2020八年级数学下册 专题突破讲练 解惑函数中的方案问题试题 （新版）青岛版 9页

解惑函数中的方案问题 方案设计基本类型 ‎1. 利用题目中的不等式，根据取值范围直接设计方案并利用函数性质求最大值：‎ 如：某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务。要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩共5万只，其中A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。在完成任务的前提下，你如何安排生产A型和B型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？‎ 答案：安排生产A型和B型口罩的只数分别为4.2万只和0.8万只，最大利润为2.34万元。‎ ‎2. 题目中没有明显的不等式，利用所隐含条件求方案：‎ 如：某小型企业获得授权生产甲、乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：‎ A种材料（m2）‎ B种材料（m2）‎ 所获利润（元）‎ 每个甲种吉祥物 ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎10‎ 每个乙种吉祥物 ‎0.6‎ ‎0.2‎ ‎20‎ 该企业现有A种材料‎900m2‎，B种材料‎850m2‎，用这两种材料生产甲、乙两种吉祥物共2000个。设生产甲种吉祥物x个，生产这两种吉祥物所获总利润为y元。该企业如何安排甲、乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润，最大利润是多少？‎ 生产甲种吉祥物1000个，乙种吉祥物1000个，所获利润最大，最大利润为30000元．‎ 总结：‎ ‎（1）利用不等式组求出取值范围，从中寻找整数值，从而设计出方案；‎ ‎（2）利用函数增减性求出函数最值，在方案再设计中，是利用二元一次方程重新找出符合条件的整数解。‎ 例题 为庆祝“六•一”国际儿童节，鸡冠区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（　　）‎ A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 解析：可设租用A型号客车x辆，B型号客车y辆，根据共360人参加公园游园活动可列方程，再根据车辆数为非负整数求解即可。‎ 答案：设租用A型号客车x辆，B型号客车y辆，则45x＋30y＝360，即3x＋2y＝24，当x＝0时，y＝12，符合题意；当x＝2时，y＝9，符合题意；当x＝4时，y＝6，符合题意；当x＝6时，y＝3，符合题意；当x＝8时，y＝0，符合题意。故师生一次性全部到达公园的租车方案有5种。故选C。‎ 点拨：‎ 9‎ 考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系。注意本题的条件“每辆车必须满载”。‎ 利用函数系数讨论方案最值问题 函数中讨论方案最值问题，是考查学生对一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质。‎ 例题 为了迎接“五•一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元。‎ ‎（1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件？‎ ‎（2）该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价－进价）不少于26700元，且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案？‎ ‎（3）在（2）的条件下，专卖店准备在‎5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？‎ 解析：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解；‎ ‎（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润＝售价－进价）不少于26700元，且不超过26800元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数即可求解；‎ ‎（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案。‎ 答案：解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据题意得：180x＋150（200－x）＝32400，解得：x＝80，200－x＝200－80＝120（件），则购进甲、乙两种服装分别为80件、120件；‎ ‎（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：，解得：70≤y≤80，又∵y是正整数，∴共有11种方案；‎ ‎（3）设总利润为W元，W＝（140－a）y＋130（200－y）即W＝（10－a）y＋26000。①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，∴当y＝80时，W有最大值，即此时购进甲种服装80件，乙种服装120件；②当a＝10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小。当y＝70时，W有最大值，即此时购进甲种服装70件，乙种服装130件。‎ 方案设计再设计问题 此类型题主要考查不等式组的应用以及二元一次方程的应用以及最佳方案问题，解题关键是找出不等式关系。