2014年1月虹口中考数学一模试题 7页

2013 学年上海市虹口区第一学期期末考试 数学试题（2014 年 1 月） （考试时间：100 分钟，满分：150 分） 一、 选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．下列函数中属于二次函数的是（ ） A． 2y x ； B． 2( 1)( 3)y x x   ； C． 32yx； D． 2 1xy x  ． 2．抛物线 2 32y x x   与 y 轴交点的坐标是（ ） A． 51 2 AC BC  ； B． 51 2 AC AB  ； C． 51 2 BC AB  ； D． 51 2 CB AC  ． 3．在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，若 a、b、c 分别∠A、∠B、∠C 的对边，则下列结论中，正确的是（ ） A． sinc A a； B． cosb B c； C． tana A b； D． tanc B b． 4．如图，若 AB // CD // EF，则下列结论中，与 AD AF 相等的是（ ） A． AB EF ； B． CD EF ； C． BO OE ； D． BC BE ． 5．如图，在△ABC 中，如果 DE 与 BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC 的是（ ） A．∠ADE =∠C； B．∠AED =∠B； C． AD DE AB BC ； D． AD AE AC AB ． 第4题图 FE DC O B A 第5题图 A B C D E 第6题图 F E A B C D 6．如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，若 EF = 2，BC = 5，CD = 3，则 sinC 的 值为（ ） A． 3 4 ； B． 4 3 ； C． 3 5 ； D． 4 5 ． 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．已知 : 3: 2xy ，则( ):xyx ． 8．计算： 22 cos45 sin 60   ． 9．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 AC=5，tanA = 2，则 BC= ． 10．写出抛物线 21 2yx 与抛物线 21 2yx 的一条共同特征是 ． 11．已知抛物线 22( 3) 1yx    ，当 123xx时， 12____yy．（填“>”或“<”） 12．将抛物线 23yx 平移，使其顶点移到点 P（– 2 , 1）的位置，则所得新抛物线的表达式是 ． 13．二次函数 2y ax bx c   图像上部分点的坐标满足下表： x … – 3 – 2 – 1 0 1 … y … – 3 – 2 – 3 – 6 – 11 … 则该函数图像的顶点坐标为 ． 14．在△ABC 中，EF // BC，AD⊥BC 交 EF 于点 G，EF = 4，BC = 5，AD = 3，则 AG = ． 第14题图 FE D A B C G 第15题图 FG D A B C 第16题图 C A B 15．如图，点 G 是△ABC 的重心，GF // BC， ,AB a AC b，用 ,ab表示GF  ． 16．如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ． 17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，深为 30cm，为方便残疾人士，将台阶改为 斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 1:5i  ，则 AC 的长度是 cm． 第17题图 B AC 18．如图，Rt△ABC 中，∠C =90°，AB = 5，AC = 3，在边 AB 上取一点 D，作 DE⊥AB 交 BC 于点 E．现 将△BDE 沿 DE 折叠，使点 B 落在线段 DA 上，对应点记为 B1；BD 的中点 F 的对应点记为 F1．若 △EFB ∽△AF1E，则 B1D = ． 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 已知：一个二次函数的图像经过（3，0）、（0，– 3）（1，– 4）三点，求这个二次函数解析式． 20．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分） 已知二次函数 217 22y x x    （1） 用配方法把该二次函数的解析式化为 2()y a x m k   的形式； （2） 指出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． （第 18 题图） F1B1 F E D C BA 21．（本题满分 10 分） 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 是∠CAB 的角平分线，BE⊥AE，垂足为点 E． 求证： 2BE DE AE E C B A 22．（本题满分 10 分） 我国南水北调中线工程的起点是某水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝 高由原来的 156 米增加到 173.2 米，以抬高蓄水位，如图是一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体 的高为 BE，背水坡坡角∠BAE = 69°，新坝体高为 DE，背水坡坡角∠DCE = 60°，求工程完工后背水坡底 端水平方向增加的宽度 AC． E D C B A 23．