中考数学一轮复习知识点+题型讲专题义01 有理数（学生版） 11页

专题 01 有理数 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 有理数基础概念  有理数（概念理解） 正数：大于 0 的数叫做正数。 负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。 有理数的分类（两种）（见思维导图）  数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。  数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） 任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。  数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 【注意】 1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。 2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。  相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）  绝对值 绝对值的概念：一班数轴上表示 a 的数与原点之间的距离叫做数 a 的绝对值。 绝对值的意义： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。 （互为相反数的两个数的绝对值相等。）  比较大小 1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 2）正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。 3）两个负数比较，绝对值大的反而小。 4）两个正数比较，绝对值大的反而大。 常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。 1．（2018·海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是 ( ) A．|+2|与|-2| B．-|+2|与+(-2) C．-(-2)与+(+2) D．|-(-3) |与-|-3| 2．（2019·四川中考真题） a 一定是 A．正数 B．负数 C． 0 D．以上选项都不正确 3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（ ） A．点 A 和点 C B．点 B 和点 C C．点 A 和点 B D．点 B 和点 D 4．（2013·江苏中考真题）如图，数轴上的点 A、B 分别对应实数 a、b，下列结论中正确的是（ ） A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0 5．（2019·甘肃中考真题）已知 1a ，b 是 2 的相反数，则 a b的值为( ) A．-3 B．-1 C．-1 或-3 D．1 或-3 考察题型一 绝对值非负性应用 1．（2016·山东中考真题）当 10， ，且 ，那么 x-y 的值是 （ ） A．2 或 12 B．2 或-12 C．-2 或 12 D．-2 或-12 4．（2018·浙江中考模拟）如果|a|≥0，那么（ ） A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a 为任意数 5．（2017·湖北中考模拟）若|x﹣2|+|y+2|=0，求 x﹣y 的相反数． 6.（2017·广东中考模拟）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求： （1）a+b 的值； （2）|a|+|b|的值． 考查题型二 有理数比较大小 1．（2018·山东中考模拟）如果 a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（ ） A．b 为正数，c 为负数 B．c 为正数，b 为负数 C．c 为正数，a 为负数 D．c 为负数，a 为负数 2．（2019·北京中考模拟）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 a+b＝0，那么下列结论正 确的是（ ） A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D． 0a b  12．（2019·山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中 正确的是( ) ①b＜0＜a； ②|b|＜|a|； ③ab＞0； ④a﹣b＞a+b． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 4．（2018·湖北中考真题）在 0，﹣1，0.5，（﹣1）2 四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2 5．（2018·山东中考真题）实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ） A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0 知识点二 有理数四则运算  有理数的加法（重点） 有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值） 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3.互为相反数的两个数相加得 0；（如果两个数的和为 0，那么这两个数互为相反数） 4.一个数同 0 相加，仍得这个数。 有理数的加法运算律： 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 即 a b b a   ； 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 即    a b c a b c     。  有理数的减法 有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即  a b a b    。 注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。  有理数的加减混合运算 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。  有理数的乘法（重点） 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 倒数：乘积是 1 的两个有理数互为倒数。0 没有倒数。（数  0a a  的倒数是 1 a ） 多个有理数相乘的法则及规律： （1） 几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。 确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为 0，积为 0；反之，如果积为 0，那么至少有一个因数是 0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。  有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即 a b b a   。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即    a b c a b c     。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即  a b c a b a c      。  有理数的除法 有理数除法法则： （1）除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。即  1 0a b a bb     。 （2）两数相除（被除数不为 0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何不为 0 的数，都得 0。 步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。  有理数的乘除混合运算 运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。 （注：带分数应首先化为假分数进行运算）  有理数的四则混合运算 运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。 注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律 1．（2018·江苏中考模拟）计算：|–5+3|的结果是（ ） A．–8 B．8 C．–2 D．2 2.（2019·浙江中考真题）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是 （ ） 星期 一 二 三 四 最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 最低气温 3℃ 0℃ -2℃ -3℃ A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 3．（2018·四川中考模拟）如果 a，b 是有理数，那么下列各式中成立的是（ ） A．如果 a<0，b<0，那么 a＋b>0 B．如果 a>0，b<0，那么 a＋b>0 C．如果 a>0，b<0，那么 a＋b<0 D．如果 a>0，b<0，且|a|>|b|，那么 a＋b>0 4．