‎ 例题 博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：‎ 甲种图书 乙种图书 9‎ 进价（元/本）‎ ‎16‎ ‎28‎ 售价（元/本）‎ ‎26‎ ‎40‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）有哪几种进书方案？‎ ‎（2）在这批图书全部售出的条件下，（1）中的哪种方案利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）博雅书店计划用（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？请你直接写出答案。‎ 解析：（1）利用购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，结合表格中数据得出不等式组，求出即可；（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，求出即可；（3）根据题意得出，尽可能多买排球才能购买数量最多，故当买一个篮球时，求出可以购买排球个数，正好是整数，符合题目要求。‎ 答案：解：（1）设购进甲种图书x本，则购进乙书（100－x）本，根据题意得出：，解得：48≤x≤50。故有3种购书方案：甲种书：48本，乙种书：52本；甲种书：49本，乙种书：51本；甲种书：50本，乙种书：50本；‎ ‎（2）根据乙种书利润较高，故乙种书购进越多利润最大，故购进甲种书：48本，乙种书：52本利润最大为：48×（26－16）＋52×（40－28）＝1104（元）；‎ ‎（3）设购买a个排球，b个篮球。根据题意得出：‎72a＋96b＝1104，尽可能多买排球才能使购买数量最多，故当买一个篮球时，可以购买排球：（1104－96）÷72＝14（个）。答：最多可以购买排球和篮球共15个。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 春节期间，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示。已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时，100千米/小时，请你选择一种交通工具（　　）‎ 运输 工具 运输单位 ‎（元/吨•千米）‎ 冷藏单位 ‎（元/吨•小时）‎ 过路费（元）‎ 装卸及管理费（元）‎ 汽车 ‎2‎ ‎5‎ ‎200‎ ‎0‎ 火车 ‎1.8‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1600‎ A. 当运输货物重量为60吨，选择汽车 B. 当运输货物重量大于50吨，选择汽车 C. 当运输货物重量小于50吨，选择火车 D. 当运输货物重量大于50吨，选择火车 ‎2. ‎ 9‎ ‎6月份以来，猪肉价格一路上涨。为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元。若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（　　）‎ A. 8000，13200 B. 9000，‎10000 ‎ C. 10000，13200 D. 13200，15400‎ ‎*3. 教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管。课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的。两个放水管同时打开时，他们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：①当放水时间10分钟时饮水机的存水量‎9.8升；②饮水机里的水全部放完，需要20分钟；③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟；④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水；以上结论正确的有（　　）个。‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎**4. 某中学为提升学生的课外阅读能力，拓展学生的知识面，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个。已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，所有组建方案费用中最低费用是多少元（　　）‎ A. 22320 B. ‎22610 ‎ C. 22900 D. 22300‎ ‎**5. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；‎ B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）。若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。（　　）‎ A. B超市购买12副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球 B. B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买120个羽毛球 ‎ C. B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球 D. 无法确定 二、填空题 ‎*6. （齐齐哈尔）某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有 　　　　　　种购买方案。‎ 9‎ ‎*7. 我市某学校有两名教师带一名学生准备参加旅行团外出旅游，东坡旅行社告知“两名教师买全票，学生按半价优惠”；赤壁旅行社告知：“三人旅游可按团体票计价，即每人均按全价的收费”。