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  • 2021-11-06 发布

北师大版九年级上册数学第四章测试题附答案

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北师大版九年级上册数学第四章测试题附答案 ‎(满分:120分   考试时间:120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎1.已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是( B )‎ A.= B.2a=3b C.= D.3a=2b ‎2.如图所示,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°,点D到了点F的位置,则S△ADE∶S▱BCFD是( A )‎ A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1‎ 第2题图第3题图第5题图 ‎3.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AC,BC上,则不一定能判断△ABC∽△EDC的是( D )‎ A.∠CDE=∠B B.∠DEC=∠A C.= D.= ‎4.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3,4及x,那么x的值( B )‎ A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 ‎5.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1∶2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(2,0),则点C的坐标为( A )‎ A.(2,2) B.(1,2) C.(,2) D.(2,1)‎ ‎6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒 cm的速度向终点B运动;同时,动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1 cm的速度向终点C运动,将△PQC沿BC翻折,点P的对应点为点P′.设点Q运动的时间为t s,若四边形QPCP′为菱形,则t的值为( B )‎ A. B.2 C.2 D.3‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.若==(y≠n),则= .‎ ‎8.如图,直线l1,l2,…,l6‎ 是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,C,E,F.若BC=2,则EF的长是__5__.‎ 第8题图 第9题图第10题图 ‎ ‎ ‎9.如图,在△ABC中,点P是AC上一点,连接BP.要使△ABP∽△ACB,则必须有∠ABP= ∠C 或∠APB= ∠ABC 或= .‎ ‎10.如图所示,平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3).若△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且O′的坐标为(-1,0),则点B′的坐标为____.‎ ‎11.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,如图,他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的投影一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为 10 米.‎ 第11题图     第12题图 ‎12.如图,AC⊥BC,AC=BC,D是BC上一点,连接AD,与∠ACB的平分线交于点E,连接BE.若S△ACE=,S△BDE=,则AC= 2 .‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.如图,AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24.‎ ‎(1)判断△ABC与△AED是否相似;‎ ‎(2)若∠BAC=100°,∠EAC=70°,求∠CAD的度数.‎ 解:(1)∵=,=,=,‎ ‎∴△ABC∽△ADE;‎ ‎(2)∵△ABC∽△ADE,‎ ‎∴∠DAE=∠BAC=100°,‎ 又∵∠EAC=70°,∴∠CAD=30°.‎ ‎14.如图,△ABC为等边三角形,DF⊥AB,EF⊥AC,求证:△BDF∽△CEF.‎ 证明:∵DF⊥AB,EF⊥AC,∴∠BDF=∠CEF=90 °.‎ ‎∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60 °.‎ ‎∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,∴△BDF∽△CEF.‎ ‎15.已知,如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.‎ ‎(1)求证:△ABD∽△CBA;‎ ‎(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.‎ ‎(1)证明:∵AB=2,BC=4,‎ BD=1,∴=,==,‎ ‎∴=,又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA.‎ ‎(2)解:△ABD∽△CDE,DE=.‎ ‎16.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边的中点,AD,BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.‎ 解:∵点D,E分别是BC,AC的中点.‎ ‎∴DE∥AB,DE=AB,∴△AGB∽△DGE,‎ ‎∴==22=4.‎ 又∵S△GDE=1,∴S△ABG=4.‎ ‎∵△AGE与△GDE同高,∴===2,∴S△AGE=2.‎ 同理可得S△GBD=2,∴S四边形ABDE=4+2+2+1=9.‎ ‎∵DE∥AB,∴△EDC∽△ABC.设S△ABC=x,‎ 则=,∴x=12,∴S△ABC=12.‎ ‎17.在如图所示的网格中,已知△ABC和点M(1,2).