2020年广西桂林中考数学试卷【含答案】 9页

1 / 9 2020 年广西桂林中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1. 有理数2，1，−1，0中，最小的数是（ ） A.2 B.1 C.−1 D.0 2. 如图，直线푎，푏被直线푐所截，푎 // 푏，∠1＝50∘，则∠2的度数是（ ） A.40∘ B.50∘ C.60∘ D.70∘ 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A.调查一批灯泡的使用寿命 B.调查漓江流域水质情况 C.调查桂林电视台某栏目的收视率 D.调查全班同学的身高 4. 下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 若√푥 − 1 = 0，则푥的值是（ ） A.−1 B.0 C.1 D.2 6. 因式分解푎2 − 4的结果是（ ） A.(푎 + 2)(푎 − 2) B.(푎 − 2)2 C.(푎 + 2)2 D.푎(푎 − 2) 7. 下列计算正确的是（ ） A.푥 ⋅ 푥＝2푥 B.푥 + 푥＝2푥 C.(푥3)3＝푥6 D.(2푥)2＝2푥2 8. 直线푦＝푘푥 + 2过点(−1,  4)，则푘的值是（ ） A.−2 B.−1 C.1 D.2 9. 不等式组{푥 − 1 > 0 5 − 푥 ≥ 1 的整数解共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10. 如图，퐴퐵是⊙ 푂的弦，퐴퐶与⊙ 푂相切于点퐴，连接푂퐴，푂퐵，若∠푂＝130∘，则 ∠퐵퐴퐶的度数是（ ） A.60∘ B.65∘ C.70∘ D.75∘ 11. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比 赛的球队有푥支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A.1 2 푥(푥 + 1)＝110 B.1 2 푥(푥 − 1)＝110 C.푥(푥 + 1)＝110 D.푥(푥 − 1)＝110 12. 如图，已知퐴퐵̂ 的半径为5，所对的弦퐴퐵长为8，点푃是퐴퐵̂ 的中点，将퐴퐵̂ 绕点퐴逆 时针旋转90∘后得到퐴퐵′̂ ，则在该旋转过程中，点푃的运动路径长是（ ） A.√5 2 휋 B.√5휋 C.2√5휋 D.2휋 2 / 9 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 13. 2020的相反数是________． 14. 计算：푎푏 ⋅ (푎 + 1)＝________． 15. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐶＝90∘，퐴퐵＝13，퐴퐶＝5，则cos퐴的值是________． 16. 一个正方体的平面展开图如图所示，任选该正方体的一面出现“我”字的概率 是________． 17. 反比例函数푦 = 푘 푥 (푥 < 0)的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论： ①푘 > 0；②当푥 < 0时，푦随푥的增大而增大；③该函数图象关于直线푦＝−푥对称；④ 若点(−2,  3)在该反比例函数图象上，则点(−1,  6)也在该函数的图象上．其中正确结 论的个数有________个． 18. 