【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试25 锐角三角形（培优提高）（教师版） 17页

专题 25 锐角三角形（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2018·湖南中考模拟）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知 AB＝20 米，AC＝30 米，∠A＝150°， 草皮的售价为 a 元/米 2，则购买草皮至少需要（ ） A．450a 元 B．225a 元 C．150a 元 D．300a 元 【答案】C 【详解】如图，过点 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D， ∵∠BAC=150°， ∴∠DAC=30°， ∵CD⊥BD，AC=30m， ∴CD=15m， ∵AB=20m， ∴S△ABC= 1 2 AB×CD= 1 2 ×20×15=150m2， ∵草皮的售价为 a 元/米 2， ∴购买这种草皮的价格：150a 元． 故选 C． 2．（2017·广西中考模拟）点 M(－sin60°，cos60°)关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A．( 3 2 ， 1 2 ) B．(－ 3 2 ，－ 1 2 ) C．(－ 3 2 ， 1 2 ) D．(－ 1 2 ，－ 3 2 ) 【答案】B 【详解】 ∵点（-sin60°，cos60°）即为点（- 3 2 ， 1 2 ）， ∴点（-sin60°，cos60°）关于 y 轴对称的点的坐标是（ 3 2 ， 1 2 ）． 故选 A． 3．（2018·内蒙古中考真题）如图，在△ABC 中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点 B 为圆心，AB 长为半 径画弧，交 BC 于点 D，则图中阴影部分的面积是（ ） A．2﹣ 3  B．2﹣ 6  C．4﹣ 3  D．4﹣ 6  【答案】A 【详解】 如图，过 A 作 AE⊥BC 于 E， ∵AB=2，∠ABC=30°， ∴AE= 1 2 AB=1， 又∵BC=4， ∴阴影部分的面积是 1 2 ×4×1- 230 2 360   =2- 1 3 π， 故选 A． 4．（2019·辽宁中考模拟）如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得∠ABC= ，∠ADC=  ，则竹 竿 AB 与 AD 的长度之比为 ( ) A． tan tan   B． sin sin   C． sin sin   D． cos cos   【答案】B 【详解】 在 Rt△ABC 中，AB= AC sin ， 在 Rt△ACD 中，AD= AC sin ， ∴AB：AD= AC sin ： AC sin = sin sin   ， 故选 B． 5．（2013·四川中考真题）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE=2，DE=6， ∠EFB=60°，则矩形 ABCD 的面积是（ ） A．12 B．24 C．12 3 D．16 3 【答案】D 【解析】 如图，连接 BE， ∵在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∠EFB=60°， ∴∠AEF=180°-∠EFB=180°－60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°。 ∵把矩形 ABCD 沿 EF 翻折点 B 恰好落在 AD 边的 B′处， ∴∠BEF=∠DEF=60°。 ∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°－60°=60°。 在 Rt△ABE 中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2 3 。 ∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8。 ∴矩形 ABCD 的面积=AB•AD=2 3 ×8=16 3 。故选 D。 6．（2016·陕西中考真题）已知抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C， 连接 AC、BC，则 tan∠CAB 的值为（ ） A． 1 2 B． 5 5 C． 2 5 5 D．2 【答案】C 【详解】 令 y=0，则-x2-2x+3=0，解得 x=1 或-3， 所以抛物线 y=-x2-2x+3 与 x 轴的交点坐标为（1，0），（-3，0）， 可设点 A（-3，0），点 B（1，0）， 由函数解析式可得抛物线顶点 C 坐标为（-1，4）. 如图，画出函数图象，作 CD⊥AB 于 D，连接 AC， 在△ACD 中，CD=4，AD=2， 则 tan∠CAB= CD AD =2. 故选 D. 7．（2014·湖南中考真题）如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i＝1∶1.5，则坝底 AD 的长度为( ) A．26 米 B．28 米 C．30 米 D．46 米 【答案】D 【解析】 ∵坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i=1：1.5， ∴AE=1.5BE=18 米， ∵BC=10 米， ∴AD=2AE+BC=2×18+10=46 米， 故选 D． 8．（2019·广西中考真题）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高 AB 为 1.5 米，她先站在 A 处看路灯顶端 O 的仰角为 35 ，再往前走 3 米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为 65，则 路灯顶端 O 到地面的距离约为（已知sin35 0.6 , cos35 0.8    ， tan35 0.7 , sin 65 0.9    ， cos65 0.4 , tan 65 2.1    ）（ ） A．3.2米 B．3.9米 C． 4.7 米 D．5.4米 【答案】C 【详解】 过点 O 作OE AC 于点 F ，延长 BD 交 OE 于点 F ， 设 DF x ， ∵ tan 65 OF DF   ， ∴ tan65OF x  ， ∴ 3BD x  ， ∵ tan35 OF BF   ， ∴ ( )3 tan35OF x   ， ∴ 2.1 0. )7 3(x x  ， ∴ 1.5x  ， ∴ 1.5 2.1 3.15OF    ， ∴ 3.15 1.5 4.65OE    ， 故选：C． 9．（2019·湖南中考真题）如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离灯塔 60 n mile 的小岛 A 出 发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距 离是( ) A． 