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- 2021-11-06 发布
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第4章 相似三角形
4.1 比例线段
第3课时 比例中项与黄金分割
知识点1 比例中项
1.如果a=3,b=2,且b是a和c的比例中项,那么c=________.
2.2016·嵊州期末若线段c是线段a和b的比例中项,且a=2 cm,b=8 cm,则线段c的长是________cm.
知识点2 黄金分割
3.2017·下城区校级月考已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB,若AB=2,则PB=( )
A. B.
C.3- D.-1
4.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下面的等式成立的是( )
A.AB2=AC·CB B.CB2=AC·AB
C.AC2=CB·AB D.AC2=2AB·BC
5.已知线段AB及AB上一点P,再添加一个条件,使P为AB的黄金分割点,其中错误的是( )
A.AP=AB B.PB=AB
C.= D.=
6.是黄金分割比,当环境温度与人的正常体温(36.5 ℃)的比值等于黄金分割比时,机体的新陈代谢、生理功能均处于最佳状态,则环境温度为________℃时,人感到最舒适(精确到0.1 ℃).
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图4-1-4
7.课本图4-4改编图4-1-4是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中脸部被围在矩形ABCD内,点F是AB的黄金分割点,BF>AF,若AB=10,则BF的长为________.
8.如果三条线段的长a,b,c满足==,那么a,b,c叫做“黄金线段组”.黄金线段组中的三条线段( )
A.必构成锐角三角形 B.必构成直角三角形
C.必构成钝角三角形 D.不能构成三角形
图4-1-5
9.如图4-1-5,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1________S2(填“>”“=”或“<”).
10.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比).如图4-1-6,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=1,求CE的长度.
图4-1-6
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11.如图4-1-7,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在AB上折出点B″,使AB″=AB′.这时B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
图4-1-7
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详解详析
1.
2.4 [解析] ∵线段a=2 cm,b=8 cm,线段c是线段a,b的比例中项,
∴=,∴c2=ab=2×8=16,
∴c1=4,c2=-4(舍去).故答案为:4.
3.C [解析] 当AP>PB时,
AP=×2=-1,
PB=2-(-1)=3-.
故选C.
4.C 5.D
6.22.6
7.5 -5 [解析] ∵点F是AB的黄金分割点,BF>AF,
∴BF=AB=×10=5 -5.
8.D [解析] ∵==,
∴b=a,c=b=a,
∴b+c=a+a=a,
∴三条线段a,b,c不能构成三角形.
故选D.
9.= [解析] ∵P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,∴PA2=PB·AB.
又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,
∴S1=PA2,S2=PB·AB,∴S1=S2.
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10.解:∵△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,
∴DE=CD,=,=,
=.
∵AB=1,∴BC=AB=,
∴CD=BC=()2=,
∴CE=CD=×=-2.
11证明:设正方形ABCD的边长为2.
∵E为BC的中点,
∴BE=1,∴AE==.
又∵B′E=BE=1,
∴AB′=AE-B′E=-1.
又∵AB″=AB′=-1,
∴AB″∶AB=(-1)∶2,
∴B″是线段AB的黄金分割点.
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