如图，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，퐴퐵＝퐴퐶＝4，点퐸，퐹分别是퐴퐵，퐴퐶的中点，点푃是扇 形퐴퐸퐹的퐸퐹̂ 上任意一点，连接퐵푃，퐶푃，则1 2 퐵푃 + 퐶푃的最小值是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤） 19. 计算：(휋 + √3)0 + (−2)2 + | − 1 2 | − sin30∘． 20. 解二元一次方程组：{2푥 + 푦 = 1, 4푥 − 푦 = 5. ． 3 / 9 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ 퐴퐵퐶的三个顶点分别是퐴(1,  3)，퐵(4,  4)，퐶(2,  1)． （1）把△ 퐴퐵퐶向左平移4个单位后得到对应的△ 퐴1퐵1퐶1，请画出平移后的△ 퐴1퐵1퐶1； （2）把△ 퐴퐵퐶绕原点푂旋转180∘后得到对应的△ 퐴2퐵2퐶2，请画出旋转后的△ 퐴2퐵2퐶2； （3）观察图形可知，△ 퐴1퐵1퐶1与△ 퐴2퐵2퐶2关于点(________,________)中心对称． 22. 阅读下列材料，完成解答： 材料1：国家统计局2月28日发布了2019年国民经济和社会发展统计公报，该公报中 的如图发布的是全国“2015 − 2019年快递业务量及其增长速度”统计图（如图1）． 材料2: 6月28日，国家邮政局发布的数据显示：受 XXXX 影响，快递业务量快速增长， 5月份快递业务量同比增长41%（如图2）．某快递业务部门负责人据此估计，2020年 全国快递业务量将比2019年增长50%． （1）2018年，全国快递业务量是________亿件，比2017年增长了________%； （2）2015 − 2019年，全国快递业务量增长速度的中位数是________%； （3）统计公报发布后，有人认为，图1中表示2016 − 2019年增长速度的折线逐年下 降，说明2016 − 2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，所以快递业务量也逐年 减少．你赞同这种说法吗？为什么？ （4）若2020年全国快递业务量比2019年增长50%，请列式计算2020年的快递业务量． 4 / 9 23. 如图，在菱形퐴퐵퐶퐷中，点퐸，퐹分别是边퐴퐷，퐴퐵的中点． （1）求证：△ 퐴퐵퐸 ≅△ 퐴퐷퐹； （2）若퐵퐸 = √3，∠퐶＝60∘，求菱形퐴퐵퐶퐷的面积． 24. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组 使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8 元． （1）求每副围棋和象棋各是多少元？ （2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元， 则该校最多可再购买多少副围棋？ 25. 如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠퐶퐴퐵 ＝30∘，∠퐷퐴퐵＝45∘，点푂为斜边퐴퐵的中点，连接퐶퐷交퐴퐵于点퐸． 5 / 9 （1）求证：퐴，퐵，퐶，퐷四个点在以点푂为圆心的同一个圆上； （2）求证：퐶퐷平分∠퐴퐶퐵； （3）过点퐷作퐷퐹 // 퐵퐶交퐴퐵于点퐹，求证：퐵푂2 + 푂퐹2＝퐸퐹 ⋅ 퐵퐹． 26. 