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- 2021-11-06 发布
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2020 年四川省自贡市中考数学试卷
一.选择题(共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分,在每题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1. 如图,直线푎 // 푏,∠1 = 50∘,则∠2的度数为( )
A.40∘ B.50∘ C.55∘ D.60∘
2. 5月22日晚,中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播,有着近千年历史的自
贡灯会进入“云游”时代,70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀
璨.人数700000用科学记数法表示为( )
A.70 × 104 B.0.7 × 107 C.7 × 105 D.7 × 106
3. 如图所示的几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
4. 关于푥的一元二次方程푎푥2 − 2푥 + 2 = 0有两个相等实数根,则푎的值为
( )
A.1
2
B.− 1
2
C.1 D.−1
5. 在平面直角坐标系中,将点(2, 1)向下平移3个单位长度,所得点的坐标是
( )
A.(−1, 1) B.(5, 1) C.(2, 4) D.(2, −2)
6. 下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
7. 对于一组数据3,7,5,3,2,下列说法正确的是( )
A.中位数是5 B.众数是7 C.平均数是4 D.方差是3
8. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30∘,那么这个角的度数是( )
A.50∘ B.70∘ C.130∘ D.160∘
9. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵 = 90∘,∠퐴 = 50∘,以点퐵为圆心,퐵퐶长为半径画
弧,交퐴퐵于点퐷,连接퐶퐷,则∠퐴퐶퐷的度数是( )
A.50∘ B.40∘ C.30∘ D.20∘
10. 函数푦 = 푘
푥
与푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象如图所示,则函数푦 = 푘푥 − 푏的大致图象为
( )
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A. B. C. D.
11. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作
时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作
时每天绿化的面积为푥万平方米,则下面所列方程中正确的是( )
A.80(1+35%)
푥 − 80
푥 = 40 B. 80
(1+35%)푥 − 80
푥 = 40
C.80
푥 − 80
(1+35%)푥 = 40 D.80
푥 − 80(1+35%)
푥 = 40
12. 如图,在平行四边形퐴퐵퐶퐷中,퐴퐷 = 2,퐴퐵 = √6,∠퐵是锐角,퐴퐸 ⊥ 퐵퐶于点퐸,
퐹是퐴퐵的中点,连接퐷퐹,퐸퐹.若∠퐸퐹퐷 = 90∘,则퐴퐸长为( )
A.2 B.√5 C.3√2
2
D.3√3
2
二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)
13. 分解因式:3푎2 − 6푎푏 + 3푏2 =________.
14. 与√14 − 2最接近的自然数是________.
15. 某中学新建食堂正式投入使用,为提高服务质量,食堂管理人员对学生进行了
“最受欢迎菜品”的调查统计.以下是打乱了的调查统计顺序,请按正确顺序重新排
序(只填番号):________.
①绘制扇形图;
②收集最受学生欢迎菜品的数据;
③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品;
④整理所收集的数据.
16. 如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形퐴퐵퐶퐷,퐷퐶 // 퐴퐵.퐵퐶长6米,坡
角훽为45∘,퐴퐷的坡角훼为30∘,则퐴퐷长为________米(结果保留根号).
17. 如图,矩形퐴퐵퐶퐷中,퐸是퐴퐵上一点,连接퐷퐸,将△ 퐴퐷퐸沿퐷퐸翻折,恰好使点
퐴落在퐵퐶边的中点퐹处,在퐷퐹上取点푂,以푂为圆心,푂퐹长为半径作半圆与퐶퐷相切于
点퐺.若퐴퐷 = 4,则图中阴影部分的面积为________.
18. 如图,直线푦 = −√3푥 + 푏与푦轴交于点퐴,与双曲线푦 = 푘
푥
在第三象限交于퐵,퐶
两点,且퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 = 16.下列等边三角形△ 푂퐷1퐸1,△ 퐸1퐷2퐸2,△ 퐸2퐷3퐸3,⋯的边
푂퐸1,퐸1퐸2,퐸2퐸3,⋯在푥轴上,顶点퐷1,퐷2,퐷3,⋯在该双曲线第一象限的分支上,
则푘 =________,前25个等边三角形的周长之和为________.
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三、解答题(共 8 个题,共 78 分)
19. 计算:| − 2| − (√5 + 휋)0 + (− 1
6)−1.
20. 先化简,再求值: 푥+1
푥2−4 ⋅ ( 1
푥+1 + 1),其中푥是不等式组{ 푥 + 1 ≥ 0,
5 − 2푥 > 3 的整数解.