‎ ‎(1)以点M为位似中心,位似比为2,在点M的同侧画出△ABC的位似图形△A′B′C′;‎ ‎(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标.‎ 解:(1)如图;‎ ‎(2)A′(3,6),B′(5,2),C′(11,4).‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.如图所示,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD和CB交于点G.‎ ‎(1)求证:△ADE≌△CFE;‎ ‎(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.‎ ‎(1)证明:∵AB∥FC,‎ ‎∴∠ADE=∠CFE,∠EAD=∠ECF.‎ 在△ADE和△CFE中,‎ ‎∠ADE=∠CFE,DE=FE,∠EAD=∠ECF,‎ ‎∴△ADE≌△CFE;‎ ‎(2)解:∵AB∥FC,∴△GBD∽△GCF,∴=.‎ ‎∵GB=2,BC=4,BD=1,∴=,∴CF=3,‎ ‎∵△ADE≌△CFE,∴AD=CF=3.‎ ‎∴AB=BD+AD=1+3=4.‎ ‎19.如图所示,四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形,顶点F在BA的延长线上,边DG与AF交于点H,AD=4,DH=5,EF=6,求FG的长.‎ 解:∵四边形ABCD和四边形DEFG为矩形,∴∠DAF=∠DAB=90°,∠G=90°,DG=EF.∵EF=6,DH=5,∴GH=DG-DH=EF-DH=6-5=1,在Rt△ADH中,AD=4,∴AH===3.‎ ‎∵∠G=∠DAH=90°,∠FHG=∠DHA,∴△FGH∽△DAH,‎ ‎∴=,∴FG===.‎ ‎20.如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,BC=20 cm,两只小虫P和Q同时分别从A,B出发沿AB,BC向终点B,C方向前进.小虫P每秒走1 cm,小虫Q每秒走2 cm.请问:它们同时出发多少秒时,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,B,C为顶点的三角形相似?‎ 解:设它们同时出发了t秒时,△PBQ与△ABC相似,BP=10-t,BQ=2t.①∵∠B=∠B,∴当=时,△PBQ∽△ABC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴t=5;‎ ‎②∵∠B=∠B,∴当=时,△PBQ∽△CBA,∴=,‎ ‎∴t=2.‎ 综上,它们同时出发了2秒或5秒时,以P,B,Q为顶点的三角形与以A,B,C为顶点的三角形相似.‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.(陕西中考)某市在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C,镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合,这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米,然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计,请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.‎ 解:由题意得:∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF,故△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH,则=,‎ =,即=,=,‎ 解得:AB=99,‎ 答:“望月阁”的高AB的长度为99 m.‎ ‎22.如图,在矩形ABCD中,点E为AD的中点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC.(AB>AE)‎ ‎(1)△AEF与△EFC是否相似,若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;‎ 解:相似.证明:延长FE与CD的延长线交于点G,在Rt△AEF与Rt△DEG中,∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵∠A=∠EDG=90°,∠AEF=∠DEG,∴△AFE≌△DGE,∴∠AFE=∠G,FE=GE.又CE⊥FG,∴FC=GC.‎ ‎∴∠EFC=∠G.又∵∠AFE=∠G.∴∠AFE=∠EFC.又∵∠A=∠CEF,∴△AEF∽△ECF.‎ ‎(2)设=k,是否存在这样的k值,使得△AEF与△BFC相似.若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,请说明理由.‎ 解:存在.①当∠BCF=∠AEF,即k==时,△‎ AEF∽△BCF.证明:当=时,=,∴=,∴∠ECG=30°,∴∠ECG=∠ECF=∠AEF=30°,∴∠BCF=90°-∠ECF-∠ECG=30°.又∵∠EAF=∠CBF=90°,∴△AEF∽△BCF.‎ ‎②∵EF不平行于BC,∴∠BCF≠∠AFE,∴不存在第二种相似的情况.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,DA⊥AB,AD=4 cm,DC=5 cm,AB=8 cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1 cm/s.当P点到达C点时,两点同时停止运动.连接PQ,设运动时间为t s.解答下列问题:‎ ‎(1)当t为何值时,P,Q两点同时停止运动?‎ ‎(2)当△PQB为等腰三角形时,求t的值.‎ 解:(1)作CE⊥AB于点E.‎ ‎∵CD∥AB,DA⊥AB,‎ ‎∴四边形AECD是矩形,‎ ‎∴AE=CD=5,CE=AD=4,‎ ‎∴BE=AB-AE=8-5=3.‎ 在Rt△CBE中,BC===5,‎ ‎∴t==5(s),即当t=5 s,P,Q两点同时停止运动.‎ ‎(2)若BP=BQ,则t=8-t,∴t=4 s.‎ 若QP=QB,过Q作QM⊥BC于点M,则△QBM∽△CBE,‎ 则=.则=,t= s.‎ 若PQ=PB,过P作PF⊥AB,交AB于点F,则△PFB∽△CEB,‎ 则=.则=,t= s.‎ 综合以上,当t等于4 s, s, s时,△PQB为等腰三角形.‎