如图，已知抛物线푦＝푎(푥 + 6)(푥 − 2)过点퐶(0,  2)，交푥轴于点퐴和点퐵（点퐴在点 퐵的左侧），抛物线的顶点为퐷，对称轴퐷퐸交푥轴于点퐸，连接퐸퐶． （1）直接写出푎的值，点퐴的坐标和抛物线对称轴的表达式； （2）若点푀是抛物线对称轴퐷퐸上的点，当△ 푀퐶퐸是等腰三角形时，求点푀的坐标； （3）点푃是抛物线上的动点，连接푃퐶，푃퐸，将△ 푃퐶퐸沿퐶퐸所在的直线对折，点푃落 在坐标平面内的点푃′处．求当点푃′恰好落在直线퐴퐷上时点푃的横坐标． 6 / 9 参考答案与试题解析 2020 年广西桂林中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.D 12.B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 13.−2020 14.푎2푏 + 푎푏 15. 5 13 16.1 3 17.3 18.√17 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤） 19.原式＝1 + 4 + 1 2 − 1 2 ＝5． 20.①+②得：6푥＝6， 解得：푥＝1， 把푥＝1代入①得：푦＝−1， 则方程组的解为{ 푥 = 1 푦 = −1 ． 21.如图所示，△ 퐴1퐵1퐶1即为所求； 如图所示，△ 퐴2퐵2퐶2即为所求； −2,0 22.507.1,26.6 28 不赞同，理由：由图1中的信息可得，2016 − 2019年全国快递业务量增长速度逐年放 缓，但是快递业务量却逐年增加； 635.2 × (1 + 50%)＝852.82， 答：2020年的快递业务量为852.82亿件． 故答案为：507.1，26.6，28． 23.证明：∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是菱形， 7 / 9 ∴ 퐴퐵＝퐴퐷，∵ 点퐸，퐹分别是边퐴퐷，퐴퐵的中点， ∴ 퐴퐹＝퐴퐸， 在△ 퐴퐵퐸和△ 퐴퐷퐹中，{ 퐴퐵 = 퐴퐷 ∠퐴 = ∠퐴 퐴퐸 = 퐴퐹 ， ∴ △ 퐴퐵퐸 ≅△ 퐴퐷퐹(푆퐴푆)； 连接퐵퐷，如图： ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是菱形， ∴ 퐴퐵＝퐴퐷，∠퐴＝∠퐶＝60∘， ∴ △ 퐴퐵퐷是等边三角形， ∵ 点퐸是边퐴퐷的中点， ∴ 퐵퐸 ⊥ 퐴퐷， ∴ ∠퐴퐵퐸＝30∘， ∴ 퐴퐸 = √3 3 퐵퐸＝1，퐴퐵＝2퐴퐸＝2， ∴ 퐴퐷＝퐴퐵＝2， ∴ 菱形퐴퐵퐶퐷的面积＝퐴퐷 × 퐵퐸＝2 × √3 = 2√3． 24.每副围棋18元，则每副象棋10元； 该校最多可再购买25副围棋 25.如图，连接푂퐷，푂퐶，在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐴퐶퐵＝90∘，点푂是퐴퐵的中点， ∴ 푂퐶＝푂퐴＝푂퐵， 在푅푡 △ 퐴퐵퐷中，∠퐴퐷퐵＝90∘，点푂是퐴퐵的中点， ∴ 푂퐷＝푂퐴＝푂퐵， ∴ 푂퐴＝푂퐵＝푂퐶＝푂퐷， ∴ 퐴，퐵，퐶，퐷四个点在以点푂为圆心的同一个圆上； 连接푂퐶，푂퐷，由 知，푂퐴＝푂퐶＝푂퐷， ∴ ∠푂퐶퐷＝∠푂퐷퐶， 在푅푡 △ 퐴퐵퐶中，∠퐵퐴퐶＝30∘， ∴ ∠퐴퐵퐶＝∠퐵푂퐶＝60∘， 在푅푡 △ 퐴퐵퐷中，∠퐷퐴퐵＝45∘， ∴ ∠퐴퐵퐷＝45∘＝∠퐷퐴퐵， ∴ 퐴퐷＝퐵퐷， ∵ 点푂是퐴퐵的中点， ∴ 푂퐷 ⊥ 퐴퐵， ∴ ∠퐵푂퐷＝90∘，∠푂퐷퐵 = 