2020年四川省自贡市中考数学试卷【含答案】 10页

1 / 10 2020 年四川省自贡市中考数学试卷 一．选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 如图，直线푎 // 푏，∠1 = 50∘，则∠2的度数为( ) A.40∘ B.50∘ C.55∘ D.60∘ 2. 5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自 贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀 璨．人数700000用科学记数法表示为( ) A.70 × 104 B.0.7 × 107 C.7 × 105 D.7 × 106 3. 如图所示的几何体的左视图是( ) A. B. C. D. 4. 关于푥的一元二次方程푎푥2 − 2푥 + 2 = 0有两个相等实数根，则푎的值为 ( ) A.1 2 B.− 1 2 C.1 D.−1 5. 在平面直角坐标系中，将点(2,  1)向下平移3个单位长度，所得点的坐标是 ( ) A.(−1,  1) B.(5,  1) C.(2,  4) D.(2, −2) 6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 7. 对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是( ) A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3 8. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30∘，那么这个角的度数是( ) A.50∘ B.70∘ C.130∘ D.160∘ 9. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵 = 90∘，∠퐴 = 50∘，以点퐵为圆心，퐵퐶长为半径画 弧，交퐴퐵于点퐷，连接퐶퐷，则∠퐴퐶퐷的度数是( ) A.50∘ B.40∘ C.30∘ D.20∘ 10. 函数푦 = 푘 푥 与푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象如图所示，则函数푦 = 푘푥 − 푏的大致图象为 ( ) 2 / 10 A. B. C. D. 11. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作 时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作 时每天绿化的面积为푥万平方米，则下面所列方程中正确的是( ) A.80(1+35%) 푥 − 80 푥 = 40 B. 80 (1+35%)푥 − 80 푥 = 40 C.80 푥 − 80 (1+35%)푥 = 40 D.80 푥 − 80(1+35%) 푥 = 40 12. 如图，在平行四边形퐴퐵퐶퐷中，퐴퐷 = 2，퐴퐵 = √6，∠퐵是锐角，퐴퐸 ⊥ 퐵퐶于点퐸， 퐹是퐴퐵的中点，连接퐷퐹，퐸퐹．若∠퐸퐹퐷 = 90∘，则퐴퐸长为( ) A.2 B.√5 C.3√2 2 D.3√3 2 二、填空题（共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13. 分解因式：3푎2 − 6푎푏 + 3푏2 =________． 14. 与√14 − 2最接近的自然数是________． 15. 某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了 “最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排 序（只填番号）：________． ①绘制扇形图； ②收集最受学生欢迎菜品的数据； ③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品； ④整理所收集的数据． 16. