2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】 10页

‎2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1. ‎-8‎的倒数是（ ）‎ A.‎-‎‎1‎‎8‎ B.‎-8‎ C.‎8‎ D.‎‎1‎‎8‎ ‎2. 下列运算一定正确的是（ ）‎ A.a‎2‎‎+‎a‎2‎＝a‎4‎ B.a‎2‎‎⋅‎a‎4‎＝a‎8‎ C.‎(‎a‎2‎‎)‎‎4‎＝a‎8‎ D.‎(a+b‎)‎‎2‎＝‎a‎2‎‎+‎b‎2‎ ‎3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）‎ A.扇形 B.正方形 C.等腰直角三角形 D.正五边形 ‎4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 如图，AB为‎⊙O的切线，点A为切点，OB交‎⊙O于点C，点D在‎⊙O上，连接AD、CD，OA，若‎∠ADC＝‎35‎‎∘‎，则‎∠ABO的度数为（ ）‎ A.‎25‎‎∘‎ B.‎20‎‎∘‎ C.‎30‎‎∘‎ D.‎‎35‎‎∘‎ ‎6. 将抛物线y＝x‎2‎向上平移‎3‎个单位长度，再向右平移‎5‎个单位长度，所得到的拋物线为（ ）‎ A.y＝‎(x+3‎)‎‎2‎+5‎ B.y＝‎(x-3‎)‎‎2‎+5‎ C.y＝‎(x+5‎)‎‎2‎+3‎ D.y＝‎‎(x-5‎)‎‎2‎+3‎ ‎7. 如图，在Rt△ABC中，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，‎∠B＝‎50‎‎∘‎，AD⊥BC，垂足为D，‎△ADB与‎△ADB‎'‎关于直线AD对称，点B的对称点是点B‎'‎，则‎∠CAB‎'‎的度数为（ ）‎ A.‎10‎‎∘‎ B.‎20‎‎∘‎ C.‎30‎‎∘‎ D.‎‎40‎‎∘‎ ‎8. 方程‎2‎x+5‎‎=‎‎1‎x-2‎的解为（ ）‎ A.x＝‎-1‎ B.x＝‎5‎ C.x＝‎7‎ D.x＝‎‎9‎ ‎9. 一个不透明的袋子中装有‎9‎个小球，其中‎6‎个红球、‎3‎个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（ ）‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎9‎ ‎10. 如图，在‎△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF // BC，交AD于点F，过点E作EG // AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）‎ A.AEEC‎=‎EFCD B.EFCD‎=‎EGAB C.AFFD‎=‎BGGC D.‎CGBC‎=‎AFAD 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11. 将数‎4790000‎用科学记数法表示为________．‎ ‎12. 在函数y=‎xx-7‎中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎13. 已知反比例函数y=‎kx的图象经过点‎(-3, 4)‎，则k的值为________．‎ ‎14. 计算‎24‎‎+6‎‎1‎‎6‎的结果是________．‎ ‎15. 把多项式m‎2‎n+6mn+9n分解因式的结果是________．‎ ‎16. 抛物线y＝‎3(x-1‎)‎‎2‎+8‎的顶点坐标为________．‎ ‎17. 不等式组x‎3‎‎≤-1,‎‎3x+5<2‎‎ ‎的解集是________．‎ ‎18. 一个扇形的面积是‎13πcm‎2‎，半径是‎6cm，则此扇形的圆心角是________度．‎ ‎19. 在‎△ABC中，‎∠ABC＝‎60‎‎∘‎，AD为BC边上的高，AD＝‎6‎‎3‎，CD＝‎1‎，则BC的长为________．‎ ‎20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝‎2BE，‎∠DAE＝‎∠DEA，EO＝‎1‎，则线段AE的长为________．‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21. 先化简，再求代数式‎(1-‎2‎x+1‎)÷‎x‎2‎‎-1‎‎2x+2‎的值，其中x＝‎4cos‎30‎‎∘‎-1‎．‎ ‎22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为‎1‎，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且‎△CDG的周长为‎10+‎‎10‎．连接EG，请直接写出线段EG的长．