九年级数学下册第三章圆2圆的对称性第1课时课件北师大版 26页

2 圆的对称性 第 1 课时 1. 通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性 . 2. 运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理 . 3. 拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明 . 点在圆外 , 这个点到圆心的距离大于半径 点在圆上 , 点在圆内 , 这个点到圆心的距离等于半径 这个点到圆心的距离小于半径 A B C O 点与圆的位置关系 2. 它的对称轴是什么 ? 是 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 3. 你能找到多少条对称轴？ 它有无数条对称轴 . ● O 1. 圆是轴对称图形吗？ 1. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 . 大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧 ２ . 连接圆上任意两点的线段叫做弦 . 如：弦 AB ３ . 经过圆心的弦叫做直径 . 直径是弦，但弦不一定是直径； 半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半圆既不是劣弧，也不是优弧 . 弧、弦、直径 注意： A B O D C 圆的相关概念 如：优弧 ADB 记作 如：弧 AB 记作 ③AM=BM, AB 是⊙ O 的一条弦 . 作直径 CD, 使 CD⊥AB, 垂足为 M. 你能发现图中有哪些等量关系 ? 与同伴说说你的想法和理由 . ● O 小明发现图中有 : A B C D M└ ① CD 是直径 ②CD⊥AB 可推得 【 问题 】 连接 OA,OB, 则 OA=OB. ●O A B C D └ 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 , ∵OA=OB ， OM=OM ， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴ 点 A 和点 B 关于 CD 对称 . ∵⊙O 关于直径 CD 对称 , ∴ 当圆沿着直径 CD 对折时 , 点 A 与点 B 重合 , 理 由： M 垂直于 平分这条弦， 并且平分弦所对的弧 . 弦 的直径 在⊙ O 中，直径 CD⊥ 弦 AB ， ∴ AM = BM = AB ， 定理： ┗ 在⊙ O 中，直径 CD 平分弦 AB ∴ CD⊥AB 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 . 定理： 弦 （不是直径） 并且平分弦所对的弧 平分 的直径 垂直于弦， 结论： 1. 在⊙ O 中， OC 垂直于弦 AB ， AB = 8 ， OA = 5 ，则 AC= ， OC = . ┏ 5 8 4 3 2. 在⊙ O 中， OC 平分弦 AB ， AB = 16 ， OA = 10 ，则∠ OCA = ° ， OC = . 16 10 90 6 【 巩固练习 】 例 1. 如图，在⊙ O 中， CD 是直径， AB 是弦，且 CD⊥AB ，已知 CD = 20 ， CM = 4 ，求 AB. └ 【 例题 】 解： 连接 OA ， 在⊙ O 中，直径 CD⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形 . ∵ CD = 20 ， ∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在 Rt △OMA 中， AO = 10 ， OM = 6 ， 根据勾股定理，得： ∴ ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16. └ 例 2. 如图，两个圆都以点 O 为圆心，小圆的弦 CD 与大圆的弦 AB 在同一条直线上 . 你认为 AC 与 BD 的大小有什么关系？为什么？ G └ 解 : 作 OG⊥AB ， ∵AG=BG,CG=DG ， ∴AC=BD. 例 3. 如图 , 一条公路的转弯处是一段圆弧 ( 即图中 , 点 O 是 的圆心 ), 其中 CD=600m,E 是 上一点 , 且 OE⊥CD, 垂足为 F,EF=90m, 求这段弯路的半径 . └ 解 : 连接 OC. 1. 判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦 , 并且平分弦所对的两 条弧 . （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧 . （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦 . （ ） (4) 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ ） 对 错 错 对 【 跟踪训练 】 ● O ● M 2. 如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦 AB, 使 AB 过点 M. 并且 AM=BM. 解： 连接 OM, 过 M 作 AB⊥OM ， 交 ⊙ O 于 A ， B 两点 . A B 1. （上海 · 中考）如图， AB ， AC 都是圆 O 的弦， OM⊥AB ， ON⊥AC ，垂足分别为 M ， N ，如果 MN ＝ 3 ，那么 BC ＝ ________. 【 解析 】 由垂径定理得 AN=CN ， AM=BM ，所以 BC=2MN=6. 答案： 6 2. （芜湖 · 中考）如图所示，在 ⊙ O 内有折线 OABC ，其中 OA ＝ 8 ， AB ＝ 12 ， ∠ A ＝∠ B ＝ 60 ° ，则 BC 的长为（ ） A ． 19 B ． 16 C ． 18 D ． 20 答案 : D 3 ．（烟台 · 中考）如图，△ ABC 内接于⊙ O ， D 为线段 AB 的 中点，延长 OD 交⊙ O 于点 E ，连接 AE ， BE ，则下列五个结论 ① AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ 正确结论的个数是（ ） A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 答案 : B 4. （湖州 · 中考）如图，已知⊙ O 的直径 AB⊥ 弦 CD 于点 E ，下列结论中一定正确的是（ ） A ． AE ＝ OE B ． CE ＝ DE C ． OE ＝ CE D ．∠ AOC ＝ 60° ． 答案 : B 5. （襄阳 · 中考）如图， AB 是⊙ O 的弦，半径 OC⊥AB 于 D 点，且 AB ＝ 6cm ， OD ＝ 4cm ，则 DC 的长为（ ） A ． 5cm B ． 2 ． 5cm C ． 2cm D ． 1cm 答案 : D 6. （襄阳 · 中考）已知⊙ O 的半径为 13cm ，弦 AB∥CD ， AB=24cm ， CD=10cm ，则 AB ， CD 之间的距离为（ ） A ． 17cm B ． 7 cm C ． 12 cm D ． 17 cm 或 7 cm 图 (1) 图 (2) 答案： D 【 规律方法 】 运用垂径定理及其推论解决一些数学问题 . 最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题 . 1. 圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧 . 2. 垂径定理及推论、圆的对称性 . 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 . 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 . 通过本课时的学习，需要我们掌握： 善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两种品德。 —— 斯蒂文生