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形퐴퐵퐶퐷，퐷퐶 // 퐴퐵．퐵퐶长6米，坡 角훽为45∘，퐴퐷的坡角훼为30∘，则퐴퐷长为________米（结果保留根号）． 17. 如图，矩形퐴퐵퐶퐷中，퐸是퐴퐵上一点，连接퐷퐸，将△ 퐴퐷퐸沿퐷퐸翻折，恰好使点 퐴落在퐵퐶边的中点퐹处，在퐷퐹上取点푂，以푂为圆心，푂퐹长为半径作半圆与퐶퐷相切于 点퐺．若퐴퐷 = 4，则图中阴影部分的面积为________． 18. 如图，直线푦 = −√3푥 + 푏与푦轴交于点퐴，与双曲线푦 = 푘 푥 在第三象限交于퐵，퐶 两点，且퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 = 16．下列等边三角形△ 푂퐷1퐸1，△ 퐸1퐷2퐸2，△ 퐸2퐷3퐸3，⋯的边 푂퐸1，퐸1퐸2，퐸2퐸3，⋯在푥轴上，顶点퐷1，퐷2，퐷3，⋯在该双曲线第一象限的分支上， 则푘 =________，前25个等边三角形的周长之和为________． 3 / 10 三、解答题（共 8 个题，共 78 分） 19. 计算：| − 2| − (√5 + 휋)0 + (− 1 6)−1． 20. 先化简，再求值： 푥+1 푥2−4 ⋅ ( 1 푥+1 + 1)，其中푥是不等式组{ 푥 + 1 ≥ 0, 5 − 2푥 > 3 的整数解． 21. 如图，在正方形퐴퐵퐶퐷中，点퐸在퐵퐶边的延长线上，点퐹在퐶퐷边的延长线上，且 퐶퐸 = 퐷퐹，连接퐴퐸和퐵퐹相交于点푀． 求证：퐴퐸 = 퐵퐹． 22. 某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“퐴：文明礼仪，퐵： 环境保护，퐶：卫生保洁，퐷：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了 解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条 4 / 10 形统计图和扇形统计图． (1)本次调查的学生人数是________人，푚 =________； (2)请补全条形统计图； (3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连 续两天，其中有一天是星期一的概率是________；小李同学星期五要参加市演讲比赛， 他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是________． 23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．XXXXXX 期间，为了减少库存， 甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100 元后的价格部分打8折． (1)以푥（单位：元）表示商品原价，푦（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家 商场的让利方式写出푦关于푥的函数解析式； (2) XXXXXX 期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 24. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是 解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|푥 − 2|的几何意义是数轴上푥所对应的 点与2所对应的点之间的距离：因为|푥 + 1| = |푥 − (−1)|，所以|푥 + 1|的几何意义就是 数轴上푥所对应的点与−1所对应的点之间的距离． (1)发现问题：代数式|푥 + 1| + |푥 − 2|的最小值是多少？ (2)探究问题：如图，点퐴，퐵，푃分别表示数−1，2，푥，퐴퐵 = 3． ∵ |푥 + 1| + |푥 − 2|的几何意义是线段푃퐴与푃퐵的长度之和， ∴ 当点푃在线段퐴퐵上时，푃퐴 + 푃퐵 = 3，当点푃在点퐴的左侧或点퐵的右侧时，푃퐴 + 푃퐵 > 3， ∴ |푥 + 1| + |푥 − 2|的最小值是3． (3)解决问题： ①|푥 − 4| + |푥 + 2|的最小值是________； ②利用上述思想方法解不等式：|푥 + 3| + |푥 − 1| > 4； 5 / 10 ③当푎为何值时，代数式|푥 + 푎| + |푥 − 3|的最小值是2. 