21. 如图,在正方形퐴퐵퐶퐷中,点퐸在퐵퐶边的延长线上,点퐹在퐶퐷边的延长线上,且
퐶퐸 = 퐷퐹,连接퐴퐸和퐵퐹相交于点푀.
求证:퐴퐸 = 퐵퐹.
22. 某校为了响应市政府号召,在“创文创卫”活动周中,设置了“퐴:文明礼仪,퐵:
环境保护,퐶:卫生保洁,퐷:垃圾分类”四个主题,每个学生选一个主题参与.为了
解活动开展情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,并根据调查结果绘制了如图条
4 / 10
形统计图和扇形统计图.
(1)本次调查的学生人数是________人,푚 =________;
(2)请补全条形统计图;
(3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动.如果小张同学随机选择连
续两天,其中有一天是星期一的概率是________;小李同学星期五要参加市演讲比赛,
他在其余四天中随机选择两天,其中有一天是星期三的概率是________.
23. 甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.XXXXXX 期间,为了减少库存,
甲、乙两家商场打折促销.甲商场所有商品按9折出售,乙商场对一次购物中超过100
元后的价格部分打8折.
(1)以푥(单位:元)表示商品原价,푦(单位:元)表示实际购物金额,分别就两家
商场的让利方式写出푦关于푥的函数解析式;
(2) XXXXXX 期间如何选择这两家商场去购物更省钱?
24. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是
解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式|푥 − 2|的几何意义是数轴上푥所对应的
点与2所对应的点之间的距离:因为|푥 + 1| = |푥 − (−1)|,所以|푥 + 1|的几何意义就是
数轴上푥所对应的点与−1所对应的点之间的距离.
(1)发现问题:代数式|푥 + 1| + |푥 − 2|的最小值是多少?
(2)探究问题:如图,点퐴,퐵,푃分别表示数−1,2,푥,퐴퐵 = 3.
∵ |푥 + 1| + |푥 − 2|的几何意义是线段푃퐴与푃퐵的长度之和,
∴ 当点푃在线段퐴퐵上时,푃퐴 + 푃퐵 = 3,当点푃在点퐴的左侧或点퐵的右侧时,푃퐴 +
푃퐵 > 3,
∴ |푥 + 1| + |푥 − 2|的最小值是3.
(3)解决问题:
①|푥 − 4| + |푥 + 2|的最小值是________;
②利用上述思想方法解不等式:|푥 + 3| + |푥 − 1| > 4;
5 / 10
③当푎为何值时,代数式|푥 + 푎| + |푥 − 3|的最小值是2.
25. 如图,⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆,퐴퐵为直径,点푃为⊙ 푂外一点,且푃퐴 = 푃퐶 =
√2퐴퐵,连接푃푂交퐴퐶于点퐷,延长푃푂交⊙ 푂于点퐹.
(1)证明:퐴퐹̂ = 퐶퐹̂ ;
(2)若tan∠퐴퐵퐶 = 2√2,证明:푃퐴是⊙ 푂的切线;
(3)在(2)条件下,连接푃퐵交⊙ 푂于点퐸,连接퐷퐸,若퐵퐶 = 2,求퐷퐸的长.
6 / 10
26. 在平面直角坐标系中,抛物线푦 = 푎푥2 + 푏푥 + 3与푥轴交于点퐴(−3, 0),퐵(1, 0),
交푦轴于点푁,点푀为抛物线的顶点,对称轴与푥轴交于点퐶.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接퐴푀,点퐸是线段퐴푀上方抛物线上一动点,퐸퐹 ⊥ 퐴푀于点퐹,过点퐸作
퐸퐻 ⊥ 푥轴于点퐻,交퐴푀于点퐷.点푃是푦轴上一动点,当퐸퐹取最大值时:
①求푃퐷 + 푃퐶的最小值;
②如图2,푄点为푦轴上一动点,请直接写出퐷푄 + 1
4 푂푄的最小值.
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参考答案与试题解析
2020 年四川省自贡市中考数学试卷
一.选择题(共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分,在每题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.B
2.C
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.C
9.D
10.D
11.A
12.B
二、填空题(共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)
13.3(푎 − 푏)2
14.2
15.②④①③
16.6√2
17.2√3
9
18.4√3,60
三、解答题(共 8 个题,共 78 分)
19.解:原式= 2 − 1 + (−6)
= 1 + (−6)
= −5.
