∴△DEF的周长为12．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的性质，记住全等三角形的周长相等是解决问题的关键．‎ 三、解答题（共1小题）‎ ‎16．（2019·丽水市第四中学初二期中）如图，△ABC≌△DEF，∠A=33°，∠E=57°，CE=5cm．‎ ‎（1）求线段BF的长；‎ ‎（2）试判断DF与BE的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】(1)5cm;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)根据全等三角形的性质得出BC=EF，求出EC=BF即可；(2) 根据全等三角形的性质可得∠A=∠D=33°，根据三角形内角和定理求出∠DFE的度数，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎(1)∵△ABC≌‎△DEF，‎ ‎∴BC=EF‎，‎ ‎∴BC+CF=EF+CF‎，‎ 即BF=CE=5cm；‎ ‎(2)∵△ABC‎≌‎△DEF，‎∠A=‎‎33‎‎∘‎，‎ ‎∴∠A=∠D=‎‎33‎‎∘‎‎，‎ ‎∵∠D+∠E+∠DFE=‎‎180‎‎∘‎‎，‎∠E=‎‎57‎‎∘‎，‎ 41‎ ‎∴∠DFE=‎180‎‎∘‎-‎57‎‎∘‎-‎33‎‎∘‎=‎‎90‎‎∘‎‎，‎ ‎∴DF⊥BE‎．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键． ‎ 41‎ 第十二章 全等三角形 第二节 三角形全等的判定 一、单选题（共10小题）‎ ‎1．如图，已知，要说明，还需从下列条件①，②，③，④中选一个，则正确的选法个数是　　‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】欲使△ABD≌△ACD，已知∠1=∠2，AD公共，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.‎ ‎【详解】解：∵∠1=∠2，AD公共，‎ ‎①如添加∠ADB=∠ADC，利用ASA即可证明△ABD≌△ACD；‎ ‎②如添加∠B=∠C，利用AAS即可证明△ABD≌△ACD；‎ ‎③如添加DB=DC，因为SSA，不能证明△ABD≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；‎ ‎④如添加AB=AC，利用SAS即可证明△ABD≌△ACD；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.‎ ‎2．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC，连接AO，则图中一共有（　　）对全等三角形．‎ 41‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】共有四对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．‎ ‎【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，OB=OC， ‎ ‎∴∠ADO=∠AEO=90°，∠DOB=∠EOC， ‎ ‎∵BO=CO， ‎ ‎∴△DOB≌△EOC； ‎ ‎∴OD=OE，BD=CE； ‎ ‎∵OA=OA，OD=OE，∠ADO=∠AEO=90°， ‎ ‎∴△ADO≌△AEO； ‎ ‎∴AD=AE，∠DAO=∠EAO； ‎ ‎∵AB=AC，∠DAO=∠EAO，OA=OA， ‎ ‎∴△ABO≌△ACO； ‎ ‎∵AD=AE，AC=AB，∠BAE=∠CAD， ‎ ‎∴△ADC≌△ABE（SSS）． ‎ 所以共有四对全等三角形． ‎ 故选：C．‎ 41‎ ‎【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． ‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎3．点D、E分别在级段AB、AC上，CD与BE相交于点O，已知AB＝AC，添加以下哪一个条件不能判定△ABE≌△ACD（ ）‎ A．∠B＝∠C B．∠BEA＝∠CDA C．BE＝CD D．CE＝BD ‎【答案】C ‎【解析】把选项代入，可知A、B、D都符合全等三角形的判定，只有C项不符合.‎ ‎【详解】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；‎ 添加B选项以后是AAS，判定两个三角形全等；‎ 添加C是SSA，无法判定这两个三角形全等；‎ 添加D因为AB=AC，CE＝BD，所以AD=AE，又因为∠A=∠A，AB=AC所以，这两个三角形全等，SAS. ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查全等三角形的判定，要掌握ASA，SSS，SAS，AAS是解题的关键.‎ ‎4．如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，AD=CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）‎ A． B．‎ 41‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先根据等式的性质可得，然后利用SSS、SAS、ASA、AAS进行分析即可．‎ ‎【详解】解：∵AD=CF， ‎ ‎∴AD+CD=CF+DC， ‎ ‎∴AC=DF， ‎ A、添加BC=EF可利用SSS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； ‎ B、添加∠A=∠EDF可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； ‎ C、添加AB∥DE可证出∠A=∠EDC，可利用SAS定理判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意； ‎ D、添加∠BCA=∠EDF不能判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意； ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎5．根据下列图中所给定的条件，其中三角形全等的是（ ）‎ ‎ ‎ A．①② B．②③ C．①④ D．①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】四个三角形均给出了两个边和一个角，根据三角形判定条件,即可正确确定答案.