25. 如图，⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆，퐴퐵为直径，点푃为⊙ 푂外一点，且푃퐴 = 푃퐶 = √2퐴퐵，连接푃푂交퐴퐶于点퐷，延长푃푂交⊙ 푂于点퐹． (1)证明：퐴퐹̂ = 퐶퐹̂ ； (2)若tan∠퐴퐵퐶 = 2√2，证明：푃퐴是⊙ 푂的切线； (3)在(2)条件下，连接푃퐵交⊙ 푂于点퐸，连接퐷퐸，若퐵퐶 = 2，求퐷퐸的长． 6 / 10 26. 在平面直角坐标系中，抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 3与푥轴交于点퐴(−3,  0)，퐵(1,  0)， 交푦轴于点푁，点푀为抛物线的顶点，对称轴与푥轴交于点퐶． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接퐴푀，点퐸是线段퐴푀上方抛物线上一动点，퐸퐹 ⊥ 퐴푀于点퐹，过点퐸作 퐸퐻 ⊥ 푥轴于点퐻，交퐴푀于点퐷．点푃是푦轴上一动点，当퐸퐹取最大值时： ①求푃퐷 + 푃퐶的最小值； ②如图2，푄点为푦轴上一动点，请直接写出퐷푄 + 1 4 푂푄的最小值． 7 / 10 参考答案与试题解析 2020 年四川省自贡市中考数学试卷 一．选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.C 9.D 10.D 11.A 12.B 二、填空题（共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13.3(푎 − 푏)2 14.2 15.②④①③ 16.6√2 17.2√3 9 18.4√3,60 三、解答题（共 8 个题，共 78 分） 19.解：原式= 2 − 1 + (−6) = 1 + (−6) = −5． 20.解： 푥+1 푥2−4 ⋅ ( 1 푥+1 + 1) = 푥 + 1 (푥 + 2)(푥 − 2) ⋅ 1 + 푥 + 1 푥 + 1 = 푥 + 2 (푥 + 2)(푥 − 2) = 1 푥−2 ， 由不等式组{ 푥 + 1 ≥ 0, 5 − 2푥 > 3 得−1 ≤ 푥 < 1. ∵ 푥是不等式组{ 푥 + 1 ≥ 0, 5 − 2푥 > 3 的整数解， ∴ 푥 = −1，0. ∵ 当푥 = −1时，原分式无意义， ∴ 푥 = 0， 当푥 = 0时，原式= 1 0−2 = − 1 2 ． 21.解：在正方形퐴퐵퐶퐷中， 퐴퐵 = 퐵퐶 = 퐶퐷 = 퐴퐷， ∵ 퐶퐸 = 퐷퐹， ∴ 퐵퐸 = 퐶퐹. 在△ 퐴퐸퐵与△ 퐵퐹퐶中， { 퐴퐵 = 퐵퐶, ∠퐴퐵퐸 = ∠퐵퐶퐹, 퐵퐸 = 퐶퐹, ∴ △ 퐴퐸퐵 ≅△ 퐵퐹퐶(푆퐴푆)， ∴ 퐴퐸 = 퐵퐹． 22.60,30 (2)퐶组的人数为60 − 18 − 12 − 9 = 21（人）， 补全条形统计图如图： 1 4 ,1 2 23.解：(1)由题意可得， 푦甲 = 0.9푥； 当0 ≤ 푥 ≤ 100时，푦乙 = 푥， 8 / 10 当푥 > 100时，푦乙 = 100 + (푥 − 100) × 0.8 = 0.8푥 + 20， 由上可得，푦乙 = { 푥，0 ≤ 푥 ≤ 100， 0.8푥 + 20，푥 > 100. (2)当0.9푥 < 0.8푥 + 20时，得푥 < 200，即此时选择甲商场购物更省钱； 当0.9푥 = 0.8푥 + 20时，得푥 = 200，即此时选择两家商场购物一样； 当0.9푥 > 0.8푥 + 200时，得푥 > 200，即此时选择乙商场购物更省钱． 24.6 (2)如图，点퐴，퐵，푃分别表示数1，−3，푥，퐴퐵 = 4． ∵ |푥 + 3| + |푥 − 1|的几何意义是线段푃퐴与푃퐵的长度之和， ∴ 当点푃在点퐴的右侧或点퐵的左侧时，푃퐴 + 푃퐵 > 4， ∴ 푥 > 1或푥 < −3. (3)如图，点퐴，퐵，푃分别表示数3，푎，푥，퐴퐵 = |푎 − 3|． 