九年级数学下册第二章二次函数8二次函数与一元二次方程习题课件北师大版 35页

8 二次函数与一元二次方程 1. 理解二次函数与一元二次方程的关系 , 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 .( 重点 ) 2. 理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 .( 难点 ) 1. 二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 与一元二次方程 ax 2 +bx+c =0(a≠0) 的关系 . 抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点的个数 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的根的情况 2 _______________ 1 _______________ 0 _________ 两个不等实数根 两个相等实数根 无实数根 2. 一元二次方程的图象解法 . 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴有交点时 , 交点的 _______ 就 是当 y=0 时自变量 x 的值 , 即一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的 ___. 横坐标 根 3. 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法 . (1) 先画出函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象 . (2) 确定抛物线与 x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间 . (3) 列表 , 在 (2) 中的两整数之间取值 , 从而利用计算器确定方程的近似根 . ( 打 “ √ ” 或 “ × ” ) (1) 抛物线与 y 轴不一定有交点 .( ) (2) 抛物线 y=x 2 -x 与 x 轴只有一个交点 .( ) (3) 利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确 值 .( ) (4) 如果抛物线的顶点在 x 轴上 , 那么抛物线与 x 轴有一个交 点 .( ) × × × √ 知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系   【 例 1】 (1) 已知一元二次方程 x 2 +px+q=0(p 2 -4q≥0) 的两根为 x 1 ,x 2 . 求证 :x 1 +x 2 =-p,x 1 · x 2 = q. (2) 已知抛物线 y=x 2 +px+q 与 x 轴交于 A,B 两点 , 且过点 (-1,-1), 设线段 AB 的长为 d, 当 p 为何值时 ,d 2 取得最小值 , 并求出最小值 . 【 思路点拨 】 (1) 先根据求根公式得出 x 1 ,x 2 的值 , 再求出两根的和与积 . (2) 把点 (-1,-1) 代入抛物线的表达式 , 用 p 表示出 q, 若设 A(x 1 ,0),B(x 2 ,0), 则再由 d 2 =(x 1 -x 2 ) 2 , 得到 d 2 与 p 的函数关系 , 即可得出结论 . 【 自主解答 】 (1) 即 (2) 把 (-1,-1) 代入 y=x 2 +px+q 得 p-q=2,q=p-2, 设抛物线 y=x 2 +px+q 与 x 轴交于 A,B 两点的坐标分别为 (x 1 ,0),(x 2 ,0), ∴ 由 d=|x 1 -x 2 | 可得 d 2 =(x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 · x 2 =p 2 -4q=p 2 -4p+8=(p-2) 2 +4, ∴ 当 p=2 时 ,d 2 的最小值是 4. 【 总结提升 】 二次函数 y=ax 2 +bx+c 与方程 ax 2 +bx+c=0 之间的关系 1.b 2 -4ac>0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 2 个交点 ⇔ 方程有两个不相等的实数根 . 2.b 2 -4ac=0 ⇔ 抛物线与 x 轴有 1 个交点 ⇔ 方程有两个相等的实数根 . 3.b 2 -4ac<0 ⇔ 抛物线与 x 轴没有交点 ⇔ 方程没有实数根 . 知识点 2 利用函数图象求一元二次方程的近似根 【 例 2】 利用二次函数的图象求一元二次方程 4x 2 -8x+1=0 的近 似根 .( 精确到 0.1) 【 解题探究 】 (1) 一元二次方程 4x 2 -8x+1=0 的根是哪个二次函 数与 x 轴的交点的横坐标 ? 提示 : 是 y=4x 2 -8x+1 与 x 轴的交点的横坐标 . (2) 请作出 (1) 中的二次函数的图象 . 提示 : 作图如下 , (3) 观察图象 , 方程根的个数和大致范围是什么 ? 提示 : 方程有两个根 , 一个在 0 和 1 之间 , 一个在 1 和 2 之间 . (4) 请借助计算器探索并确定方程的解是什么 . 提示 : 由图象可知方程的近似根是 x 1 =0.1,x 2 =1.9. x … 0.1 0.2 … y … 0.24 -0.44 … x … 1.8 1.9 … y … -0.44 0.24 … 【 总结提升 】 求一元二次方程近似根的 “ 四步法 ” 题组一 : 二次函数与一元二次方程的关系 1. 抛物线 y=-3x 2 -x+4 与坐标轴的交点个数是　 ( 　　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 【 解析 】 选 A. 令 x=0, 解得 :y=4,∴ 抛物线与 y 轴的交点为 (0,4).∵b 2 -4ac=49>0,∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点 , 综上 , 抛物线与坐标轴的交点个数为 3. 【 变式备选 】 已知函数 y=(k-3)x 2 +2x+1 的图象与 x 轴有交点 , 则 k 的取值范围是　 ( 　　 ) A.k<4 B.k≤4 C.k<4 且 k≠3 D.k≤4 且 k≠3 【 解析 】 选 B.① 当 k-3≠0 时 , 方程为 (k-3)x 2 +2x+1=0,∴b 2 -4ac=2 2 -4(k-3)×1=-4k+16≥0,∴k≤4;② 当 k-3=0 时 ,y=2x+1, 与 x 轴有交点 . 2. 如图是二次函数 y=ax 2 +bx+c 的部分图象 , 由图象可知不等式 ax 2 +bx+c<0 的解集是 ( 　　 ) A.