13年1月普陀中考数学一模试题 11页

2012 学年普陀区九年级数学期终调研试卷 2012.12.26 （测试时间：100 分钟，满分：150 分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．如果 : 2:3xy ，那么下列各式不成立的是 （ ）． （A） 5 3 xy y   ； （B） 1 3 xy y   ； （C） 1 23 x y  ； （D） 13 14 x y   ． 2．某一时刻，身髙 1.6 m 的小明在阳光下的影长是 0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的 影长是 5m，那么该旗杆的高度是 （ ）． （A）1.25m； （B）10m； （C）20 m； （D）8m． 3．如果二次函数 2y x bx c   配方后为 2( 2) 1yx- ，那么b， c 的值分别为 （ ）． （A） 4 ，5； （B）4，3； （C） 4 ， 3； （D）4，5． 4．如图，已知抛物线 cbxxy  2 的对称轴为 2x ，点 A， B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点 A 的坐标为（0，3），则点 B 的坐标为 （ ）． （A）（2，3）； （B）（4，3）； （C）（3，3）； （D）（3，2）． 5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为 （ ）． （A） 1 2 ； （B） 5 5 ； （C） 25 5 ； （D） 10 10 ． O x y A x = 2 B （第 4 题） （第 5 题） 6. 已知线段 a、b、c，求作第四比例线段 x，下列作图正确的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．如果在比例尺为 1︰1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 1.6 厘米，那么 A、B 两地的实际距离是 千米． 8．把长度为 4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm． 9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是 1︰4，那么它们的周长比是 ． 10．如果抛物线 21) 2 1y m x mx   （ 的图像开口向下，那么 m 的取值范围是__________． 11．将二次函数 22yx 的图像向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图像的解 析式为 ________________． 12．二次函数 2y ax bx c   中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表，则 m 的值为 __________ ． 2 1 0 1 2 3 4 7 2 2 m 2 13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°， B  ，AB=2，那么 BC= _____________．（结果用 的 锐角三角比表示） 14．如图，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与 DF 相等的向量是__________ ． 15．如图，点 G 是△ABC 的重心，AG⊥GC，AC=4，那么 BG 的长为 ___________． 16．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=6cm，cot 2 3A  ，那么△ABC 的面积是____________ cm2． （第 14 题） （第 15 题） （第 16 题） a x b c a c b x x c b a x c a c x b 17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18cm，深为 30cm，为方便残疾人士， 拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 1:5i  ，那么 AC 的长度是 cm． 18. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上 的点 D 处，已知 MN∥AB，MC＝6，NC＝ 23，那么四边形 MABN 的面积是______________． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 2 cot 30cos30 (sin 60 ) 2 cos45     ． 20．（本题满分 10 分） 如图，已知两个不平行的向量 a 、b ． 先化简，再求作： 13( 3 ) ( )22a b a b   ． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） b a （第 20 题图） （ （第 17 题） （第 18 题） （ （第 22 题） 21．（本题满分 10 分） 已知：在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°， AB=AD=25，BC=32．连接 BD，AE⊥BD，垂足为点 E． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）求线段 AE 的长． 22．（本题满分 10 分） 21.3 , 0 63.5 9 2 9 sin21.3 , tan 21.3 ,sin 63.5 , tan 63.5 2)25 5 10 AC BC C           一艘轮船自西向东航行，在 处测得东偏北 方向有一座小岛 继续向东航行8 海里到达 处，测得小岛 此时在轮船的东偏北 方向上。之后，轮船继续向东航 行多少海里，距离小岛 最近？ （参考数据： C A B （ （第 21 题） 23．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分, 第（3）小题 5 分） 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF⊥AE， EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BG⊥AC，垂足为点 G， BG 交 AE 于点 H． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明； （3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长． 24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 2 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕 点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P， 使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． （第 23 题） （ （第 24 题） 25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分） 将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 θ 度，并使各边长变为原来的 n 倍，得△AB′C′， 即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC 作变换[60°， 3 ]得△AB′C′，那么 AB C ABC S S   = ； 直线 BC 与直线 B′C′所夹的锐角为 度． （2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'， 使点 B、C、C′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为矩形，求 θ 和 n 的值． （3）如图③，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′， 使点 B、C、B′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求 θ 和 n 的值． 2012 学年普陀区九年级数学期终调研试卷 参考答案及评分说明 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．(D)； 2． (C)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(D)． 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．16； 8．( 2 5 2 )； 9．1︰4； 10． 1m  ； 11． 22( 1) 2yx    ； 12． 1 ； 13． 2cos ； 14． EA 和 CE ； 15．