由题可知，|푎 − 3| = 2， 解得푎 = 5或푎 = 1. 25.(1)证明：连接푂퐶． ∵ 푃퐶 = 푃퐴，푂퐶 = 푂퐴， ∴ 푂푃垂直平分线段퐴퐶， ∴ 퐴퐹̂ = 퐶퐹̂ ． (2)证明：设퐵퐶 = 푎， ∵ 퐴퐵是直径， ∴ ∠퐴퐶퐵 = 90∘； ∵ tan∠퐴퐵퐶 = 퐴퐶 퐵퐶 = 2√2， ∴ 퐴퐶 = 2√2푎，퐴퐵 = √퐵퐶2 + 퐴퐶2 = √푎2 + (2√2푎)2 = 3푎， ∴ 푂퐶 = 푂퐴 = 푂퐵 = 3푎 2 ，퐶퐷 = 퐴퐷 = √2푎； ∵ 푃퐴 = 푃퐶 = √2퐴퐵， ∴ 푃퐴 = 푃퐶 = 3√2푎； ∵ ∠푃퐷퐶 = 90∘， ∴ 푃퐷 = √푃퐶2 − 퐶퐷2 = √18푎2 − 2푎2 = 4푎； ∵ 퐷퐶 = 퐷퐴，퐴푂 = 푂퐵， ∴ 푂퐷 = 1 2 퐵퐶 = 1 2 푎， ∴ 퐴퐷2 = 푃퐷 ⋅ 푂퐷， ∴ 퐴퐷 푃퐷 = 푂퐷 퐴퐷 ； ∵ ∠퐴퐷푃 = ∠퐴퐷푂 = 90∘， ∴ △ 퐴퐷푃 ∼△ 푂퐷퐴， ∴ ∠푃퐴퐷 = ∠퐷푂퐴； ∵ ∠퐷푂퐴 + ∠퐷퐴푂 = 90∘， ∴ ∠푃퐴퐷 + ∠퐷퐴푂 = 90∘， ∴ ∠푃퐴푂 = 90∘， ∴ 푂퐴 ⊥ 푃퐴， ∴ 푃퐴是⊙ 푂的切线． (3)解：如图，过点퐸作퐸퐽 ⊥ 푃퐹于퐽，퐵퐾 ⊥ 푃퐹于퐾． 9 / 10 ∵ 퐵퐶 = 2， 由(1)可知，푃퐴 = 6√2，퐴퐵 = 6， ∵ ∠푃퐴퐵 = 90∘， ∴ 푃퐵 = √푃퐴2 + 퐴퐵2 = √72 + 36 = 6√3； ∵ 푃퐴2 = 푃퐸 ⋅ 푃퐵， ∴ 푃퐸 = 72 6√3 = 4√3； ∵ ∠퐶퐷퐾 = ∠퐵퐾퐷 = ∠퐵퐶퐷 = 90∘， ∴ 四边形퐶퐷퐾퐵是矩形， ∴ 퐶퐷 = 퐵퐾 = 2√2，퐵퐶 = 퐷퐾 = 2； ∵ 푃퐷 = 8， ∴ 푃퐾 = 10； ∵ 퐸퐽 // 퐵퐾， ∴ 푃퐸 푃퐵 = 퐸퐽 퐵퐾 = 푃퐽 푃퐾 ， ∴ 4√3 6√3 = 퐸퐽 2√2 = 푃퐽 10 ， ∴ 퐸퐽 = 4√2 3 ，푃퐽 = 20 3 ， ∴ 퐷퐽 = 푃퐷 − 푃퐽 = 8 − 20 3 = 4 3 ， ∴ 퐷퐸 = √퐸퐽2 + 퐷퐽2 = √(4√2 3 )2 + (4 3)2 = 4√3 3 ． 26.解：(1)抛物线的表达式为： 푦 = 푎(푥 + 3)(푥 − 1) = 푎(푥2 + 2푥 − 3) = 푎푥2 + 2푎푥 − 3푎， 即−3푎 = 3，解得：푎 = −1， 故抛物线的表达式为：푦 = −푥2 − 2푥 + 3. (2)由抛物线的表达式得，点푀(−1,  4)，点푁(0,  3). 设直线퐴푀的表达式为：푦 = 푘푥 + 푏，则 {−3푘 + 푏 = 0, −푘 + 푏 = 4, 解得{푘 = 2, 푏 = 6, ∴ 直线퐴푀的表达式为：푦 = 2푥 + 6. ∵ ∠퐸퐹퐷 = ∠퐷퐻퐴 = 90∘，∠퐸퐷퐹 = ∠퐴퐷퐻， ∴ ∠푀퐴퐶 = ∠퐷퐸퐹. ∵ cos∠푀퐴퐶 = 퐴퐶 퐴푀 = √5 5 ， ∴ cos∠퐷퐸퐹 = √5 5 . 设点퐸(푥, −푥2 − 2푥 + 3)，则点퐷(푥,  2푥 + 6)， 则퐹퐸 = 퐸퐷cos∠퐷퐸퐹 = (−푥2 − 2푥 + 3 − 2푥 − 6) × √5 5 = √5 5 (−푥2 − 4푥 − 3). ∵ − √5 5 < 0，故퐸퐹有最大值，此时푥 = −2，故点퐷(−2,  2). ①点퐶(−1,  0)关于푦轴的对称点为点퐵(1,  0)，连接퐵퐷交푦轴于点푃，则点푃为所求点， 如图， 푃퐷 + 푃퐶 = 푃퐷 + 푃퐵 = 퐷퐵为最小， 10 / 10 则퐵퐷 = √(1 + 2)2 + (0 − 2)2 = √13， ∴ 푃퐷 + 푃퐶的最小值为√13. ②过푄作直线平行于푥轴，并在푦轴右侧该直线上取一点퐺， 使得푄퐺 = 1 4 푂푄，如图， ∴ 퐷푄 + 1 4 푂푄 = 퐷푄 + 푄퐺. 当퐷，푄，퐺三点共线时，퐷푄 + 푄퐺取得最小值， 设푄(0, 푦)，则퐺(1 4 푦, 푦). ∵ 푄퐺//푥轴， ∴ 푦퐷 = 푦퐺 = 푦푄 = 2， ∴ 푦 = 2， ∴ 퐷푄 + 1 4 푂푄的最小值为1 4 푦 + 2 = 5 2 .