若这两家旅行社每人的原票价相同，那么优惠条件较好的旅行社是_____________。‎ ‎**8.（荆门）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案。‎ 人均住房面积（平方米）‎ 单价（万元/平方米）‎ 不超过30（平方米）‎ ‎0.3‎ 超过30平方米不超过m（平方米）（45≤m≤60）‎ ‎0.5‎ 超过m平方米部分 ‎0.7‎ 根据这个购房方案：‎ ‎（1）若某三口之家欲购买‎120平方米的商品房，求其应缴纳的房款是____________；‎ ‎（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式　　　　　　　　　　；‎ ‎（3）若该家庭购买商品房的人均面积为‎50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围　　　　　　　　；‎ ‎**9. （绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。‎ 考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货　　　　　　。‎ 三、解答题 ‎*10. （遂宁）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费。另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。‎ ‎（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；‎ ‎（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由。‎ ‎**11. （齐齐哈尔）某小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题。已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元。‎ ‎（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？‎ ‎（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？‎ 9‎ ‎（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元。在（2）的条件下，新建停车位全部租出。若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？‎ ‎**12. （黑龙江）广西第一条高速铁路－南宁至钦州铁路扩能改造工程正式进入铺轨阶段。现要把248吨物资从某地运往南宁、钦州两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往南宁、钦州两地的运费如下表：‎ 运往地 车型 南宁（元/辆）‎ 钦州（元/辆）‎ 大货车 ‎620‎ ‎700‎ 小货车 ‎400‎ ‎550‎ ‎（1）求这两种货车各用多少辆？‎ ‎（2）如果安排9辆货车前往南宁，其余货车前往钦州，设前往南宁的大货车为a辆，前往南宁、钦州两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若运往南宁的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。‎ 9‎ ‎1. D 解析：设运输x吨货物，根据题意，汽车运费：y＝2x×120＋5x×＋200＝250x＋200，火车运费：y＝1.8x×120＋5x×＋1600＝222x＋1600，①250x＋200＝222x＋1600，解得x＝50，∴运输货物为50吨时，选择汽车与火车一样；②250x＋200＜222x＋1600，解得x＜50，∴运输货物小于50吨时，选择汽车运输；③250x＋200＞222x＋1600，解得x＞50，∴运输货物大于50吨时，选择火车运输。综上所述，D选项符合。故选D。‎ ‎2. C 解析：由题意可知A、B、C三市派往D市的运输车的辆数分别是x、x、（18－2x）辆，派往E市的运输车的辆数为10－x，10－x，2x－10，则总运费W＝200x＋300x＋400（18－2x）＋800（10－x）＋700（10－x）＋500（2x－10）＝－800x＋17200。依题意有0≤x≤10　　0≤18−2x≤8，‎ 解得：5≤x≤9，当x＝5时，W最大＝13200元，当x＝9时，W最小＝10000元。故选C。 ‎ ‎3. C 解析：存水量y与放水时间x的解析式为y＝kx＋b，把（2，17）、（12，8）代入y＝kx＋b得，，解得：，则解析式为：y＝－x＋；①当x＝10时，y＝‎9.8升），故该项正确；②当y＝0时，x＝＞20，故该项错误；③由图可知，前2分钟排水量为‎1升，则每个学生接水量是‎0.25升，则前（22－4）个同学需接水0.25×18＝‎4.5升，存水量y＝18－1－4.5＝‎12.5升，∵两个放水管同时打开时，他们每分钟的流量为：＝0.9（升），∴所用时间＝2＋＝7分钟，故该项正确；④当x＝10时，按照这种方法接水则前2分钟接4个同学，还剩8分钟，这8分钟饮水机的流水量为：8×0.9＝7.2（升），则8分钟接水的人数为：＝28.8，则课间10分钟内班级中能及时接完水的人数一共有：4＋28.8＝32.8。故课间10分钟最多有32人及时接完水，故该项正确；则正确的有①③④共三个。故选C。‎ ‎4. A 解析：（1）设组建中型图书角个，则组建小型图书角为（30－）个。由题意得 ，解得。由于只能取正整数，的取值是18，19，20。当＝18时，30－＝12；当＝19时，30－＝11；当＝20时，30－＝10。故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个。