‎ ‎【详解】解：四个三角形均给出了两个边和一个角且分别为3,3.5和65。‎ 41‎ ‎；①中两个边和一个角的关系为SAS；②中两个边和一个角的关系为ASS；③中两个边和一个角的关系为SSA；④中两个边和一个角的关系为SAS；由SSA不能判定三角形全等；故①④全等，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，需要注意的是SSA不能判定三角形全等。‎ ‎6．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是( )‎ A．AB=DC B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AE=BF ‎【答案】A ‎【解析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．‎ ‎【详解】解：条件是AB=DC，‎ 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，‎ ‎∴∠CFD=∠AEB=90°，‎ 在Rt△ABE和Rt△DCF中，‎ ‎ ，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．‎ ‎7．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（　　）‎ 41‎ A．SSS B．SAS C．AAS D．HL ‎【答案】A ‎【解析】根据SSS证明三角形全等即可．‎ ‎【详解】由作图可知，OD=OE，DC=EC，‎ 在△ODC与△OEC中 ‎ ，‎ ‎∴△ODC≌△OEC（SSS），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答．‎ ‎8．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．在证明△MOC≌△NOC时运用的判定定理是( )‎ A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS ‎【答案】A 41‎ ‎【解析】根据题意即可判断是用SSS判定全等.‎ ‎【详解】∵OM=ON, 尺子两边刻度相同，OC为公共边，故用SSS判定△MOC≌△NOC，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.‎ ‎9．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于点.若AB=AC，则添加下列条件仍不能判定的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA对各选项添加的条件，逐一证明即可．‎ ‎【详解】解：∵AB=AC，∠A为公共角，‎ A、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；‎ B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；‎ C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；‎ D、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理 ‎10．在下列条件下，不能判定≌　　‎ 41‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据全等三角形的判定SSS，AAS，ASA，SAS判断即可．‎ ‎【详解】解：A、若AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，根据SAS推出△ABC≌△AB′C′，故本选项正确；‎ B、根据ASA即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误；‎ C、根据AAS即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误；‎ D、根据SSS即可推出△ABC≌△AB′C′，故本选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的理解，解题的关键是能熟练地运用判定定理进行推理．‎ 提升篇 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·湖南中考真题）如图，已知，请你添加一个条件，使得，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）‎ ‎【答案】或或.‎ ‎【解析】根据图形可知证明 41‎ 已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．‎ ‎【详解】∵ ，，‎ ‎∴可以添加 ，此时满足SAS；‎ 添加条件 ，此时满足ASA；‎ 添加条件，此时满足AAS，‎ 故答案为：或或；‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．‎ ‎12．（2018·安徽朱仙庄矿中学初一期中）如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，要使△ABC≌△ADE，还需要添加的条件是______（只需添加一个条件即可）‎ ‎【答案】AE=AC（答案不唯一）‎ ‎【解析】根据全等三角形的判定定理即可．‎ ‎【详解】‎ AE=AC；‎ 理由是：∵在△ABC和△ADE中 ‎ ，‎ ‎∴△ABC≌△ADE（SAS），‎ 故答案是：AE=AC（答案不唯一）．‎ 41‎ ‎【点睛】考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．‎ ‎13．（2018·廉江市实验学校初二期中）如图,点D、E分别在线段AB、AC上,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,则需添加的一个条件是____.‎ ‎【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB （这四个条件中一个）‎ ‎【解析】要使△ABE≌△ACD，已知AE=AD，∠A=∠A，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．‎ ‎【详解】∵∠A=∠A，AE=AD，‎ 添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA），‎ ‎∴△ABE≌△ACD．‎ 故填：AB=AC或∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或∠BDC=∠CEB （这四个条件中一个）．