2020年秋九年级数学上册 第4章相似三角形 5页

第4章　　相似三角形 ‎4．1　比例线段 第3课时　比例中项与黄金分割 知识点1　比例中项 ‎1．如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c＝________．‎ ‎2．2016·嵊州期末若线段c是线段a和b的比例中项，且a＝‎2 cm，b＝‎8 cm，则线段c的长是________cm.‎ 知识点2　黄金分割 ‎3．2017·下城区校级月考已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝(　　)‎ A. B. C．3－ D.－1‎ ‎4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下面的等式成立的是(　　)‎ A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝CB·AB D．AC2＝2AB·BC ‎5．已知线段AB及AB上一点P，再添加一个条件，使P为AB的黄金分割点，其中错误的是(　　)‎ A．AP＝AB B．PB＝AB C.＝ D.＝ ‎6.是黄金分割比，当环境温度与人的正常体温(‎36.5 ℃‎)的比值等于黄金分割比时，机体的新陈代谢、生理功能均处于最佳状态，则环境温度为________℃时，人感到最舒适(精确到‎0.1 ℃‎)．‎ 5‎ 图4－1－4‎ ‎7．课本图4－4改编图4－1－4是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中脸部被围在矩形ABCD内，点F是AB的黄金分割点，BF＞AF，若AB＝10，则BF的长为________．‎ ‎8．如果三条线段的长a，b，c满足＝＝，那么a，b，c叫做“黄金线段组”．黄金线段组中的三条线段(　　)‎ A．必构成锐角三角形 B．必构成直角三角形 C．必构成钝角三角形 D．不能构成三角形 图4－1－5‎ ‎9．如图4－1－5，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1________S2(填“＞”“＝”或“＜”)．‎ ‎10．已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比)．如图4－1－6，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，已知AB＝1，求CE的长度．‎ 图4－1－6‎ 5‎ ‎11．如图4－1－7，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″，使AB″＝AB′.这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．‎ 图4－1－7‎ 5‎ 详解详析 ‎1. ‎2．4　[解析] ∵线段a＝‎2 cm，b＝‎8 cm，线段c是线段a，b的比例中项，‎ ‎∴＝，∴c2＝ab＝2×8＝16，‎ ‎∴c1＝4，c2＝－4(舍去)．故答案为：4.‎ ‎3．C　[解析] 当AP＞PB时，‎ AP＝×2＝－1，‎ PB＝2－(－1)＝3－.‎ 故选C.‎ ‎4．C　5.D ‎6．22.6‎ ‎7．5 －5　[解析] ∵点F是AB的黄金分割点，BF＞AF，‎ ‎∴BF＝AB＝×10＝5 －5.‎ ‎8．D　[解析] ∵＝＝，‎ ‎∴b＝a，c＝b＝a，‎ ‎∴b＋c＝a＋a＝a，‎ ‎∴三条线段a，b，c不能构成三角形．‎ 故选D.‎ ‎9．＝　[解析] ∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2＝PB·AB.‎ 又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，‎ ‎∴S1＝PA2，S2＝PB·AB，∴S1＝S2.‎ 5‎ ‎10．解：∵△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，‎ ‎∴DE＝CD，＝，＝，‎ ＝.‎ ‎∵AB＝1，∴BC＝AB＝，‎ ‎∴CD＝BC＝()2＝，‎ ‎∴CE＝CD＝×＝－2.‎ ‎11证明：设正方形ABCD的边长为2.‎ ‎∵E为BC的中点，‎ ‎∴BE＝1，∴AE＝＝.‎ 又∵B′E＝BE＝1，‎ ‎∴AB′＝AE－B′E＝－1.‎ 又∵AB″＝AB′＝－1，‎ ‎∴AB″∶AB＝(－1)∶2，‎ ‎∴B″是线段AB的黄金分割点．‎ 5‎