（2019·辽宁中考模拟）计算 2 5( )7 7    的正确结果是（ ） A． 3 7 B．- 3 7 C．1 D．﹣1 5．（2017·山东中考真题）计算－(－1)＋|－1|，其结果为( ) A．－2 B．2 C．0 D．－1 6．（2018·辽宁中考模拟）两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1 或 1 7．（2019·内蒙古中考模拟）若 的倒数与 倒 数 互为相反数，则 的值是（ ） A．1 B． C．2 D． 8．（2018·天津中考模拟）-6÷ 1 6 的结果等于（ ） A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36 8．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）－2×（－5）的值是 ( ) A．－7 B．7 C．－10 D．10 9．（2019·天津中考模拟）计算（–18）÷（–6）的结果等于 A．3 B．–3 C． 1 3 D．− 1 3 考查题型三 与绝对值有关的分数化简 1．（2018·福建中考模拟）若 a≠0，b≠0，则代数式 | | | | | | a b ab a b ab   的取值共有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）已知 a，b，c 为非零的实数，则 a ab ac bc a ab ac bc    的可能值的个数 为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.．（2019·四川初一期中）有理数 a，b．c 满足 abc＜0， a b c abc a b c abc    的值为（ ） A．1 或﹣3 B．﹣4 C．0 D．0 或﹣4 考察题型四 有理数乘法运算律的应用 1．（2018·贵州中考真题）计算 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 +……+ 1 9900 的值为（ ） A． 1 100 B． 99 100 C． 1 99 D． 100 99 2．（2019·河北中考模拟）利用运算律简便计算 52×（–999）+49×（–999）+999 正确的是（ ） A．–999×（52+49）=–999×101=–100899 B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900 C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898 D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998 3．（2016·河北中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： （1）999×（-15）； （2）999× 4118 5 +999×（ 1 5  ）-999× 318 5 . 知识点三 有理数的乘方  乘方（重点） 一般地， n 个相同的因数 a 相乘，即 ⋯ 个 ，记作 na ，读作 a 的 n 次方。求 n 个相同因 数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在 na 中， a 叫做底数， n 叫做指数。 na 读作 a 的 n 次方，也可以读作 a 的 n 次幂。 当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。 乘方的规律： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0. 有理数乘方的运算方法： 1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。 2. 计算结果的绝对值。  有理数的混合运算 运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算,从左到右进行； （3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。  科学记数法 把一个大于 10 的数记成 10na 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数（即1 10a  ）， n 是 正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10 的指数比原数的整数位数少 1.） 把 10na 还原成原数时，只需把 a 的小数点往前移动 n 位。  近似数和有效数字 在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是 0 的， 不能去掉 0.） 一个近似数从左边第一位非 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数 有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一 位。 1．（2018·丹东第九中学中考模拟）下列算式中，运算结果为负数的是( ) A．|-1| B．(-2)3 C．(-1)×(-2) D．(-3)2 2．（2018·四川成都外国语学校中考模拟）下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3 中，负数的个数 有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3.（2018·河南中考模拟）若 a=﹣4×4，b=﹣|﹣32×1 2 3 |，c=﹣5+2（﹣22），则 a、b、c 的大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b 考查题型五 有理数混合运算 1．（2018·湖北中考模拟）计算： （1）5 1 4 -（-2 2 3 ）+（-3 1 4 ）-（+4 2 3 ）； （2）（- 3 5 9 4 8 12   ）×（-24）； （3）（-3）÷ 3 4 × 4 3 ×（-15）； （4）-14+|（-2）3-10|-（-3）÷（-1）2017． 2．（2018·湖北中考模拟）计算： （1）﹣15+（﹣8）﹣（﹣11）﹣12 （2） 1 1 3 1( 3 ) ( ) ( )2 3 14 2       （3） 1 1 1 1( ) ( )36 6 9 3     （4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3] 3．（2018·海南琼山中学中考模拟） 2 31 1 3 1( ) ( ) 12 ( )3 3 4 6      考查题型六 用科学记数法表示绝对值较大的数 1．（2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互 利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为 ( ) A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010 2．（2018·河南中考真题）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7 亿元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（ ） A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011 3.（2019·安徽中考模拟）据资料显示，地球的海洋面积约为 360000000 平方千米，请用科学记数法表示地 球海洋面积面积约为多少平方千米( ) A． 736 10 B． 83.6 10 C． 90.36 10 D． 93.6 10 4．（2018·广东中考真题）260000000 用科学计数法表示为( ) A． 90.26 10 B． 82.6 10 C． 92.6 10 D． 726 10 5．（2019·山东中考模拟）一个整数 815550…0 用科学记数法表示为 8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．10 考查题型七 根据精确度求近似值 1．（2018·山东中考模拟）近似数 3.02×106 精确到（ ） A．百分位 B．百位 C．千位 D．万位 2．（2017·安徽中考模拟）用四舍五入法得到近似数 4.005 万，关于这个数有下列说法，其中正确的是（ ） A．它精确到万位 B．它精确到 0.001 C．它精确到万分位 D．它精确到十位 3．（2019·山东中考模拟）近似数 1.23×103 精确到（ ） A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位 4．（2019·福建中考模拟）30269 精确到百位的近似数是( ) A．303 B．30300 C． 330.2 30 D． 43.03 10 5．（2019·四川中考真题）用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（ ） A．131000 B． 60.131 10 C． 51.31 10 D． 413.1 10 6．（2019·河北中考模拟）近似数 5.10 精确到（ ） A．个位 B．十分位 C．百分位 D．十位 7．（2018·江苏中考模拟）今年无锡马拉松参赛选手 91879 人，这个数据精确到千位并用科学记数法表示为 （ ） A．91×103 B．92×103 C．9.1×104 D．9.2×104 8．（2018·广西中考模拟）近似数 精确到（ ） A．十分位 B．个位 C．十位 D．百位