‎ ‎【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．‎ ‎14．（2018·四川中考真题）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是___．（只需写一个，不添加辅助线）‎ ‎【答案】∠ABD=∠CBD（或AD=CD）‎ ‎【解析】由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个“S 41‎ ‎”了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．‎ ‎【详解】‎ 解：答案不唯一．‎ ‎①∠ABD=∠CBD．‎ 在△ABD和△CBD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABD≌△CBD（SAS）；‎ ‎②AD=CD．‎ 在△ABD和△CBD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABD≌△CBD（SSS）．‎ 故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．‎ ‎【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．‎ ‎15．（2019·武汉市育才中学初二期中）如图，四边形ABCD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，点E为边BC上一点，连接AE、DE，AE=DE，AE⊥DE，若AB=1，CD=3，则线段BC=_____‎ ‎【答案】‎ 41‎ ‎【解析】根据等角的余角相等求出∠1=∠3，再利用“角角边”证明△ABE和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，BE=CD，再根据BC=BE+CE代入数据计算即可得解．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎∵AE⊥DE，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，‎ 又∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 在△ABE和△ECD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ECD（AAS），‎ ‎∴AB=CE=1，BE=CD=3，‎ ‎∴BC=BE+CE=3+1=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等角的余角相等求出三角形全等的条件是解题的关键，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．‎ 41‎ 三、解答题（共3小题）‎ ‎16．（2019·湖北中考真题）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的度数．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；‎ ‎（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．‎ ‎【详解】（1）证明：平分，‎ ‎，‎ 在和中，，‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ 平分，‎ ‎，‎ 在中，．‎ 41‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．‎ ‎17．（2019·湖北中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴和是直角三角形，‎ 在和中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．‎ ‎18．（2019·湖南中考真题）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．‎ 41‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．‎ ‎【详解】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，‎ 又∵∠D＝110°，‎ ‎∴∠ACB＝∠D，‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴∠CAB＝∠E，‎ ‎∴在△ABC和△EAD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△EAD(AAS)．‎ ‎【点睛】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可． ‎ 41‎ 第十二章 全等三角形 第三节 角的平分线的性质 一、单选题（共10小题）‎ ‎1．（2019·湖南中考真题）如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【详解】如图，过点D作于E，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，BD平分，‎ ‎，‎ 即点D到AB的距离为2，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.‎ ‎2．（2019·成都市武侯区西蜀实验学校初一期末）如图，在中，,,是的一条角平分线.若，则的面积为( )‎ 41‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．‎ ‎【详解】解：如图，作DE⊥AB于E，‎ ‎∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，‎ ‎∴DE=CD=3．‎ ‎∴△ABD的面积为×3×10=15．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握是解题的关键.‎ ‎3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△EDB的周长是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】D 41‎ ‎【解析】先证出Rt△ACD≌Rt△AED，推出AE=AC，△DBE的周长=DE+EB+DE=AB，即可求解．