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎23. 为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的‎30%‎．请你根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）请通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）若冬威中学共有‎800‎名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．‎ ‎24. 已知：在‎△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．‎ ‎（1）如图‎1‎，求证：AD＝AE；‎ ‎（2）如图‎2‎，当‎∠DAE＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎时，过点B作BF // AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图‎2‎中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于‎45‎‎∘‎．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买‎1‎个大地球仪和‎3‎个小地球仪需用‎136‎元；若购买‎2‎个大地球仪和‎1‎个小地球仪需用‎132‎元．‎ ‎（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；‎ ‎（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共‎30‎个，总费用不超过‎960‎元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？‎ ‎26. 已知：‎⊙O是‎△ABC的外接圆，AD为‎⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．‎ ‎（1）如图‎1‎，求证：‎∠BFC＝‎3∠CAD；‎ ‎（2）如图‎2‎，过点D作DG // BF交‎⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；‎ ‎（3）如图‎3‎，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，‎△AOF的面积为‎9‎‎2‎‎5‎，求线段CG的长．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y=‎3‎‎4‎x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝‎9‎．‎ ‎（1）如图‎1‎，求直线AB的解析式；‎ ‎（2）如图‎2‎，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；‎ ‎（3）如图‎3‎，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若‎∠DHE＝‎∠DPH，GQ-FG=‎2‎AF，求点P的坐标．‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.B ‎4.C ‎5.B ‎6.D ‎7.A ‎8.D ‎9.A ‎10.C 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11.‎‎4.79×‎‎10‎‎6‎ ‎12.‎x≠7‎ ‎13.‎‎-12‎ ‎14.‎‎3‎‎6‎ ‎15.‎n(m+3‎‎)‎‎2‎ ‎16.‎‎(1, 8)‎ ‎17.‎x≤-3‎ ‎18.‎‎130‎ ‎19.‎5‎或‎7‎ ‎20.‎‎2‎‎2‎ 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）‎ ‎21.原式‎=x-1‎x+1‎⋅‎‎2(x+1)‎‎(x-1)(x+1)‎ ‎=‎‎2‎x+1‎‎，‎ ‎∵ x＝‎4cos‎30‎‎∘‎-1‎＝‎4×‎3‎‎2‎-1‎＝‎2‎3‎-1‎，‎ ‎∴ 原式‎=‎2‎‎2‎3‎-1+1‎=‎‎3‎‎3‎．‎ ‎22.如图，正方形ABEF即为所求．‎ 如图，‎△CDG即为所求．‎ ‎23.在这次调查中，一共抽取了‎50‎名学生；‎ 冬威中学‎800‎名学生中最喜欢剪纸小组的学生有‎320‎名 ‎24.