30 3 n mile B．60 n mile C．120 n mile D． (30 30 3) n mile 【答案】D 【详解】 过 C 作 CD⊥AB 于 D 点， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在 Rt△ACD 中，cos∠ACD= CD AC ， ∴CD=AC•cos∠ACD=60× 3 30 32  ． 在 Rt△DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=30 3 ， ∴AB=AD+BD=30+30 3 ． 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是（30+30 3 ）nmile． 故选 D． 10．（2019·辽宁中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 和点 D 是⊙O 上位于直径 AB 两侧的点，连接 AC，AD，BD，CD，若⊙O 的半径是 13，BD＝24，则 sin∠ACD 的值是（ ） A．12 13 B．12 5 C． 5 12 D． 5 13 【答案】D 【详解】 ∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵⊙O 的半径是 13， ∴AB＝2×13＝26， 由勾股定理得：AD＝10， ∴sin∠B＝ 10 5 26 13 AD AB   ∵∠ACD＝∠B， ∴sin∠ACD＝sin∠B＝ 5 13 ， 故选 D． 11．（2012·四川中考模拟）如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，cos A= 3 5 ，BE=2，则 tan∠DBE 的值（ ） A． 1 2 B．2 C． 5 2 D． 5 5 【答案】B 【详解】 试题解析： 设 AE=3x， ∵ 3cos 5A  ， 3.5 AE AD   5 ,AD x  ∴BE=5x−3x=2x=2， ∴x=1, ∴AD=5,AE=3, 2 2 2 25 3 4DE AD AE x      tan 2.DEDBE BE     故选 B. 12．（2019·黑龙江中考模拟）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米，∠B=36°，则中 柱 AD（D 为底边中点）的长是（ ） A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 【答案】C 【详解】 ∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10 米， ∴DC=BD=5 米， 在 Rt△ADC 中，∠B=36°， ∴tan36°= AD BD ，即 AD=BD•tan36°=5tan36°（米）． 故选 C． 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2018·邹平新华卓越培训学校中考模拟）如图，在直角△BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC= 1 2 BD， 连接 AC，若 tanB= 5 3 ，则 tan∠CAD 的值________. 【答案】 1 5 【解析】 如图，延长 AD，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E， ∵tanB= 5 3 ， ∴ 5 3 AD AB  ， ∴设 AD=5x，则 AB=3x， ∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD， ∴△CDE∽△BDA， ∴ CE DE CD AB AD BD   = 1 2 ， ∴CE= 3 2 x ，DE= 5 2 x ， ∴AE=15 2 x ， ∴tan∠CAD= EC AE = 1 5 ， 故答案为 1 5 ． 14．（2019·辽宁中考模拟）如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部 B 处测得 乙楼底部 D 处的俯角是 45°，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是_____m（结果保留根号） 【答案】40 3 【详解】由题意可得：∠BDA=45°， 则 AB=AD=120m， 又∵∠CAD=30°， ∴在 Rt△ADC 中， tan∠CDA=tan30°= 3 3 CD AD  ， 解得：CD=40 3 （m）， 故答案为：40 3 ． 15．（2018·山东中考模拟）如图，一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= k x （k＞0）的图象相交于 A、B 两点，与 x 轴交与点 C，若 tan∠AOC= 1 3 ，则 k 的值为_____． 【答案】3 【详解】如图，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D， ∵tan∠AOC= AD OD = 1 3 ，∴设点 A 的坐标为（3a，a）， ∵一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= k x （k＞0）的图象相交于 A、B 两点， ∴a=3a﹣2，得 a=1， ∴1= 3 k ，得 k=3， 故答案为：3． 16．（2019·山东中考模拟）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处 测得 A，B 两点的俯角分别为 45 和 30 . 若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直 线上，则这条江的宽度 AB 为______米 ( 结果保留根号 ) ． 【答案】  1200 3 1 【详解】由于 CD / /HB， CAH ACD 45     ， B BCD 30    ， 在 Rt ACH 中， CAH 45  oQ ， AH CH 1200   米， 在 Rt HCB ， CHtan B HB  Q ， CH 1200 1200HB 1200 3(tan B tan30 3 3     o 米 ) ，  AB HB HA 1200 3 1200 1200 3 1       米， 故答案为：  1200 3 1 . 17．（2019·安徽中考模拟）已知△ABC 中，AB=10，AC=2 7 ，∠B=30°，则△ABC 的面积等于_____． 