方案一的费用是：86018＋57012＝22320（元）；方案二的费用是：860×19＋57011＝22610（元）；方案三的费用是：86020＋57010＝22900（元）。故方案一的费用最低，最低费用是22320元。故选A。‎ ‎5. C 解析：由题意，得yA＝（10×30＋3×10x）×0.9＝27x＋270；yB＝10×30＋3（10x－20）＝30x＋240；由题意知x＝15＞10，∴选择A超市，yA 9‎ ‎＝27×15＋270＝675（元），先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：（10×15－20）×3×0.9＝351（元），共需要费用10×30＋351＝651（元）。∵651＜675，∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球。故选C。‎ ‎6. 两 解析：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，由题意得：20x＋35y＝365，解得x＝，∵x，y必须为正整数，∴＞0，即0＜y＜，∴当y＝3时，x＝13当y＝7时，x＝6。所以有两种方案。‎ ‎7. 赤壁 解析：设旅行社的原票价为x，则根据题意，如果参加东坡旅行社的费用是y1＝2x＋0.5x＝2.5x，如果参加赤壁旅行社的费用是y2＝3x×＝2.4x，∵y1＞y2，即优惠条件较好的旅行社是赤壁旅行社。故答案为：赤壁。‎ ‎8. （1）42万元；（2）y＝ （45≤m≤60），（3）45≤m＜50‎ 解析：（1）三口之家应缴购房款为0.3×90＋0.5×30＝42（万元）。（2）①当0≤x≤30时，y＝0.3×3x＝0.9x；②当30＜x≤m时，y＝0.9×30＋0.5×3×（x－30）＝1.5x－18；③当x＞m时，y＝‎1.5m－18＋0.7×3×（x－m）＝2.1x－18－‎0.6m。y＝ （45≤m≤60）‎ ‎（3）①当50≤m≤60时，y＝1.5×50－18＝57（舍去）；‎ ‎②当45≤m＜50时，y＝2.1×50－‎0.6m－18＝87－‎0.6m。‎ ‎∵57＜87－‎0.6m≤60，∴45≤m＜50。‎ 综合①、②得45≤m＜50。‎ ‎9. 应进入A型车34辆，B型车13辆 解析：设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得不等式组 2x≤≤2.8x，解得 12.5≤x≤15，自行车辆数为整数，所以13≤x≤15，销售利润W＝（700－500）×＋（1300－1000）x。整理得：W＝－100x＋12000，∵ W随着x的增大而减小，∴ 当x＝13时，销售利润W有最大值，此时，＝34，所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。‎ ‎10. 解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：y1＝0.7[120x＋100（2x－100）]＋2200＝224x－4800，y2＝0.8[100（3x－100）]＝240x－8000；（2）由题意，得 当y1＞y2时，即224x－4800＞240x－8000，解得：x＜200；‎ 当y1＝y2时，即224x－4800＝240x－8000，解得：x＝200；‎ 当y1＜y2时，即224x－4800＜240x－8000，解得：x＞200；‎ 即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算。‎ ‎11. 解：（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得：，解得 9‎ ‎。答：新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；‎ ‎﹙2﹚设新建m个地上停车位，则10＜‎0.1m＋0.4（50－m）≤11，解得 30≤m＜，因为m为正整数，所以m＝30或m＝31或m＝32或m＝33，对应的50－m＝20或50－m＝19或50－m＝18或50－m＝17，所以，有四种建造方案。‎ ‎（3）当地上停车位＝30时，地下＝20，30×100＋20×300＝9000。用掉3600，剩余5400。‎ ‎∵修建一个地上停车位的费用是1000，一个地下停车位是4000，∴5400不能凑成整数，所以不符合题意。‎ 同理得，当地上停车位是31、33时，均不能凑成整数。‎ 当地上停车位为32时，地下停车位为18，则32×100＋18×300＝8600，8600－3600＝5000，此时可凑成修建1个地上停车位和1个地下停车位，1000＋4000＝5000，∴是32和18。‎ 建造方案：建造32个地上、18个地下停车位。‎ ‎12. 解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（20－x）辆，根据题意得16x＋10（20－x）＝248，‎ 解得x＝8，∴20－x＝20－8＝12（辆）。答：大货车用8辆，小货车用12辆。‎ ‎（2）设运往南宁的大货车是a，那么运往钦州的大货车就应该是（8－a），运往南宁的小货车是（9－a），运往钦州的小货车是（4＋a），w＝‎620a＋700（8－a）＋400（9－a）＋550[12－（9－a）]＝‎70a＋10850，‎ ‎∴w＝‎70a＋10850（0≤a≤8且为整数）； ‎ ‎（3）‎16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8 且为整数。∵w＝‎70a＋10850，k＝70＞0，w随a的增大而增大，∴当a＝5时，W最小，最小值为：W＝70×5＋10850＝11200（元）。‎ 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往南宁；3辆大货车、8辆小货车前往钦州。最少运费为11200元。‎ 9‎