20.解: 푥+1
푥2−4 ⋅ ( 1
푥+1 + 1)
= 푥 + 1
(푥 + 2)(푥 − 2) ⋅ 1 + 푥 + 1
푥 + 1
= 푥 + 2
(푥 + 2)(푥 − 2)
= 1
푥−2
,
由不等式组{ 푥 + 1 ≥ 0,
5 − 2푥 > 3 得−1 ≤ 푥 < 1.
∵ 푥是不等式组{ 푥 + 1 ≥ 0,
5 − 2푥 > 3 的整数解,
∴ 푥 = −1,0.
∵ 当푥 = −1时,原分式无意义,
∴ 푥 = 0,
当푥 = 0时,原式= 1
0−2 = − 1
2
.
21.解:在正方形퐴퐵퐶퐷中,
퐴퐵 = 퐵퐶 = 퐶퐷 = 퐴퐷,
∵ 퐶퐸 = 퐷퐹,
∴ 퐵퐸 = 퐶퐹.
在△ 퐴퐸퐵与△ 퐵퐹퐶中,
{
퐴퐵 = 퐵퐶,
∠퐴퐵퐸 = ∠퐵퐶퐹,
퐵퐸 = 퐶퐹,
∴ △ 퐴퐸퐵 ≅△ 퐵퐹퐶(푆퐴푆),
∴ 퐴퐸 = 퐵퐹.
22.60,30
(2)퐶组的人数为60 − 18 − 12 − 9 = 21(人),
补全条形统计图如图:
1
4
,1
2
23.解:(1)由题意可得,
푦甲 = 0.9푥;
当0 ≤ 푥 ≤ 100时,푦乙 = 푥,
8 / 10
当푥 > 100时,푦乙 = 100 + (푥 − 100) × 0.8 = 0.8푥 + 20,
由上可得,푦乙 = { 푥,0 ≤ 푥 ≤ 100,
0.8푥 + 20,푥 > 100.
(2)当0.9푥 < 0.8푥 + 20时,得푥 < 200,即此时选择甲商场购物更省钱;
当0.9푥 = 0.8푥 + 20时,得푥 = 200,即此时选择两家商场购物一样;
当0.9푥 > 0.8푥 + 200时,得푥 > 200,即此时选择乙商场购物更省钱.
24.6
(2)如图,点퐴,퐵,푃分别表示数1,−3,푥,퐴퐵 = 4.
∵ |푥 + 3| + |푥 − 1|的几何意义是线段푃퐴与푃퐵的长度之和,
∴ 当点푃在点퐴的右侧或点퐵的左侧时,푃퐴 + 푃퐵 > 4,
∴ 푥 > 1或푥 < −3.
(3)如图,点퐴,퐵,푃分别表示数3,푎,푥,퐴퐵 = |푎 − 3|.
由题可知,|푎 − 3| = 2,
解得푎 = 5或푎 = 1.
25.(1)证明:连接푂퐶.
∵ 푃퐶 = 푃퐴,푂퐶 = 푂퐴,
∴ 푂푃垂直平分线段퐴퐶,
∴ 퐴퐹̂ = 퐶퐹̂ .
(2)证明:设퐵퐶 = 푎,
∵ 퐴퐵是直径,
∴ ∠퐴퐶퐵 = 90∘;
∵ tan∠퐴퐵퐶 = 퐴퐶
퐵퐶 = 2√2,
∴ 퐴퐶 = 2√2푎,퐴퐵 = √퐵퐶2 + 퐴퐶2 = √푎2 + (2√2푎)2 = 3푎,
∴ 푂퐶 = 푂퐴 = 푂퐵 = 3푎
2
,퐶퐷 = 퐴퐷 = √2푎;
∵ 푃퐴 = 푃퐶 = √2퐴퐵,
∴ 푃퐴 = 푃퐶 = 3√2푎;
∵ ∠푃퐷퐶 = 90∘,
∴ 푃퐷 = √푃퐶2 − 퐶퐷2 = √18푎2 − 2푎2 = 4푎;
∵ 퐷퐶 = 퐷퐴,퐴푂 = 푂퐵,
∴ 푂퐷 = 1
2 퐵퐶 = 1
2 푎,
∴ 퐴퐷2 = 푃퐷 ⋅ 푂퐷,
∴ 퐴퐷
푃퐷 = 푂퐷
퐴퐷
;
∵ ∠퐴퐷푃 = ∠퐴퐷푂 = 90∘,
∴ △ 퐴퐷푃 ∼△ 푂퐷퐴,
∴ ∠푃퐴퐷 = ∠퐷푂퐴;
∵ ∠퐷푂퐴 + ∠퐷퐴푂 = 90∘,
∴ ∠푃퐴퐷 + ∠퐷퐴푂 = 90∘,
∴ ∠푃퐴푂 = 90∘,
∴ 푂퐴 ⊥ 푃퐴,
∴ 푃퐴是⊙ 푂的切线.