【答案】15 3 或 10 3 【解析】 作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D， ①如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时， 在 Rt△ABD 中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 3 ， 在 Rt△ACD 中，∵AC=2 7 ， ∴CD= 2 2 2 2= (2 7) 5 = 3AC AD  ， 则 BC=BD+CD=6 3 ， ∴S△ABC= 1 2 •BC•AD= 1 2 ×6 3 ×5=15 3 ； ②如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时， 由①知，BD=5 3 ，CD= 3 ， 则 BC=BD-CD=4 3 ， ∴S△ABC= 1 2 •BC•AD= 1 2 ×4 3 ×5=10 3 ． 综上，△ABC 的面积是 15 3 或 10 3 ， 故答案为 15 3 或 10 3 ． 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2019·湖北中考模拟）如图，某人在山坡坡脚 C 处测得一座建筑物顶点 A 的仰角为 63.4°，沿山坡向上 走到 P 处再测得该建筑物顶点 A 的仰角为 53°．已知 BC＝90 米，且 B、C、D 在同一条直线上，山坡坡度 i＝5：12． (1)求此人所在位置点 P 的铅直高度．(结果精确到 0.1 米) (2)求此人从所在位置点 P 走到建筑物底部 B 点的路程(结果精确到 0.1 米)(测倾器的高度忽略不计，参考数 据：tan53°≈ 4 3 ，tan63.4°≈2) 【答案】（1）此人所在 P 的铅直高度约为 14.3 米；（2）从 P 到点 B 的路程约为 127.1 米 【解析】 过 P 作 PF⊥BD 于 F，作 PE⊥AB 于 E， ∵斜坡的坡度 i＝5:12， 设 PF＝5x，CF＝12x， ∵四边形 BFPE 为矩形， ∴BF＝PEPF＝BE. 在 RT△ABC 中，BC＝90， tan∠ACB＝ AB BC ， ∴AB＝tan63.4°×BC≈2×90＝180， ∴AE＝AB－BE＝AB－PF＝180－5x， EP＝BC＋CF≈90＋120x. 在 RT△AEP 中， tan∠APE＝ 180 5 4 90 12 3 AE x EP x  ＝ ＋ ， ∴x＝ 20 7 ， ∴PF＝5x＝ 100 14.37  . 答：此人所在 P 的铅直高度约为 14.3 米. 由(1)得 CP＝13x， ∴CP＝13× 20 7  37.1，BC＋CP＝90＋37.1＝127.1. 答：从 P 到点 B 的路程约为 127.1 米. 19．（2019·山东中考模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建．如 图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车 可直接沿直线 AB 行驶．已知 BC=80 千米，∠A= 45°，∠B=30°． （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1 千米）（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73） 【答案】（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米；（2）汽车从 A 地到 B 地比原来少走的 路程为 27.2 千米 【解析】 1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， ∵AB⊥CD，sin30°= CD BC ，BC=80 千米， ∴CD=BC•sin30°=80× （千米）， AC= 40 =40 2sin 45 2 2 CD  （千米）， AC+BC=80+40 2 ≈40×1.41+80=136.4（千米）， 答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米； （2）∵cos30°= BD BC ，BC=80（千米）， ∴BD=BC•cos30°=80× 3 40 32  （千米）， ∵tan45°= CD AD ，CD=40（千米）， ∴AD= 40 40tan 45 1 CD   （千米）， ∴AB=AD+BD=40+40 3 ≈40+40×1.73=109.2（千米）， ∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）． 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为 27.2 千米． 20．（2018·甘肃中考真题）如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在 B 处，E 处分别测得 CD 顶部点 D 的仰角为30 ， 60 ，求 CD 的高度.( 结果保留根号 ) 【答案】CD 的高度是 99 3 2     米． 【详解】 如图，作 BF CD 于点 F，设 DF x 米， 在 Rt DBF 中， DFtan DBF BF   ， 则 DF xBF 3xtan DBF tan30  o ， 在直角 DCE 中， DC x CF 3 x(    米 ) ， 在直角 ABF 中， DCtan DEC EC   ，则  DC 3 x 3EC x 3tan DEC tan60 3    o 米， BF CE AE Q ，即  33x x 3 183    ， 解得： 3x 9 3 2   ， 则 3 9CD 9 3 3 9 3 (2 2      米 ) ， 答：CD 的高度是 99 3 2     米． 21．（2019·山东中考模拟）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 AB，CD，大楼的底部 B，D 在同一平面 上，两幢楼之间的距离 BD 长为 24 米，小明在点 E（B，E，D 在一条直线上）处测得教学楼 AB 顶部的仰 角为 45°，然后沿 EB 方向前进 8 米到达点 G 处，测得教学楼 CD 顶部的仰角为 30°．已知小明的两个观测 点 F，H 距离地面的高度均为 1.6 米，求教学楼 AB 的高度 AB 长．（精确到 0.1 米）参考值： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73． 【答案】教学楼 AB 的高度 AB 长 13.3m． 【详解】 延长 HF 交 CD 于点 N，延长 FH 交 AB 于点 M，如图所示， 由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m， 设 AM=xm，则 CN=xm， 在 Rt△AFM 中，MF= tan 45 1 AM x =x， 在 Rt△CNH 中，HN= 3tan30 3 3 CN x x  ， ∴HF=MF+HN﹣MN=x+ 3 x﹣24， 即 8=x+ 3 x﹣24， 解得，x≈11.7， ∴AB=11.7+1.6=13.3m， 答：教学楼 AB 的高度 AB 长 13.3m．