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  • 2021-11-06 发布

中考数学专题复习练习:多边形与圆

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多边形与圆 ‎1. 判断一个多边形是不是正多边形,除根据定义来判断外,还可以根据的定理来判定.即依次连结圆的等分点,所得的多边形是正多边形.‎ ‎2. 正多边形和圆的关系:只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.‎ 中心角 ‎ 边心距r ‎ 半径R ‎ O ‎ ‎3. 正多边形的有关概念:‎ ‎4. 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫 做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边 形的每个中心都等于.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. ‎ ‎5. 在作一个圆的内接正多边形时,要依次连接各分点.‎ ‎6. 画正多边形:‎ ‎ 第一种方法:我们知道圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,由此可以如 图简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.‎ O ‎ O ‎ O ‎ ‎ ‎ 第二种方法:由于在同圆或等圆种,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.因此用等分圆心角的方 法等分圆周来画正多边形.‎ ‎ 等分圆周有两种方法:(1)由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆.‎ ‎(2)先用量角器画一个等于的圆心角,这个角所对的弧就是圆的,然后在圆上依次截取这条弧 的等弧,就得到圆的n等分点,依次连接各等分点即得此圆的内接正n边形.‎ ‎7. 正三角形中,边心距:半径:高=1:2:3;正方形中,正方形的对角线等于其半径的2倍,边心距 等于其边长的一半;正六边形中,正六边形边长等于其半径.‎ 类型1. 正多边形和圆有关的概念及性质 例1. 下列结论错误的是( )‎ A. 等边三角形是正三角形 B. 正六边形既是轴对称图形,又是中心对称图形 C. 正七边形是轴对称图形,它有7条对称轴 D. 正三角形是中心对称图形 例2. 设正n边形的一个中心角为,一个角为.‎ ‎(1)当n为何值时,?(2)当n为何值时,? (3)当n为何值时,?‎ B ‎ C ‎ D ‎ A ‎ E ‎ B ‎ P ‎ 例3. 如图,圆内接正五边形ABCDE中,对角线AC和BD相交于点P,求证:∆APB为等腰三角形.‎ 类型2. 正多边形有关的计算 例1. 正三角形的外接圆半径是‎4cm,以正三角形的一边为边作正方形,则此正方形的外接圆半径长为 ‎( )‎ A. B. C. D. ‎ 例2. 一个圆内接四边形和外切正四边形的面积的比是( )‎ A. B. C. D. ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ ‎.O ‎ 例3. 已知:如图,正六边形ABCDEF的边长为,求它的外接圆的半径R,对边距离DF的长及这个正六边形的面积S.‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 已知:⊙O的半径为R,求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比和面积.‎ 例2.已知:⊙O的半径R,其内接正n边形的边长为.求同圆内接正2n边形的边长.‎ 例3. 如图,M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、···· 、正n边形ABCDE···的边AB、BC上的点,且BM=CN,连接OM、ON.‎ A ‎ B ‎ C ‎ O ‎ M ‎ N ‎ B ‎ C ‎ D ‎ A ‎ E ‎ O ‎ M ‎ N ‎ B ‎ C ‎ A ‎ D ‎ O ‎ M ‎ N ‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎(3) ‎ ‎(i)求图(1)中∠MON的度数;‎ ‎(ii) 图(2)中∠MON的度数是 ,图(3)中∠MON的度数是 .‎ ‎(iii)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).‎ 类型3. 证明圆内接多边形是正多边形 例1. 如图,已知∆ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠A=360,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB B ‎ C ‎ E ‎ D ‎ A ‎ ‎360 ‎ O . ‎ ‎ 求证:五边形AEBCD是正五边形.‎ 例2. 已知,如图,∆OAB为正三角形,以O为圆心,OA为半径作⊙O,直径FC∥AB,AO、BO的 延长线⊙O于D、E.求证:六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E C ‎ F ‎ O ‎ 类型4. 画正多边形 例1. 如图:已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点,画出⊙O的内接和外切正五边形.‎ 例2. 已知⊙O和⊙O上的一点A,如图所示:‎ AB ‎ ‎⌒ ‎ ‎ (1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;‎ ‎ (2)在(1)题所作的图中,如果点E在 上,试证明EB是⊙O内接正十二边形的一边.‎ A . ‎ O . ‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 某公园有一个边长为‎4m的正三角形花坛,三角形的顶点A、B、C上各有一颗古树.现决定把原来 的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛,要求三颗古树不能移动,且三颗古树位于圆周上或平行四边 形的顶点上.以下设计过程中画图工具不限. ‎ ‎(1)按圆形设计,利用图①画出你所设计的圆形花坛示意图;‎ ‎(2)按平行四边形设计,利用图②画出你所设计的平行四边形花坛示意图;‎ A♀ ‎ ‎♀ ‎ B ‎ ‎♀ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎① ‎ A♀ ‎ ‎♀ ‎ B ‎ ‎♀ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎② ‎ ‎(3)若想新建的花坛面积较大,选择以上哪一种方案合适?请说明理由.‎ ‎♀‎ 练习:‎ ‎1.下列两个命题,(1)正多边形既有内切圆又有外切圆;(2)既有内切圆又有外切圆的多边形是正 多边形,它们的真假性分别是( )‎ ‎ A.全是真命题 B.全是假命题 C.(1)是真命题(2)是假命题 D.(1)是假命题,(2)是真命题 ‎2. 正多边形的中心角与内角的关系是( )‎ ‎ A. 互余 B. 互补 C. 相等 D. 不确定 ‎3. 如果一个正多边形的每个外角都等于360,则这个多边形的中心角为( )‎ ‎ A. 360 B. ‎180 ‎‎ C. 540 D. 720‎ ‎4. 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 正八边形的一个内角等于 ,它的中心角等于 .‎ ‎6. 正六边形的不边长、半径R,边心距r的比= .‎ ‎7.正十二边形至少绕中心旋转 度,才能与原来正十二边形重合.‎ ‎8. 已知七边形ABCDEFG是⊙O的内接正七边形,连接AC、AD,并延长AD到P,使DP=CD,‎ 连A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ G ‎ P ‎ 接CP.求证:CP=AC.‎ ‎9.已知:如图,⊙O的半径为R,试求⊙O的内接正六边形ABCDEF各点的坐标.‎ D ‎ E ‎ F ‎ AA ‎ B ‎ C ‎ O ‎ ‎10. 已知:如图,⊙O的半径为R,求⊙O的内接正方形、⊙O的外切正方形的边长比和 C ‎ D ‎ A ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ O . ‎ ‎ 面积.‎ ‎11. 如图:已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点,画出⊙O的内接和外切正五边形.‎ A. ‎ B . ‎ C . ‎ D. ‎ E . ‎ O. ‎