‎ ‎【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，‎ ‎∴∠C=∠AED=90°，CD=DE，‎ 在Rt△ACD和Rt△AED中 ‎∴Rt△ACD≌Rt△AED，‎ ‎∴AE=AC，‎ ‎∴△DBE的周长 ‎=DE+EB+DE ‎=CD+DB+EB ‎=BC+EB ‎=AC+EB ‎=AE+EB ‎=AB ‎=10，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出AE=AC，CD=DE是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ ‎4．如图，是的平分线，,交于点,交于点。若,则的度数是（ ）‎ 41‎ A．25° B．27.5° C．22.5° D．55°‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,可求∠AOB=55°,由是的平分线，可求∠BOD= 27.5°,然后根据两直线平行内错角相等可得∠CDO=27.5°.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ ‎∴∠AOB=,‎ ‎∵是的平分线，‎ ‎∴∠BOD=∠AOB= 27.5°,‎ ‎∴∠CDO=27.5°.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了角平分线的定义.‎ ‎5．如图，直线、相交于点,,平分若，则的度数是（ ）‎ 41‎ A．63° B．62° C．56° D．59°‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先根据，得到∠DGE=90°，然后求出∠BGD的度数，根据平角定义求得∠AGD的度数，最后根据角平分线定义即可解答.‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴∠DGE=90°，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠BGD=62°, ‎ ‎∴∠AGD=118°.‎ ‎∵平分,‎ ‎∴=∠AGD=59°.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题综合考查了直角，平角的定义，角平分线的定义以及角的运算，熟练掌握相关定义是解答此类题目的基础.根据题意，求得∠BGD的度数是解题的关键.‎ ‎6．如图，AD是∠EAC的平分线，，∠B=30°，则∠C为　　‎ A．30° B．60° C．80° D．120°‎ ‎【答案】A ‎【解析】由AD//BC，∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠EAC的度数，得出∠EAC=∠B+∠C，代入数据即可得出结 41‎ ‎【详解】解：∵AD//BC，∠B=30°，‎ ‎∴∠EAD=∠B=30°.‎ 又∵AD是∠EAC的平分线，‎ ‎∴∠EAC=2∠EAD=60°.‎ ‎∵∠EAC=∠B+∠C，‎ ‎∴∠C=∠EAC-∠B=30°.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是求出∠EAC=60°.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键.‎ ‎7．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOE，∠BOC=50°，则∠EOB=（ ）‎ A．50° B．60° C．70° D．80°‎ ‎【答案】D ‎【解析】由对顶角的性质求出∠AOD，根据角平分线的性质得到∠AOE，然后根据邻补角的性质求出∠EOB.‎ ‎【详解】解：∵∠BOC=50°，∴∠AOD=50°，‎ ‎∴∠AOE=100°，∠EOB=180°-100°=80°，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义以及角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．‎ 41‎ ‎8．（2018·广东省湛江市第二十三中学初一期末）已知射线OC在∠AOB内部，下列说法不能确定射线OC是∠AOB的平分线的是( )‎ A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC ‎【答案】A ‎【解析】根据角平分线的定义（从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线）即可求解．‎ ‎【详解】OC在的时部时都有，但不能说明OC是的平分线，故选项A错误；‎ 当时，OC在的内部时，OC是的平分线，故选项B正确；‎ 当时，OC在的内部时，OC是的平分线，故选项C正确；‎ 当时，OC在的内部时，OC是的平分线，故选项D正确；‎ 故答案选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查角平分线的定义，正确理解角平分线的定义是解题的关键．‎ ‎9．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）‎ A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 ‎【答案】C ‎【解析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．‎ ‎【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，‎ 41‎ ‎∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为D．‎ ‎10．（2018·湖北省十堰市东风教育分局第四中学初一期末）如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠AOF＝∠AOB＝90°，下列说法正确的是（　　）‎ A．射线OC是∠DOF的平分线 B．∠4是∠AOC的余角 C．∠2的余角是∠EOF D．∠3的补角是∠BOD ‎【答案】B ‎【解析】根据角平分线的定义和余角的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵∠AOF∠AOB=90°，∴∠AOC+∠3=90°．‎ ‎∵∠3=∠4，∴∠AOC+∠4=90°，∴∠4是∠AOC的余角．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．‎ 提升篇 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·湖北中考真题）如图，直线，直线分别与相交于点、点，平分，已知，则的度数为_____．