4； 16．12； 17．210 ； 18．18 3 ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.解：原式 23 3 3()22 22 2     ……………………………………………………（4 分） 33 324   ………………………………………………………………（4 分） 53 8 ． …………………………………………………… ……………（2 分） 20. 解： 13( 3 ) ( )22a b a b   13322a b a b    ………………………………………………………（1 分） 2ab   …………………………………………………………………（4 分） 画图正确 4 分（方法不限），结论 1 分． 21.（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠1 =∠2.……………… (1 分) ∵AD∥BC，∴∠1=∠3.……………………(1 分) ∴∠2=∠3. …………………………………(1 分) ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠C=90°. ………………………(1 分) ∴△ABE∽△DBC. ………………………(1 分) （2）解：∵AB=AD，又 AE⊥BD，∴BE=DE. ∴BD=2BE.…………………………………………………………………(1 分) 由△ABE∽△DBC，得 AB BE BD BC . ……………………………………(1 分) ∵AB=AD=25，BC=32，∴ 25 2 32 BE BE  . ∴BE=20． ………………………………………………………………(2 分) ∴ 22AE AB BE 2225 20 (25 20) (25 20)    1 2 3 =15． ……………………………………………………………………(1 分) 22．解：过点 C 作 CD⊥AE，垂足为点 D， 此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．………(1 分) 由题意可知： ∠A=21.3°，AB=80 海里，∠CBE=63.5°．…(1 分) 在 Rt△ACD 中，tan∠A= CD AD  2 5 ，……………………………………………(1 分) 2(80 )5CD BD；………………………………………………………(1 分) 同理： 2CD BD ；………………………………………………………………(2 分) ∴ 22 (80 )5BD BD，…………………………………………………………(2 分) 解得： 20BD  ．…………………………………………………………(1 分) C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛 最近. ……………………………………(1 分) 23． （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABE=∠ECF=90°．………………(1 分) ∵AE⊥EF，∴∠1+∠2=90°． 又∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， …………………………(1 分) ∴△ABE∽△ECF． …………………(1 分) （2）答：△ABH∽△ECM．………………………(1 分) 证明：∵BG⊥AC，∠ABE=90°， ∴∠4+∠BAG=∠5+∠BAG= 90°． ∴∠4=∠5．………………………………………………………………………(1 分) 由（1）知，∠3=∠2，…………………………………………………………(1 分) ∴△ABH∽△ECM．………………………………………………………………(1 分) （3）解：过点 M 作 MR⊥BC，垂足为 R．…………………………………………………(1 分) ∵AB=BE=EC=2， ∴AB∶BC=MR∶RC=1∶2，…………………………………………………… (1 分) ∠1=45°，CR=2MR， ∴∠2=45°，………………………………………………………………………(1 分) ∴ER=MR， ………………………………………………………………………(1 分) ∴MR= 2 3 ，∴ 2 2 2233EM    ．……………………………………………(1 分) 1 2 3 4 5 C A B D E 24. 解： （1）如图，过点 B 作 BC⊥ x 轴，垂足为的点 C． ……………………………………………(1 分) ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．又∵OA=OB=4， ∴ =2OC ， =2 3BC ． ∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣ 23）．…………………………………………………(2 分) （2）∵抛物线过原点 O 和点 A、B， ∴可设抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx a   ，……………………………………(1 分) 将 A（4，0）， B（﹣2，﹣ 23）代入，得 16 4 0, 4 2 2 3. ab ab     ……………………………………………………………………(2 分) 解得 3 ,6 23.3 a b     ∴此抛物线的解析式为 3 2 3 63yx   ．………………………………………………(2 分) （3）存在．……………………………………………………………………………………(1 分) 解：如图，抛物线的对称轴是 =2，直线 =2 与 轴的交点为 D， 设点 P 的坐标为（2，y）． ①若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=±23， 当 y= 时，在 Rt△POD 中，∠PDO=90°， sin∠POD= PD OP 3 2 ，∴∠POD=60°． ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即 P、O、B 三点在同一直线上．∴y= 不符合题意，舍去． ∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．………………………………………………………(1 分) ②若 BO=BP，则 42+|y+ 23|2=42，解得 y=﹣ ． ∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．……………………………………………………………(1 分) ③若 PO=PB，则 22+|y|2=42+|y+ |2，解得 y=﹣ ． ∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．……………………………………………………………(1 分) 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，﹣ ）．…………………(1 分) 25. 解：（1） 3；60． …………………………………………………………………………(2 分) （2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．………………………………………(1 分) ∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．……………………………………(1 分) 在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°．…………………（1 分） ∴AB′=2 AB，即 2ABn AB ．……………………………………………………（1 分） （3）∵四边形 ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′． 又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． …………………………………（1 分） ∴∠C′AB′=∠BAC=36°． …………………………………………………………（1 分） 而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA． ………………………………………………（1 分） ∴AB∶BB′=CB∶AB． ……………………………………………………………（1 分） ∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）． …………………………………………………（1 分） 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB）， ………………………………（1 分） 解得，AB 15 2  ．…………………………………………………………………（1 分） ∵AB＞0，∴ 51 2 BCn BC   ．…………………………………………………（1 分） （以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分）