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分） 在△ABC 中，∠BAC = 90°，∠EAF = 90°， AB AF AC AE   ． （1）求证：△AGC∽△DGB； （2）若点 F 为 CG 的中点，AB = 3，AC = 4， 1tan 2DBG，求 DF 的长． G F E D C B A 24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分） 如图，已知抛物线 21 4y x bx c   经过点 B（– 4 , 0）与点 C（8 , 0），且交 y 轴于点 A． （1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； （2）将该抛物线向上平移 4 个单位，再向右平移 m 个单位，得到新抛物线，若新抛物线的顶点为 P， 联结 BP，直线 BP 将△ABC 分割成面积相等的两个三角形，求 m 的值． 25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 4 分，第（3）小题满分 4 分） 已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上一动点长，沿 PE 翻折△BPE 得到△FPE，直线 PF 交 CD 边于点 Q，交直线 AD 于点 G． （1）如图，当 BP = 1.5 时，求 CQ 的长； （2）如图，当点 G 在射线 AD 上时，设 BP=x， DG = y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范 围； （3）延长 EF 交直线 AD 于点 H，若△CQE∽△FHG，求 BP 的长． G Q P F E D CB A E D CB A B A C O x y 2013 学年上海市虹口区第一学期期末考试数学答案 一、选择题 1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 6、D 二、填空题 7、5:3 8、 7 4 9、10 10、答案不唯一 11、＜ 12、 23( 2) 1yx    13、( 2, 2) 14、12 5 15、 11 33ba 16、 2 2 17、240 18、1.6 三、解答题 19、设所求的二次函数解析式为 2 ( 0)y ax bx c a    ∵二次函数的图像经过(3,0) , (0, 3) , (1, 4) ∴可得 9 3 0 3 0 a b c c abc        解这个方程组得： 1 2 3 a b c      ∴所求的二次函数解析式为 2 23y x x   20、解：（1） 221 7 1 ( 1) 42 2 2y x x x        （2）该二次函数图像的开口向下，顶点坐标是( 1,4) ，对称轴是直线 1x  。 21、证明： BE AE 90BEA C     ADC BDE   ∴△CAD∽△EBD CAD DBE   ∵AD 是∠CAB 的角平分线 CAD EAB   DBE EAB   EE   ∴△EBD∽△EAB BE DE AE BE 2BE DE AE   22、解：由题意，可知 BE＝156 米，DE＝173.2 米 在 Rt△BEA 中，∠BEA＝90°，∠BAE＝69°， tan BEBAE AE   156 60tan 2.60 BEAE BAE    在 Rt△DEC 中，∠DEC＝90°，∠DCE＝60°， tan DEDCE CE   173.2 300tan tan60 DECE DCE    ∴AC＝300-60=240 米 答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度 AC 为 240 米。 23、解：（1） 90BAC EAF     EAB BAF CAF BAF       EAB CAF   AB AF AC AE   ，即 AB AE AC AF ∴△AEB∽△AFC ACG ABE   AGC DGB   ∴△AGC∽△DGB （2）∵△AGC∽△DGB BDG ACG   由 11tan tan22DBG ACG     3 , 4AB AC 在 Rt△ACG 中， tan 2AG AC ACG    222 4 2 5CG    ∵点 F 为 CG 的中点 1 52FG CG 1BG AB AG    由 15tan sin25DBG BDG     在 Rt△BDG 中， 5sin 5DG BG BDG    565555DF    。 24、解：（1）由题意得： 4 4 0 16 8 0 bc bc        ，解得 1 8 b c    ∴抛物线的表达式为 21 84y x x   ∵ 22118 (x 2) 944y x x      ∴顶点坐标为(2, 9) 。 （2）易求 (0, 8)A  ，设线段 AC 的中点为 D，可求得点 D 的坐标是(4, 4) 。 由题意知 BP 经过点 (4, 4)D  . 设 : ( 0)BPl y kx b k   ，可得 04 44 kb kb       ，解得 1 2 2 k b     1 22yx    又由题意知，新抛物线的解析式为 21 ( 2 ) 54y x m    ∴顶点 P 坐标为 (2 , 5)m ∵点 P 在直线 BP 上，∴ 15 (2 ) 22 m     ∴ 4m  25、解：（1）由题意，得 , 90 ,BE EF PFE B BEP FEP         ∵点 E 为 BC 的中点 22BE EC EF EC      又 90 ,EFQ C EQ EQ      ∴△EFQ≌△ECQ , 90FEQ CEQ BEP CEQ        又 90BPE BEP BPE CEQ        90BC     ∴△BPE∽△CEQ 1.5 2 2 BP BE EC QC CQ  即 8 3CQ （2）由（1）知：△BPE∽△CEQ， BP BE EC CQ 24 2 x CQCQ x    44DQ x   ∵QD∥AP 4 , 4DG DQ AP x AG yAG AP     又 44 44 y x yx   2 16 16 (1 2) 4 xyx x      （3）由题意知：∠C＝90°＝∠GFH ①当点 G 在线段 AD 的延长线上时，由题意知：∠G＝∠CQE ∵∠CQE＝∠FQE ∴∠DQC＝∠FQC＝2∠CQE＝2∠G ∴∠DQG+∠G＝90° ∴∠G＝30° ∴∠BQP＝∠CQE＝∠G＝30° 2tan30 33BP BE     ②当点 G 在线段 DA 的延长线上时，由题意知： G QCE   同理可得： 30G   30BPE G     cot30 2 3BP BE     综上所述，BP 的长是 2 33 或 23。