‎ 41‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DAC的度数．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ 又平分，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．解题关键在于，两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎12．（2018·四川中考真题）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.‎ ‎【详解】∵DE是AC的垂直平分线,‎ ‎∴EA=EC，‎ ‎∠EAC=∠C,‎ 41‎ ‎∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，‎ ‎∵AF平分∠BAC，‎ ‎∴∠FAB=∠FAC.‎ 在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，‎ ‎∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，‎ ‎∴∠C=∠EAC=24°，‎ 故本题正确答案为24.‎ ‎【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.‎ ‎13．（2019·乐清育英学校初中分校初一期中）如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，则∠EDC的度数为___．‎ ‎【答案】40°.‎ ‎【解析】根据平行线的性质求出∠ACB，根据角平分线定义求出∠BCD，再根据平行线的性质即可求解.‎ ‎【详解】∵DE∥BC，∠AED=80°，‎ ‎∴∠ACB=∠AED=80°，‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠BCD=‎1‎‎2‎∠ACB=40°，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠EDC=∠BCD=40°‎ 故答案为：40°‎ 41‎ ‎【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．‎ ‎14．（2018·北京师大附中初二期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．‎ ‎【答案】8．‎ ‎【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE，然后求出△ADE的周长=AB．‎ ‎【详解】∵∠C=90∘，BD平分∠CBA，DE⊥AB，‎ ‎∴CD=DE，‎ 在Rt△BCD和Rt△BED中，‎ ‎∵BD=BDCD=ED ‎ ‎∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，‎ ‎∴BC=BE，‎ ‎∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，‎ ‎∵△ADE的周长为8cm，‎ ‎∴AB=8cm.‎ 故答案为：8cm.‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握这两个知识点是本题解题的关键.‎ ‎15．（2019·哈尔滨风华中学初一期中）如图，CE平分∠ACD，∠A=40°，∠B=30°，∠D=104°，则∠BEC=____.‎ 41‎ ‎【答案】57°；‎ ‎【解析】根据四边形外角的性质和角平分线的性质，再结合题意，即可得到答案.‎ ‎【详解】根据四边形外角的性质可得∠D =∠A+∠B+∠DCA，∠D =∠BEC+∠B+∠ECD，‎ 则∠DCA =∠D-（∠A+∠B）=34°，‎ 因为CE平分∠ACD，‎ 所以∠ECD=，‎ 所以∠BEC=∠D-（∠B+∠ECD）=57°.‎ 故答案为57°.‎ ‎【点睛】本题考查四边形外角的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握四边形外角的性质和角平分线的性质.‎ 三、解答题（共2小题）‎ ‎16．（2018·河北中考模拟）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ 41‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可证△ABD≌△CBD（SAS），即可得BD是∠ADC的平分线，由角平分线的性质可得PM=PN.‎ 试题解析：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），‎ ‎∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），‎ BD=BD（公共边），‎ ‎∴△ABD≌△CBD（SAS），‎ ‎∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；‎ 即BD是∠ADC的平分线 又∵PM⊥AD，PN⊥CD，‎ ‎∴PM=PN（角平分线的性质）．‎ 考点：三角形全等的判定和性质，角平分线的性质.‎ ‎17．（2019·四川省巴中中学初二期中）如图，四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，若AD＝4，AB＝6，求CB的长。‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】过点E作EF⊥AB于点F，根据角平分线的性质可知DE=EF，EF=CE，根据AAS定理可得△ADE≌△AFE，故AD=AF=4，求出BF的长，同理可得△BCE≌△BFE，故可得出BC=BF，由此得出结论．‎ ‎【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F，‎ 41‎ ‎∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，‎ ‎∴∠DAE=∠FAE，∠CBE=∠FBE，‎ 在△ADE与△AEF中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△ADE≌△AFE（AAS），‎ ‎∴AD＝AF＝4， ‎ ‎∴BF＝AB﹣AF＝6﹣4＝2．‎ 同理可得△BCE≌△BFE， ‎ ‎∴BC＝BF＝2．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． ‎ 41‎