1 2 ∠퐴퐷퐵＝45∘， ∴ ∠퐶푂퐷＝150∘， ∴ ∠푂퐶퐷＝∠푂퐷퐶＝15∘， ∴ ∠퐵퐷퐶＝∠푂퐷퐵 − ∠푂퐷퐶＝30∘， ∵ ∠퐶퐵퐷＝∠퐴퐵퐶 + ∠퐴퐵퐷＝105∘， ∴ ∠퐵퐶퐷＝180∘ − ∠퐶퐵퐷 − ∠퐵퐷퐶＝45∘， ∴ ∠퐴퐶퐷＝90∘ − ∠퐵퐶퐷＝45∘＝∠퐵퐶퐷， ∴ 퐶퐷平分∠퐴퐶퐵； （1）由（2）知，∠퐵퐶퐷＝45∘， ∵ ∠퐴퐵퐶＝60∘， ∴ ∠퐵퐸퐶＝75∘， ∴ ∠퐴퐸퐷＝75∘， ∵ 퐷퐹 // 퐵퐶， ∴ ∠퐵퐹퐷＝∠퐴퐵퐶＝60∘， ∵ ∠퐴퐵퐷＝45∘， 8 / 9 ∴ ∠퐵퐷퐹＝180∘ − ∠퐵퐹퐷 − ∠퐴퐵퐷＝75∘＝∠퐴퐸퐷， ∵ ∠퐷퐹퐸＝∠퐵퐹퐷， ∴ △ 퐷퐸퐹 ∽△ 퐵퐷퐹， ∴ 퐷퐹 퐵퐹 = 퐸퐹 퐷퐹 ， ∴ 퐷퐹2＝퐵퐹 ⋅ 퐸퐹， 连接푂퐷，则∠퐵푂퐷＝90∘，푂퐵＝푂퐷， 在푅푡 △ 퐷푂퐹中，根据勾股定理得，푂퐷2 + 푂퐹2＝퐷퐹2， ∴ 푂퐵2 + 푂퐹2＝퐵퐹 ⋅ 퐸퐹， 即퐵푂2 + 푂퐹2＝퐸퐹 ⋅ 퐵퐹． 26.∵ 抛物线푦＝푎(푥 + 6)(푥 − 2)过点퐶(0,  2)， ∴ 2＝푎(0 + 6)(0 − 2)， ∴ 푎 = − 1 6 ， ∴ 抛物线的解析式为푦 = − 1 6 (푥 + 6)(푥 − 2) = − 1 6 (푥 + 2)2 + 8 3 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线푥＝−2； 如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为푥＝−2， ∴ 퐸(−2,  0)， ∵ 퐶(0,  2)， ∴ 푂퐶＝푂퐸＝2， ∴ 퐶퐸 = √2푂퐶＝2√2，∠퐶퐸퐷＝45∘， ∵ △ 퐶푀퐸是等腰三角形， ∴ ①当푀퐸＝푀퐶时， ∴ ∠퐸퐶푀＝∠퐶퐸퐷＝45∘， ∴ ∠퐶푀퐸＝90∘， ∴ 푀(−2,  2)， ②当퐶퐸＝퐶푀时， ∴ 푀푀1＝퐶푀＝2， ∴ 퐸푀1＝4， ∴ 푀1(−2,  4)， ③当퐸푀＝퐶퐸时， ∴ 퐸푀2＝퐸푀3＝2√2， ∴ 푀2(−2, −2√2)，푀3(−2,  2√2)， 即满足条件的点푀的坐标为(−2, −2)或(−2,  4)或(−2,  2√2)或(−2, −2√2)； 如图2， 由（1）知，抛物线的解析式为푦 = − 1 6 (푥 + 6)(푥 − 2) = − 1 6 (푥 + 2)2 + 8 3 ， ∴ 퐷(−2, 8 3)， 令푦＝0，则(푥 + 6)(푥 − 2)＝0， ∴ 푥＝−6或푥＝2， ∴ 点퐴(−6,  0)， ∴ 直线퐴퐷的解析式为푦 = 2 3 푥 + 4， 过点푃作푃푄 ⊥ 푥轴于푄，过点푃′作푃′푄′ ⊥ 퐷퐸于푄′， ∴ ∠퐸푄′푃′＝∠퐸푄푃＝90∘， 由（2）知，∠퐶퐸퐷＝∠퐶퐸퐵＝45∘， 由折叠知，퐸푃′＝퐸푃，∠퐶퐸푃′＝∠퐶퐸푃， ∴ △ 푃푄퐸 ≅△ 푃′푄′퐸(퐴퐴푆)， ∴ 푃푄＝푃′푄′，퐸푄＝퐸푄′， 设点푃(푚,  푛)， 9 / 9 ∴ 푂푄＝푚，푃푄＝푛， ∴ 푃′푄′＝푛，퐸푄′＝푄퐸＝푚 + 2， ∴ 点푃′(푛 − 2,  2 + 푚)， ∵ 点푃′在直线퐴퐷上， ∴ 2 + 푚 = 2 3 (푛 − 2) + 4①， ∵ 点푃在抛物线上， ∴ 푛 = − 1 6 (푚 + 6)(푚 − 2)②， 联立①②解得，푚 = −13−√241 2 （舍）或푚 = −13+√241 2 ， 即点푃的横坐标为−13+√241 2 ．