(3)解:如图,过点퐸作퐸퐽 ⊥ 푃퐹于퐽,퐵퐾 ⊥ 푃퐹于퐾.
9 / 10
∵ 퐵퐶 = 2,
由(1)可知,푃퐴 = 6√2,퐴퐵 = 6,
∵ ∠푃퐴퐵 = 90∘,
∴ 푃퐵 = √푃퐴2 + 퐴퐵2 = √72 + 36 = 6√3;
∵ 푃퐴2 = 푃퐸 ⋅ 푃퐵,
∴ 푃퐸 = 72
6√3 = 4√3;
∵ ∠퐶퐷퐾 = ∠퐵퐾퐷 = ∠퐵퐶퐷 = 90∘,
∴ 四边形퐶퐷퐾퐵是矩形,
∴ 퐶퐷 = 퐵퐾 = 2√2,퐵퐶 = 퐷퐾 = 2;
∵ 푃퐷 = 8,
∴ 푃퐾 = 10;
∵ 퐸퐽 // 퐵퐾,
∴ 푃퐸
푃퐵 = 퐸퐽
퐵퐾 = 푃퐽
푃퐾
,
∴ 4√3
6√3 = 퐸퐽
2√2 = 푃퐽
10
,
∴ 퐸퐽 = 4√2
3
,푃퐽 = 20
3
,
∴ 퐷퐽 = 푃퐷 − 푃퐽 = 8 − 20
3 = 4
3
,
∴ 퐷퐸 = √퐸퐽2 + 퐷퐽2 = √(4√2
3 )2 + (4
3)2 = 4√3
3
.
26.解:(1)抛物线的表达式为:
푦 = 푎(푥 + 3)(푥 − 1) = 푎(푥2 + 2푥 − 3) = 푎푥2 + 2푎푥 − 3푎,
即−3푎 = 3,解得:푎 = −1,
故抛物线的表达式为:푦 = −푥2 − 2푥 + 3.
(2)由抛物线的表达式得,点푀(−1, 4),点푁(0, 3).
设直线퐴푀的表达式为:푦 = 푘푥 + 푏,则
{−3푘 + 푏 = 0,
−푘 + 푏 = 4, 解得{푘 = 2,
푏 = 6,
∴ 直线퐴푀的表达式为:푦 = 2푥 + 6.
∵ ∠퐸퐹퐷 = ∠퐷퐻퐴 = 90∘,∠퐸퐷퐹 = ∠퐴퐷퐻,
∴ ∠푀퐴퐶 = ∠퐷퐸퐹.
∵ cos∠푀퐴퐶 = 퐴퐶
퐴푀 = √5
5
,
∴ cos∠퐷퐸퐹 = √5
5
.
设点퐸(푥, −푥2 − 2푥 + 3),则点퐷(푥, 2푥 + 6),
则퐹퐸 = 퐸퐷cos∠퐷퐸퐹 = (−푥2 − 2푥 + 3 − 2푥 − 6) × √5
5
= √5
5 (−푥2 − 4푥 − 3).
∵ − √5
5 < 0,故퐸퐹有最大值,此时푥 = −2,故点퐷(−2, 2).
①点퐶(−1, 0)关于푦轴的对称点为点퐵(1, 0),连接퐵퐷交푦轴于点푃,则点푃为所求点,
如图,
푃퐷 + 푃퐶 = 푃퐷 + 푃퐵 = 퐷퐵为最小,
10 / 10
则퐵퐷 = √(1 + 2)2 + (0 − 2)2 = √13,
∴ 푃퐷 + 푃퐶的最小值为√13.
②过푄作直线平行于푥轴,并在푦轴右侧该直线上取一点퐺,
使得푄퐺 = 1
4 푂푄,如图,
∴ 퐷푄 + 1
4 푂푄 = 퐷푄 + 푄퐺.
当퐷,푄,퐺三点共线时,퐷푄 + 푄퐺取得最小值,
设푄(0, 푦),则퐺(1
4 푦, 푦).
∵ 푄퐺//푥轴,
∴ 푦퐷 = 푦퐺 = 푦푄 = 2,
∴ 푦 = 2,
∴ 퐷푄 + 1
4 푂푄的最小值为1
4 푦 + 2 = 5
2
.
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