2020九年级数学上册第2章对称图形—圆复习题（新版）苏科版 10页

第2章 对称图形——圆 类型之一　圆的有关性质 ‎1．[2017·宜昌] 如图2－X－1，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是(　　)‎ A．AB＝AD B．BC＝CD C.＝ D．∠BCA＝∠ACD 图2－X－1‎ ‎　　　‎ 图2－X－2‎ ‎.如图2－X－2，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC＝26°，则∠BOC＝________°.‎ ‎3．如图2－X－3，在⊙O中，弦AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝(　　)‎ A．80° B．50° C．40° D．20°‎ 图2－X－3‎ ‎　　　‎ 图2－X－4‎ 类型之二　切线的性质与判定 10‎ ‎4．如图2－X－4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：‎ ‎①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是(　　)‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎5．如图2－X－5，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD＝35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C＝________°.‎ 图2－X－5‎ ‎　　　‎ 图2－X－6‎ ‎.如图2－X－6，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为________．‎ ‎7．[2017·宿迁改编] 如图2－X－7，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.‎ ‎(1)求证：AP＝AB；‎ ‎(2)若OB＝4，OP＝2，求线段AB的长．‎ 图2－X－7‎ ‎8．已知在⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.‎ ‎(1)如图2－X－8①，若∠BAC＝23°，求∠AMB的度数；‎ ‎(2)如图2－X－8②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D.若BD＝MA，求∠AMB的度数．‎ 10‎ 图2－X－8‎ 类型之三　圆中的有关计算 图2－X－9‎ ‎9．[2016·南京二模] 如图2－X－9，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是(　　)‎ A．0.1 B．‎0.2 C．0.3 D．0.4‎ ‎10．如图2－X－10，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)．若∠BAC＝120°，BC＝，则这个圆锥底面圆的半径是(　　)‎ A. B. C. D. 图2－X－10‎ ‎　　　‎ 图2－X－11‎ 10‎ ‎11．如图2－X－11，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6 ‎12．[2017·莱芜] 圆锥的底面周长为，母线长为2，P是母线OA的中点，一根细绳(无弹性)从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为________．‎ ‎13．如图2－X－12，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°.‎ ‎(1)求证：DP是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为‎3 cm，求图中阴影部分的面积．‎ 图2－X－12‎ 类型之四　圆中的分类讨论题 ‎14．若一个点到圆上的点的最小距离为‎3 cm，最大距离为‎8 cm，则该圆的半径是(　　)‎ A．‎5 cm或‎11 cm B．‎‎2.5 cm C．‎5.5 cm D．‎2.5 cm或‎5.5 cm ‎15．在半径为1的⊙O中，若弦AB，AC的长分别是，，则∠BAC的度数为(　　)‎ A．15° B．15°或75°‎ C．75° D．15°或65°‎ ‎16．已知△ABC内接于半径是‎6 cm的⊙O，弦AB＝‎6 cm，则弦AB所对的圆周角∠ACB的度数是(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．60°或120° D．30°或150°‎ 类型之五　圆中的动点问题 图2－X－13‎ ‎17．如图2－X－13，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为________．‎ ‎18．如图2－X－14，已知⊙O的直径AB＝‎12 cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC.‎ ‎(1)求证：∠PCA＝∠B；‎ 10‎ ‎(2)已知∠P＝40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合)，当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．‎ 图2－X－14‎ 10‎ 详解详析 ‎1．B　[解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．‎ ‎2．52　[解析] ∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠BOC＝2∠APC＝2×26°＝52°.‎ ‎3．A　[解析] ∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°.故选A.‎ ‎4．A　[解析] ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.‎ ‎∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°.‎ 连接OD，如图，∵OD＝OB，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴∠ODB＝∠DOB＝60°.‎ ‎∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥DC，‎ ‎∴∠BDC＝∠C＝30°，‎ ‎∴BD＝BC，∠C＝∠A，‎ ‎∴AD＝CD.‎ ‎∵在Rt△ADB中，∠A＝30°，∴BD＝AB，‎ 即AB＝2BD，∴AB＝2BC.‎ 因此结论①②③都正确．故选A.‎ ‎5． 20　[解析] 如图，连接OD.‎ ‎∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.‎ ‎∵∠COD＝2∠BAD＝2×35°＝70°，‎ ‎∴∠C＝90°－∠COD＝20°.‎ ‎6．6.25　[解析] 如图，连接OE，并反向延长OE交AD于点F，连接OA.‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ 10‎ ‎∴∠C＝∠D＝90°，‎ ‎∴四边形CDFE是矩形，‎ ‎∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，‎ ‎∴AF＝AD＝×12＝6.‎ 设⊙O的半径为x，则OF＝EF－OE＝8－x.‎ 在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，‎ 则(8－x)2＋36＝x2，‎ 解得x＝6.25，‎ ‎∴⊙O的半径为6.25.‎ 故答案为6.25.‎ ‎7．解：(1)证明：∵AB与⊙O相切于点B，‎ ‎∴∠ABO＝90°，‎ ‎∴∠ABP＋∠OBC＝90°.‎ ‎∵OC⊥OA，∴∠OPC＋∠C＝90°.‎ ‎∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，‎ ‎∴∠ABP＝∠OPC.‎ 又∵∠APB＝∠OPC，‎ ‎∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB.‎ ‎(2)设AP＝AB＝x，则OA＝2＋x.‎ 在Rt△AOB中，AB2＋OB2＝OA2，‎ ‎∴x2＋42＝(x＋2)2，‎ 解得x＝3，即线段AB的长是3.‎ ‎8．[解析] (1)根据切线的性质得到AM⊥AC，可得出∠MAC为直角，可求∠MAB的度数．又由切线长定理得到MA＝MB，进而求得∠AMB的度数；‎ ‎(2)连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD的中点，根据等弧对等弦可得出AB＝AD.而AM⊥AC，BD⊥AC，则BD∥AM.又BD＝AM，可知四边形ADBM为平行四边形，再由邻边MA＝MB，得到四边形ADBM为菱形．根据菱形的邻边相等可得出BD＝AD，进而得到AB＝AD＝BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB＝∠D＝60°.‎ 解：(1)∵MA切⊙O于点A，‎ ‎∴∠MAC＝90°.‎ 又∵∠BAC＝23°，‎ ‎∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝67°.‎ ‎∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，‎ ‎∴MA＝MB，‎ ‎∴∠MBA＝∠MAB＝67°，‎ ‎∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝46°.‎ ‎(2)连接AD，AB.‎ ‎∵MA⊥AC，BD⊥AC，‎ ‎∴BD∥MA.‎ 又∵BD＝MA，‎ ‎∴四边形MADB是平行四边形．‎ 又∵MA＝MB，‎ 10‎ ‎∴▱MADB是菱形，‎ ‎∴AD＝BD.‎ ‎∵AC为⊙O的直径，AC⊥BD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴AB＝AD＝BD，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠D＝60°，‎ ‎∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.‎ ‎9.B　[解析] ∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切， ‎ ‎∴S阴影＝S正方形－S圆＝1－0.25π≈0.21.‎ ‎10．A　11.B ‎12．1‎ ‎13．解：(1)证明：连接OD.‎ ‎∵∠ACD＝60°，‎ ‎∴由圆周角定理，得∠AOD＝2∠ACD＝120°，‎ ‎∴∠DOP＝180°－120°＝60°.‎ ‎∵∠APD＝30°，‎ ‎∴∠ODP＝180°－30°－60°＝90°，‎ ‎∴OD⊥DP.‎ ‎∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵∠APD＝30°，∠ODP＝90°，OD＝‎3 cm，‎ ‎∴OP＝‎6 cm，由勾股定理，得DP＝‎3 cm，‎ ‎∴图中阴影部分的面积S＝S△ODP－S扇形ODB＝×3×3 －＝cm2.‎ ‎14．D　[解析] 当点P在圆内时，圆的直径是‎11 cm，因而半径是‎5.5 cm；‎ 当点P在圆外时，圆的直径是‎5 cm，因而半径是‎2.5 cm.故选D.‎ ‎15．B　[解析] 如图①，分别连接OA，OB，OC.过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.‎ 则AD＝，AE＝.‎ ‎∵OA＝1，∴OD＝＝AD，OE＝，‎ ‎∴∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝75°.‎ 如图②，同理可得∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝45°－30°＝15°，故选B.‎ 10‎ ‎16．C　[解析] 连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，易得OD＝3，∴∠OAB＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.‎ 当点C在劣弧AB上时，如图①所示，∠ACB＝×(360°－120°)＝120°；‎ 当点C在优弧ACB上时，如图②所示，∠ACB＝∠AOB＝60°.故选C.‎ ‎17．2 　[解析] 如图，连接OP，OQ.‎ ‎∵PQ是⊙O的切线，‎ ‎∴OQ⊥PQ.‎ 根据勾股定理知PQ2＝OP2－OQ2.‎ 当OP⊥AB时，线段OP最短，此时线段PQ最短．‎ ‎∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，‎ ‎∴AB＝6，∴OP＝3，‎ ‎∴PQ＝＝2 .‎ ‎18．[全品导学号：54602137]解：(1)证明：如图，连接OC.‎ ‎∵PC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠PCO＝90°，‎ ‎∴∠1＋∠PCA＝90°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，∴∠2＋∠B＝90°.‎ ‎∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，‎ ‎∴∠PCA＝∠B.‎ ‎(2)∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，∴∠AOC＝50°.‎ ‎∵AB＝12，∴OA＝6.‎ 当点Q在AB下方，且∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，‎ 此时点Q所经过的弧长＝＝(cm)；‎ 当点Q在AB下方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，‎ 10‎ 此时点Q所经过的弧长＝＝(cm)；‎ 当点Q在AB上方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°，即∠AOQ＝230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，‎ 此时点Q所经过的弧长＝＝(cm)．‎ ‎∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为 cm或 cm或 cm.‎ 10‎