2020_2021学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3 35页

3.2.1 　双曲线及其标准方程 激趣诱思 知识点拨 如图 ① 所示 , 取一条拉链 , 拉开它的一部分 , 在拉开的两边上各选择一点 , 分别固定在点 F 1 、 F 2 上 , 把笔尖放在点 M 处 , 随着拉链逐渐拉开或者闭拢 , 笔尖所经过的点就画出一条曲线 , 这就是双曲线的一支 . 把两个固定点的位置交换 , 如图 ② 所示 , 类似可以画出双曲线的另一支 . 这两条曲线合起来叫做双曲线 . 双曲线上的点到两定点 F 1 , F 2 的距离有何特点 ? 激趣诱思 知识点拨 一、双曲线的定义 1 . 定义 : 一般地 , 我们把平面内与两个定点 F 1 , F 2 的距离的 差的绝对值 等于 非零常数 ( 小于 |F 1 F 2 | ) 的点的轨迹叫做双曲线 . 这两个定点叫做双曲线的焦点 , 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 . 2 . 集合语言表达式 双曲线就是集合 P= { M|||MF 1 |-|MF 2 ||= 2 a ,0 < 2 a<|F 1 F 2 | } . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉 , 则点 M 的轨迹为双曲线的一支 , 具体是哪一支 , 取决于 |MF 1 | 与 |MF 2 | 的大小 . (1) 若 |MF 1 |>|MF 2 | , 则 |MF 1 |-|MF 2 |> 0, 点 M 的轨迹是靠近定点 F 2 的那一支 ; (2) 若 |MF 1 |<|MF 2 | , 则 |MF 2 |-|MF 1 |> 0, 点 M 的轨迹是靠近定点 F 1 的那一支 . 2 . 双曲线定义中的常数必须要大于 0 且小于 |F 1 F 2 |. (1) 若定义中的常数等于 |F 1 F 2 | , 此时动点轨迹是分别以 F 1 和 F 2 为端点的两条方向相反的射线 ( 包括端点 ) . (2) 若定义中的常数大于 |F 1 F 2 | , 此时动点轨迹不存在 . (3) 若定义中的常数为 0, 此时动点轨迹为线段 F 1 F 2 的垂直平分线 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 已知平面上定点 F 1 , F 2 及动点 M , 命题甲 : ||MF 1 |-|MF 2 ||= 2 a ( a 为常数 ), 命题乙 : 点 M 的轨迹是以 F 1 , F 2 为焦点的双曲线 , 则甲是乙的 ( 　　 ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 微练习 2 平面内到点 F 1 (6,0) 的距离减去到点 F 2 ( - 6,0) 的距离之差等于 12 的点的集合是 ( 　　 ) A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 解析 : 设动点为 P , 则 |PF 1 |-|PF 2 |= 12 =|F 1 F 2 | , 点 P 的轨迹为以 F 2 为端点的一条射线 . 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 二、双曲线的标准 方程 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程 , 所谓标准位置 , 就是指双曲线的中心在坐标原点 , 对称轴为坐标轴 . 3 . 双曲线的焦点在 x 轴上 ⇔ 标准方程中 x 2 项的系数为正 ; 双曲线的焦点在 y 轴上 ⇔ 标准方程中 y 2 项的系数为正 , 即 “ 焦点跟着正的跑 ” . 这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法 . 激趣诱思 知识点拨 (2) 已知 a= 5, c= 10, 焦点在 y 轴上 , 则双曲线的标准方程为 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 双曲线定义的 应用 (1) 若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16, 求点 M 到另一个焦点的距离 . (2) 若点 P 是双曲线上的一点 , 且 ∠ F 1 PF 2 = 60 ° , 求 △ F 1 PF 2 的面积 . 思路分析 : (1) 直接利用定义求解 . (2) 在 △ F 1 PF 2 中利用余弦定理求 |PF 1 | · |PF 2 |. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 设 |MF 1 |= 16, 根据双曲线的定义知 ||MF 2 |- 16 |= 6, 即 |MF 2 |- 16 = ± 6 . 解得 |MF 2 |= 10 或 |MF 2 |= 22 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求双曲线中的焦点三角形 △ PF 1 F 2 面积的方法 (1) ① 根据双曲线的定义求出 ||PF 1 |-|PF 2 ||= 2 a ; ② 利用余弦定理表示出 |PF 1 | 、 |PF 2 | 、 |F 1 F 2 | 之间满足的关系式 ; ③ 通过配方 , 利用整体的 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 在双曲线的方程中 , a= 3, b= 4, 则 c= 5 . 设 |PF 1 |=m , |PF 2 |=n ( m> 0, n> 0) . 由双曲线的定义可知 , |m-n|= 2 a= 6, 两边平方 , 得 m 2 +n 2 - 2 mn= 36 . 又 ∵ ∠ F 1 PF 2 = 90 ° , ∴ 由勾股定理 , 得 m 2 +n 2 =|F 1 F 2 | 2 = (2 c ) 2 = 100 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求双曲线的标准方程 例 2 根据下列条件 , 求双曲线的标准方程 : 思路分析 : (1) 结合 a 的值设出标准方程的两种形式 , 将点 A 的坐标代入求解 . (2) 因为焦点相同 , 所以所求双曲线的焦点也在 x 轴上 , 且 c 2 = 16 + 4 = 20, 利用待定系数法求解 , 或设出统一方程求解 . (3) 双曲线焦点的位置不确定 , 可设出一般方程求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 求双曲线标准方程的步骤 (1) 确定双曲线的类型 , 并设出标准方程 ; (2) 求出 a 2 , b 2 的值 . 2 . 