证明：∵ AB＝AC，‎ ‎∵ ‎∠B＝‎∠C，‎ 在‎△ABD和‎△ACE中，‎ AB=AC‎∠B=∠CBD=CE‎ ‎‎，‎ ‎∴ ‎△ABD≅△ACE(SAS)‎，‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∴ AD＝AE；‎ ‎∵ AD＝AE，‎ ‎∴ ‎∠ADE＝‎∠AED，‎ ‎∵ BF // AC，‎ ‎∴ ‎∠FDB＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠ABC＝‎∠C＝‎∠DAE＝‎45‎‎∘‎，‎∠BDF＝‎∠ADE，‎ ‎∴ ‎∠F＝‎∠BDF，‎∠BEA＝‎∠BAE，‎∠CDA＝‎∠CAD，‎ ‎∴ 满足条件的等腰三角形有：‎△ABE，‎△ACD，‎△DAE，‎△DBF．‎ ‎25.每个大地球仪‎52‎元，每个小地球仪‎28‎元；‎ 最多可以购买‎5‎个大地球仪 ‎26.∵ AD为‎⊙O的直径，AD⊥BC，‎ ‎∴ BE＝EC，‎ ‎∴ AB＝AC，‎ 又∵ AD⊥BC，‎ ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠CAD，‎ ‎∵ OA＝OB，‎ ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠ABO，‎ ‎∴ ‎∠BAD＝‎∠ABO＝‎∠CAD，‎ ‎∵ ‎∠BFC＝‎∠BAC+∠ABO，‎ ‎∴ ‎∠BFC＝‎∠BAD+∠EAD+∠ABO＝‎3∠CAD；‎ 如图‎2‎，连接AG，‎ ‎∵ AD是直径，‎ ‎∴ ‎∠AGD＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ 点H是DG中点，‎ ‎∴ DH＝HG，‎ 又∵ AO＝DO，‎ ‎∴ OH // AG，AG＝‎2OH，‎ ‎∴ ‎∠AGD＝‎∠OHD＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ DG // BF，‎ ‎∴ ‎∠BOE＝‎∠ODH，‎ 又∵ ‎∠OEB＝‎∠OHD＝‎90‎‎∘‎，BO＝DO，‎ ‎∴ ‎△BOE≅△ODH(AAS)‎，‎ ‎∴ BE＝OH；‎ 如图‎3‎，过点F作FN⊥AD，交AD于N，‎ 设DG＝DE＝‎2x，‎ ‎∴ DH＝HG＝x，‎ ‎∵ ‎△BOE≅△ODH，‎ ‎∴ OE＝DH＝x，‎ ‎∴ OD＝‎3x＝OA＝OB，‎ ‎∴ BE=OB‎​‎‎2‎-OE‎​‎‎2‎=‎9x‎​‎‎2‎-x‎​‎‎2‎=2‎2‎x，‎ ‎∵ ‎∠BAE＝‎∠CAE，‎ ‎∴ tan∠BAE＝tan∠CAE=BEAE=‎NFAN，‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∴ ‎2‎2‎x‎4x‎=‎NFAN，‎ ‎∴ AN=‎2‎NF，‎ ‎∵ ‎∠BOE＝‎∠NOF，‎ ‎∴ tan∠BOE＝tan∠NOF=BEOE=‎NFON，‎ ‎∴ ‎2‎2‎xx‎=‎NFON，‎ ‎∴ ON=‎2‎‎4‎NF，‎ ‎∴ AO＝AN+ON=‎5‎‎2‎‎4‎NF，‎ ‎∵ ‎△AOF的面积为‎9‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴ ‎1‎‎2‎‎×AO×NF=‎1‎‎2‎×‎5‎‎2‎‎4‎NF‎2‎=‎‎9‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴ NF=‎‎6‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴ AO=‎5‎‎2‎‎4‎NF＝‎3‎＝‎3x，‎ ‎∴ x＝‎1‎，‎ ‎∴ BE＝‎2‎2‎=OH，AE＝‎4‎，DG＝DE＝‎2‎，‎ ‎∴ AC=AE‎​‎‎2‎+CE‎​‎‎2‎=‎16+8‎=2‎‎6‎，‎ 如图‎3‎，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，‎ 由（1）可知：AG＝‎2OH＝‎4‎‎2‎，‎ ‎∵ 四边形ADGC是圆内接四边形，‎ ‎∴ ‎∠ACM＝‎∠ADG，‎ 又∵ ‎∠AMC＝‎∠AGD＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎△ACM∽△ADG，‎ ‎∴ ADAC‎=AGAM=‎DGCM，‎ ‎∴ ‎6‎‎2‎‎6‎‎=‎4‎‎2‎AM=‎‎2‎CM，‎ ‎∴ CM=‎‎2‎‎6‎‎3‎，AM=‎‎8‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴ GM=AG‎​‎‎2‎-AM‎​‎‎2‎=‎32-‎‎64‎‎3‎=‎‎4‎‎6‎‎3‎，‎ ‎∴ CG＝GM-CM=‎‎2‎‎6‎‎3‎．‎ ‎27.∵ CM⊥y轴，OM＝‎9‎，‎ ‎∴ y＝‎9‎时，‎9=‎3‎‎4‎x，解得x＝‎12‎，‎ ‎∴ C(12, 9)‎，‎ ‎∵ AC⊥x轴，‎ ‎∴ A(12, 0)‎，‎ ‎∵ OA＝OB，‎ ‎∴ B(0, -12)‎，‎ 设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有b=-12‎‎12k+b=0‎‎ ‎，‎ 解得k=1‎b=-12‎‎ ‎，‎ ‎∴ 直线AB的解析式为y＝x-12‎．