-15 C.x<-1 且 x>5 D.x<-1 或 x>5 【 解析 】 选 D. 观察图象可知抛物线对称轴为 x=2, 且与 x 轴的一个交点为 (5,0), 依据对称性可知 , 抛物线与 x 轴另一交点坐标为 (-1,0). 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的部分图象的开口向下 , 所以不等式 ax 2 +bx+c<0 的解集是 x<-1 或 x>5. 3.(2012 · 兰州中考 ) 二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象如图所示 , 若 |ax 2 +bx+c|=k(k≠0) 有两个不相等的实数根 , 则 k 的取值 范围是 ( 　　 ) A.k<-3 B.k>-3 C.k<3 D.k>3 【 解析 】 选 D. 根据题意 y=|ax 2 +bx+c| 的图象如图所示 : ∴ 当 |ax 2 +bx+c|=k(k≠0) 有两个不相等的实数根时 ,k>3. 4.(2013 · 苏州中考 ) 已知二次函数 y=x 2 -3x+m(m 为常数 ) 的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0), 则关于 x 的一元二次方程 x 2 -3x+m=0 的两实数根是　 ( 　　 ) A.x 1 =1,x 2 =-1 B.x 1 =1,x 2 =2 C.x 1 =1,x 2 =0 D.x 1 =1,x 2 =3 【 解析 】 选 B.∵ 二次函数的表达式是 y=x 2 -3x+m(m 为常数 ), ∴ 该抛物线的对称轴是 又∵二次函数 y=x 2 -3x+m(m 为常数 ) 的图象与 x 轴的一个交点 为 (1,0), ∴ 根据抛物线的对称性质知 , 该抛物线与 x 轴的另一个交点的 坐标是 (2,0), ∴ 关于 x 的一元二次方程 x 2 -3x+m=0 的两实数根分别是 x 1 =1,x 2 =2. 5. 已知函数 y=mx 2 -6x+1(m 是常数 ). (1) 求证 : 不论 m 为何值 , 该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点 . (2) 若该函数的图象与 x 轴只有一个交点 , 求 m 的值 . 【 解析 】 (1) 当 x=0 时 ,y=1. 所以不论 m 为何值 , 函数 y=mx 2 -6x+1 的图象都经过 y 轴上的一个定点 (0,1). (2)① 当 m=0 时 , 函数 y=-6x+1 的图象与 x 轴只有一个交点 ; ② 当 m≠0 时 , 若函数 y=mx 2 -6x+1 的图象与 x 轴只有一个交点 , 则方程 mx 2 -6x+1=0 有两个相等的实数根 , 所以 (-6) 2 -4m=0,m=9. 综上可知 , 若函数 y=mx 2 -6x+1 的图象与 x 轴只有一个交点 , 则 m 的值为 0 或 9. 题组二 : 利用函数图象求一元二次方程的近似根 1. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的顶点坐标 (-1,-3.2) 及部分图象 ( 如图 ), 由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根分别是 x 1 =1.3 和 x 2 =( 　　 ) A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 【 解析 】 选 D.∵ 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标为 (-1 ， -3.2) ， ∵ x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的两根， 又∵ x 1 =1.3 ， ∴ x 1 +x 2 =1.3+x 2 =-2 ，∴ x 2 =-3.3. 2. 小亮通过观察二次函数 y=2x 2 +2x-1 的图象 , 发现它与 x 轴的 两个交点一个在 -1 和 -2 之间 , 另一个在 0 和 1 之间 . 并用计算器 进行探索 , 得到下表 , 由此可知方程 2x 2 +2x-1=0 的一个近似根 是 ( 　　 ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 x 0.1 0.2 0.3 0.4 y -0.78 -0.52 -0.22 0.12 【 解析 】 选 D. 由题意可知方程 2x 2 +2x-1=0 的根一个在 -1 和 -2 之间 , 另一个在 0 和 1 之间 . 当 x 由 0.1 向 0.3 变换过程中 y 值一直在增大 , 并越来越接近 0, 当 x=0.4 时 ,y 值大于 0, 则方程的一个根在 0.3 和 0.4 之间 ,x=0.4 时的 y 值比 x=0.3 时更接近 0, 所以方程的一个近似根为 0.4. 3. 对于二次函数 y=x 2 +6x+1, 当 x=-5.8 时 ,y=-0.16<0; 当 x=-5.9 时 ,y=0.41>0. 那么方程 x 2 +6x+1=0 的一个根的近 似值是 　　　　 .( 精确到 0.1) 【 解析 】 因为 y=x 2 +6x+1 的对称轴是 x=-3, 且当 x=-5.8 时 , y=-0.16<0; 当 x=-5.9 时 ,y=0.41>0. 所以方程 x 2 +6x+1=0 的 一个根的近似值是 -5.8. 答案 : -5.8 4. 利用函数图象求得方程 2x 2 -6x+3=0 的近似根是 　　　　 . ( 精确到 0.1) 【 解析 】 ∵ 方程 2x 2 -6x+3=0 的根就 是函数 y=2x 2 -6x+3 的图象与 x 轴的 交点的横坐标 ,y=2x 2 -6x+3 的图象 如图所示 : ∴ 方程 2x 2 -6x+3=0 的近似根是 x 1 =2.4,x 2 =0.6. 答案 : x 1 =2.4,x 2 =0.6 5.(1) 请在坐标系中画出二次函数 y=x 2 -2x 的大致图象 . (2) 根据方程的根与函数图象之间的关系 , 将方程 x 2 -2x-1=0 的根在图上近似地表示出来 .( 描点 ) (3) 观察图象 , 直接写出方程 x 2 -2x-1=0 的根 .( 精确到 0.1) 【 解析 】 (1)(2) 如图 . (3)x M =-0.4,x N =2.4. 【 想一想错在哪？ 】 已知二次函数 y=kx 2 -7x-7 的图象与 x 轴 有两个公共点 , 求 k 的取值范围 . 提示 : 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点时 , 方程 ax 2 +bx+c=0 有两个不相等的实数根 , 此时 b 2 -4ac>0.