当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时 , 需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论 , 特别地 , 当已知双曲线经过两个点时 , 可设双曲线方程为 Ax 2 +By 2 = 1( AB< 0) 来求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程 : (1) 两个焦点的坐标分别是 ( - 5,0),(5,0), 双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 8; 解 : (1) 由已知得 , c= 5,2 a= 8, 即 a= 4 . ∵ c 2 =a 2 +b 2 , ∴ b 2 =c 2 -a 2 = 5 2 - 4 2 = 9 . ∵ 焦点在 x 轴上 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 双曲线标准方程的 应用 (1) 若该方程表示双曲线 , 求实数 k 的取值范围 ; (2) 若该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 , 求实数 k 的取值范围 . 思路分析 : 根据双曲线方程的特征建立不等式 ( 组 ) 求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 双曲线方程的 应用 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 (1) 在方程 mx 2 -my 2 = 3 n 中 , 若 mn< 0, 则该方程表示 ( 　　 ) A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 y 轴上的双曲线 (2) 若方程 x 2 sin α -y 2 cos α = 1(0 ≤ α < π ) 表示双曲线 , 则 α 的取值范围是 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与双曲线有关的轨迹问题的求解方法 一、定义法 利用双曲线的定义可以判断平面内动点的轨迹是否为双曲线 ( 或双曲线的一支 ) . 典例 1 (2020· 湖北宜昌高二检测 ) 已知两圆 C 1 :( x+ 4) 2 +y 2 = 2, C 2 :( x- 4) 2 +y 2 = 2, 动圆 M 与圆 C 1 外切 , 与圆 C 2 内切 , 则动圆圆心 M 的轨迹方程为 　　　　　 .   思路分析 : 利用与两圆内切、外切的充要条件 , 建立动点 M 的几何等量关系式 , 结合双曲线的定义求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用双曲线的定义探求动点轨迹方程时要能从条件中寻找动点所满足的几何等量关系式是否符合双曲线的定义 . 在运用双曲线定义时 , 应特别注意定义中的条件 “ 差的绝对值 ”, 弄清所求轨迹是整个双曲线 , 还是双曲线的一支 , 若是一支 , 是哪一支 , 需用变量的范围确定 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 2 若一个动点 P ( x , y ) 到两个定点 A ( - 1,0), A 1 (1,0) 的距离之差的绝对值为定值 a ( a ≥ 0), 讨论点 P 的轨迹方程 . 思路分析 : 本题的关键在于 a. 因为 |AA 1 |= 2, 以 0 和 2 为分界点 , 应讨论以下四种情况 : a= 0,0 2 . 解 : 由题意知 |AA 1 |= 2 . ① 当 a= 0 时 , 轨迹是线段 AA 1 的垂直平分线 , 即 y 轴 , 方程为 x= 0; ② 当 0 2 时 , 无轨迹 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时 , 既要注意定义中的条件 |F 1 F 2 |> 2 a ( 当条件中不能确定 |F 1 F 2 | 与 2 a 的大小关系时 , 需要分类讨论 ), 又要关注等量关系式中的绝对值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 二、相关点法 建立动点坐标 ( x , y ) 与中间变量 ( x 0 , y 0 ) 之间的关系 , 消去 x 0 , y 0 后即得动点的轨迹方程 . 思路分析 : 设点 M ( x , y ), P ( x 0 , y 0 ), 运用代入法求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 本题运用相关点法求轨迹方程 , 注意在含有两个动点时坐标的设法 , 求轨迹方程的点的坐标设为 ( x , y ), 另一点的坐标设为 ( x 0 , y 0 ), 用 x , y 来表示 x 0 , y 0 , 代入已知方程求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知 F 1 ( - 5,0), F 2 (5,0) 为定点 , 动点 P 满足 |PF 1 |-|PF 2 |= 2 a , 当 a= 3 和 a= 5 时 , P 点的轨迹分别为 ( 　　 ) A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线的一支和一条直线 C. 双曲线和一条射线 D. 双曲线的一支和一条射线 解析 : 因为 |F 1 F 2 |= 10, |PF 1 |-|PF 2 |= 2 a , 所以当 a= 3 时 ,2 a= 6 <|F 1 F 2 | , 为双曲线的一支 ; 当 a= 5 时 ,2 a= 10 =|F 1 F 2 | , 为一条射线 . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 双曲线方程为 x 2 - 2 y 2 = 1, 则它的右焦点坐标为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 解析 : 当 k> 9 时 ,9 -k< 0, k- 4 > 0 . 方程表示双曲线 . 当 k< 4 时 ,9 -k> 0, k- 4 < 0, 方程也表示双曲线 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 又由 a 2 =c 2 -b 2 = 25 - 9 = 16, 所以 a= 4, 因为点 P 为双曲线上一点 , 且 |PF 1 |= 9, 根据双曲线的定义可知 ||PF 2 |-|PF 1 ||= 2 a= 8, 所以 |PF 2 |= 17, 或 |PF 2 |= 1, 故答案为 17 或 1 . 答案 : 17 或 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测