2020九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题13 证明切线的两种常用方法习题 （新版）新人教版 7页

小专题13　证明切线的两种常用方法 类型1　直线与圆有交点 ‎　‎ 直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等．‎ ‎【例1】　(山西中考改编)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点(不与A，B重合)，过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.在线段PQ上取一点D，使DQ＝DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ 解：CD是⊙O的切线．‎ 理由：连接OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB.‎ 又∵DC＝DQ，∴∠Q＝∠DCQ.‎ ‎∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90°.‎ ‎∴∠B＋∠Q＝90°.‎ ‎∴∠OCB＋∠DCQ＝90°.‎ ‎∴∠DCO＝∠180°－(∠OCB＋∠DCQ)＝90°.‎ 7‎ ‎∴OC⊥DC.‎ ‎∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．‎ ‎1．(山西中考改编)如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．‎ 解：CD与⊙O相切．‎ 理由：连接OD，‎ 则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC.‎ ‎∴∠CDO＝∠AOD＝90°.‎ ‎∴OD⊥CD.‎ ‎∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴CD与⊙O相切．‎ ‎2．(常德中考)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到点E，且有∠EBD＝∠CAB.求证：BE是⊙O的切线．‎ 证明：连接OB，∵BD＝BC，‎ ‎∴∠CAB＝∠BAD.‎ ‎∵∠EBD＝∠CAB，‎ ‎∴∠BAD＝∠EBD.‎ ‎∵OA＝BO，‎ ‎∴∠BAD＝∠ABO.‎ ‎∴∠EBD＝∠ABO.‎ 7‎ ‎∵AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABD＝90°.‎ ‎∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°.‎ ‎∵点B在⊙O上，且OB为⊙O的半径，‎ ‎∴BE是⊙O的切线．‎ ‎3．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，D为AC延长线上一点，且∠DBC＝∠CAB，求证：BD是⊙O的切线．‎ 证明：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴AE平分∠CAB.‎ ‎∴∠BAE＝∠BAC，‎ ‎∵∠DBC＝∠CAB，‎ ‎∴∠DBC＝∠BAE.‎ ‎∵∠BAE＋∠ABE＝90°，‎ ‎∴∠DBC＋∠ABE＝90°，即∠ABD＝90°.‎ ‎∴BD⊥OB.又OB为⊙O的半径，‎ ‎∴BD是⊙O的切线．‎ ‎4．(永州中考改编)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.求证：CE是⊙O的切线．‎ 7‎ 证明：连接CO，OE，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°.‎ ‎∵E是BD中点，‎ ‎∴CE＝BE＝BD.‎ 又∵OC＝OB，OE＝OE，‎ ‎∴△COE≌△BOE.∴∠OCE＝∠OBE.‎ ‎∵BD为⊙O的切线，∴∠OBE＝90°.‎ ‎∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．‎ ‎5．(丽水中考)如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.‎ ‎(1)求证：AD是半圆O的切线；‎ ‎(2)连接CD，求证：∠A＝2∠CDE.‎ 证明：(1)连接OD，BD，‎ ‎∵AB是⊙O的切线，‎ ‎∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴∠ABD＝∠ADB.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠DBO＝∠BDO.‎ ‎∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO.‎ ‎∴∠ADO＝∠ABO＝90°.‎ 又OD为⊙O的半径，∴AD是半圆O的切线．‎ ‎(2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，‎ ‎∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD ‎＝180°－∠BOD＝∠DOC.‎ 7‎ ‎∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.‎ ‎∴∠ODC＋∠CDE＝90°.‎ ‎∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°.‎ ‎∴∠BDO＝∠CDE.‎ ‎∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO.‎ ‎∴∠DOC＝2∠CDE.‎ ‎∴∠A＝2∠CDE.‎ 类型2　不确定直线与圆是否有交点 ‎　‎ 直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ ‎【例2】　(贵港中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.‎ ‎(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；‎ ‎(2)若∠ABC＝60°，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．‎ 解：(1)证明：连接OD，OA，作OE⊥AB于点E，‎ ‎∵AB＝AC，O为BC的中点，‎ ‎∴∠CAO＝∠BAO.‎ ‎∵OD⊥AC于点D，OE⊥AB于点E，‎ ‎∴OD＝OE.‎ ‎∵AB经过圆O半径的外端，‎ ‎∴AB是半圆O所在圆的切线．‎ ‎(2)∵AB＝AC，∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎∴BC＝AB＝12.‎ ‎∵点O为BC的中点，∴BO＝6.‎ 由(1)可知∠BOE＝30°.‎ 7‎ 在Rt△OBE中，BE＝BO＝3，‎ OE＝＝3.‎ ‎∴半圆O所在圆的半径为3.‎ ‎6．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切．‎ 证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，‎ ‎∵⊙O与BC相切于点M，‎ ‎∴OM⊥BC.‎ ‎∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，‎ 又∵ON⊥CD，OM⊥BC，‎ ‎∴OM＝ON.又ON为⊙O的半径，‎ ‎∴CD与⊙O相切．‎ ‎7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.‎ ‎(1)求证：AC是⊙D的切线；‎ ‎(2)求线段AC的长．‎ 解：(1)证明：过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.‎ ‎∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，‎ ‎∴BD＝DF.‎ 7‎ ‎∴点F在⊙D上．‎ ‎∴AC是⊙D的切线．‎ ‎(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中，‎ ‎∵BD＝FD，DE＝DC，‎ ‎∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)．‎ ‎∴EB＝CF.‎ 在Rt△ABD和Rt△AFD中，‎ ‎∵BD＝FD，AD＝AD，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)．‎ ‎∴AB＝AF.‎ ‎∴AB＋EB＝AF＋CF，即AB＋EB＝AC.‎ ‎∴AC＝5＋3＝8.‎ 7‎