中考数学专题复习练习：多边形与圆 5页

多边形与圆 ‎1. 判断一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判断外，还可以根据的定理来判定.即依次连结圆的等分点，所得的多边形是正多边形.‎ ‎2. 正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.‎ 中心角 ‎ 边心距r ‎ 半径R ‎ O ‎ ‎3. 正多边形的有关概念：‎ ‎4. 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫 做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边 形的每个中心都等于.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. ‎ ‎5. 在作一个圆的内接正多边形时，要依次连接各分点.‎ ‎6. 画正多边形：‎ ‎ 第一种方法：我们知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此可以如 图简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.‎ O ‎ O ‎ O ‎ ‎ ‎ 第二种方法：由于在同圆或等圆种，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.因此用等分圆心角的方 法等分圆周来画正多边形.‎ ‎ 等分圆周有两种方法：（1）由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.‎ ‎（2）先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧 的等弧，就得到圆的n等分点，依次连接各等分点即得此圆的内接正n边形.‎ ‎7. 正三角形中，边心距：半径：高＝1：2：3；正方形中，正方形的对角线等于其半径的2倍，边心距 等于其边长的一半；正六边形中，正六边形边长等于其半径.‎ 类型1. 正多边形和圆有关的概念及性质 例1. 下列结论错误的是（ ）‎ A. 等边三角形是正三角形 B. 正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 正七边形是轴对称图形，它有7条对称轴 D. 正三角形是中心对称图形 例2. 设正n边形的一个中心角为，一个角为.‎ ‎（1）当n为何值时，？（2）当n为何值时，？ （3）当n为何值时，？‎ B ‎ C ‎ D ‎ A ‎ E ‎ B ‎ P ‎ 例3. 如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，求证：∆APB为等腰三角形.‎ 类型2. 正多边形有关的计算 例1. 正三角形的外接圆半径是‎4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为 ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 例2. 一个圆内接四边形和外切正四边形的面积的比是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ ‎.O ‎ 例3. 已知：如图，正六边形ABCDEF的边长为，求它的外接圆的半径R，对边距离DF的长及这个正六边形的面积S.‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 已知：⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比和面积.‎ 例2．已知：⊙O的半径R，其内接正n边形的边长为.求同圆内接正2n边形的边长.‎ 例3. 如图，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、···· 、正n边形ABCDE···的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.‎ A ‎ B ‎ C ‎ O ‎ M ‎ N ‎ B ‎ C ‎ D ‎ A ‎ E ‎ O ‎ M ‎ N ‎ B ‎ C ‎ A ‎ D ‎ O ‎ M ‎ N ‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) ‎ ‎（i）求图（1）中∠MON的度数；‎ ‎(ii) 图（2）中∠MON的度数是 ，图(3)中∠MON的度数是 .‎ ‎（iii）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.‎ 类型3. 证明圆内接多边形是正多边形 例1. 如图，已知∆ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A＝360，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB B ‎ C ‎ E ‎ D ‎ A ‎ ‎360 ‎ O . ‎ ‎ 求证：五边形AEBCD是正五边形.‎ 例2. 已知，如图，∆OAB为正三角形，以O为圆心，OA为半径作⊙O，直径FC∥AB,AO、BO的 延长线⊙O于D、E.求证：六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E C ‎ F ‎ O ‎ 类型4. 画正多边形 例1. 如图：已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形.‎ 例2. 已知⊙O和⊙O上的一点A，如图所示：‎ AB ‎ ‎⌒ ‎ ‎ （1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；‎ ‎ （2）在（1）题所作的图中，如果点E在 上，试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边.‎ A . ‎ O . ‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 某公园有一个边长为‎4m的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一颗古树.现决定把原来 的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三颗古树不能移动，且三颗古树位于圆周上或平行四边 形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. ‎ ‎（1）按圆形设计，利用图①画出你所设计的圆形花坛示意图；‎ ‎（2）按平行四边形设计，利用图②画出你所设计的平行四边形花坛示意图；‎ A♀ ‎ ‎♀ ‎ B ‎ ‎♀ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎① ‎ A♀ ‎ ‎♀ ‎ B ‎ ‎♀ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎② ‎ ‎（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由.‎ ‎♀‎ 练习：‎ ‎1.下列两个命题，（1）正多边形既有内切圆又有外切圆；（2）既有内切圆又有外切圆的多边形是正 多边形，它们的真假性分别是( )‎ ‎ A.全是真命题 B.全是假命题 C.（1）是真命题（2）是假命题 D.（1）是假命题，（2）是真命题 ‎2. 正多边形的中心角与内角的关系是（ ）‎ ‎ A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不确定 ‎3. 如果一个正多边形的每个外角都等于360，则这个多边形的中心角为（ ）‎ ‎ A. 360 B. ‎180 ‎‎ C. 540 D. 720‎ ‎4. 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 正八边形的一个内角等于 ，它的中心角等于 .‎ ‎6. 正六边形的不边长、半径R，边心距r的比＝ .‎ ‎7.正十二边形至少绕中心旋转 度，才能与原来正十二边形重合.‎ ‎8. 已知七边形ABCDEFG是⊙O的内接正七边形，连接AC、AD，并延长AD到P，使DP=CD，‎ 连A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ G ‎ P ‎ 接CP.求证:CP=AC.‎ ‎9.已知：如图，⊙O的半径为R，试求⊙O的内接正六边形ABCDEF各点的坐标.‎ D ‎ E ‎ F ‎ AA ‎ B ‎ C ‎ O ‎ ‎10. 已知：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正方形、⊙O的外切正方形的边长比和 C ‎ D ‎ A ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ O . ‎ ‎ 面积.‎ ‎11. 如图：已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形.‎ A. ‎ B . ‎ C . ‎ D. ‎ E . ‎ O. ‎