‎ 如图‎2‎中，‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∵ ‎∠CMO＝‎∠MOA＝‎∠OAC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ 四边形OACM是矩形，‎ ‎∴ AO＝CM＝‎12‎，‎ ‎∵ NC＝OM＝‎9‎，‎ ‎∴ MN＝CM-NC＝‎12-9‎＝‎3‎，‎ ‎∴ N(3, 9)‎，‎ ‎∴ 直线ON的解析式为y＝‎3x，设点E的横坐标为‎4a，则D(4a, 0)‎，‎ ‎∴ OD＝‎4a，‎ 把x＝‎4a，代入y=‎3‎‎4‎x中，得到y＝‎3a，‎ ‎∴ E(4a, 3a)‎，‎ ‎∴ DE＝‎3a，‎ 把x＝‎4a代入，y＝‎3x中，得到y＝‎12a，‎ ‎∴ P(4a, 12a)‎，‎ ‎∴ PD＝‎12a，‎ ‎∴ PE＝PD-DE＝‎12a-3a＝‎9a，‎ ‎∴ PEOD‎=‎‎9‎‎4‎．‎ 如图‎3‎中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．‎ ‎∵ GF // x轴，‎ ‎∴ ‎∠OSR＝‎∠MOA＝‎90‎‎∘‎，‎∠CAO＝‎∠R＝‎90‎‎∘‎，‎∠BOA＝‎∠BSG＝‎90‎‎∘‎，‎∠OAB＝‎∠AFR，‎ ‎∴ ‎∠OFR＝‎∠R＝‎∠AOS＝‎∠BSG＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ 四边形OSRA是矩形，‎ ‎∴ OS＝AR，‎ AR‎＝OA＝‎12‎，‎ ‎∵ OA＝OB，‎ ‎∴ ‎∠OBA＝‎∠OAB＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠FAR＝‎90‎‎∘‎‎-‎‎45‎‎∘‎＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠FAR＝‎∠AFR，‎ ‎∴ FR＝AR＝OS，‎ ‎∵ OF⊥FQ，‎ ‎∴ ‎∠OSR＝‎∠R＝‎∠OFQ＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠OFS+∠QFR＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠QFR+∠FQR＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠OFS＝‎∠FQR，‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∴ ‎△OFS≅△FQR(AAS)‎，‎ ‎∴ SF＝QR，‎ ‎∵ ‎∠SFB＝‎∠AFR＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠SBF＝‎∠SFB＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ SF＝SB＝QR，‎ ‎∵ ‎∠SGB＝‎∠QGR，‎∠BSG＝‎∠R，‎ ‎∴ ‎△BSG≅△QRG(AAS)‎，‎ ‎∴ SG＝GR＝‎6‎，‎ 设FR＝m，则AR＝m，AF=‎2‎m，QR＝SF＝‎12-m，‎ ‎∵ GQ-FG=‎2‎AF，‎ ‎∴ GQ=‎2‎×‎2‎m+6-m＝m+6‎，‎ ‎∵ GQ‎2‎＝GR‎2‎+QR‎2‎，‎ ‎∴ ‎(m+6‎‎)‎‎2‎＝‎6‎‎2‎‎+(12-m‎)‎‎2‎，‎ 解得m＝‎4‎，‎ ‎∴ FS＝‎8‎，AR＝‎4‎，‎ ‎∵ ‎∠OAB＝‎∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，‎ ‎∴ FT＝FR＝AR＝‎4‎，‎∠OTF＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ 四边形OSFT是矩形，‎ ‎∴ OT＝SF＝‎8‎，‎ ‎∵ ‎∠DHE＝‎∠DPH，‎ ‎∴ tan∠DHE＝tan∠DPH，‎ ‎∴ DEDH‎=‎DHPD，‎ 由（2）可知DE＝‎3a，PD＝‎12a，‎ ‎∴ ‎3aDH‎=‎DH‎12a，‎ ‎∴ DH＝‎6a，‎ ‎∴ tan∠PHD=PDDH=‎12a‎6a=2‎，‎ ‎∵ ‎∠PHD＝‎∠FHT，‎ ‎∴ tan∠FHT=TFHT=2‎，‎ ‎∴ HT＝‎2‎，‎ ‎∵ OT＝OD+DH+HT，‎ ‎∴ ‎4a+6a+2‎＝‎8‎，‎ ‎∴ a=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴ OD=‎‎12‎‎5‎，PD＝‎12×‎3‎‎5‎=‎‎36‎‎5‎，‎ ‎∴ P(‎12‎‎5‎, ‎36‎‎5‎)‎．‎ ‎ 10 / 10‎