中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义24 相似形（学生版） 18页

专题 24 相似形 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 相似图形及比例线段 相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似 多边形。 特征：对应角相等，对应边成比例。 比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我 们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【基础题型】 1．（2019·上海中考模拟）如果 a：b＝3：2，且 b 是 a、c 的比例中项，那么 b：c 等于（ ） A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2 2．（2019·上海中考模拟）下列四条线段能成比例线段的是（ ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5 3．（2018·安徽中考模拟）若 䁕 ，则 䁕 等于 （ ） A． B． C． D． 4．（2019·河北中考模拟）下列图案中花边的内外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不相似的是（ ） A． B． C． D． 5．（2019·四川中考真题）若 ǣ ǣ ，且 ，则 䁪 的值是（ ） A．4 B．2 C．20 D．14 【考查题型汇总】 考查题型一 利用平行线分线段成比例定理求线段长度 1．（2019·上海中考模拟）如图，在△ th 中，D、E 分别在边 AB、AC 上， ottth ， ootth 交 AB 于 F， 那么下列比例式中正确的是 A． o o o th B． o t o o C． oo h o th D． o t t2．（2019·上海中考模拟）如图，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，下列条件中能够判定 DE∥BC 的是（ ） A． t o th B． t o h C． t t ho o D． o t h3．（2019·河北中考模拟）在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，如果 AD＝2，BD＝3，那么由下列条 件能够判定 DE∥BC 的是( ) A． o th ＝ B． o th ＝ C． o h ＝ D． o h ＝ 4．（2017·重庆中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别是边 AB，AC，BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB， 且 AD∶DB＝3∶5，那么 CF∶CB 等于( ) A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 5．（2018·浙江省宁波市鄞州实验中学中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC， 已知 AE=6， AD DB 3 4  ，则 EC 的长是( ) A．4.5 B．8 C. 10.5 D．14 考查题型二 作平行线构造成比例线段的方法 1．（2018·浙江中考模拟）如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m 分别交直线 a、b、c 于点 A、B、C，直线 n 分 别交直线 a、b、c 于点 D、E、F，若 AB=2，AD=BC=4，则 to ho 的值应该（ ） A．等于 B．大于 C．小于 D．不能确定 2．（2018·广西中考真题）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 3．（2019·山西中考模拟）如图，ΔABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，延长 CA 至点 D，使 AD＝AC，点 E 是 BC 的中点，连接 DE 交 AB 于点 F，则 AF：FB 的值为( ) A． B． C． D． 知识点二 相似三角形 相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。 相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”，读作 “相似于”。 相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 相似三角形的性质： 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3.相似三角形的面积比等于相似比的平方． 相似三角形与实际应用： 关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。 【考查题型汇总】 考查题型三 相似三角形的判定方法 1．（2019·上海中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，如果添加下列某 个条件，不一定能使△ADE 与△ABC 相似，那么添加的这个条件是( ) A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． h o t D． t o th2．（2019·上海中考模拟）如图，点 、 o 分别在 th 的边 t 、 h 上，且 o 与 th 不平行．下列条件中， 能判定 o 与△ ht 相似的是（ ） A． h o t B． o t h C． o th o t D． o th h3．（2019·浙江中考模拟）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，若 BD=2AD，则 （ ） A． t B． o oh C． oh D． o th 4．（2019·四川中考模拟）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形， 则与△ABC 相似的三角形图形为（ ） A． B． C． D． 5．（2019·广西中考真题）如图， t oo h ， th ，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（ ） A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对 6．（2013·浙江中考真题）已知△A1B1C1，△A2B2C2 的周长相等，现有两个判断： ①若 A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2， 对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 考查题型四 利用相似三角形的性质进行计算 1．（2018·甘肃中考模拟）有一块直角边 AB=3cm，BC=4cm 的 Rt△ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方 形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ） A． B． C． D． 2．（2019·上海中考模拟）如图，已知▱ABCD 中，E 是边 AD 的中点，BE 交对角线 AC 于点 F，那么 S△AFE： S 四边形 FCDE 为( ) A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 3．（2019·四川中考真题）如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 : 1:3DE AD  ，连结 EF 交 DC 于点 G，则 :DEG CFGS S ＝（ ） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 4．（2019·山东中考真题）如图，在 th 中， h ， 4BC  ， 为 th 边上的一点，且 h t ．若 h 的面积为 ，则 t 的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2019·江苏中考真题）若 th ～ t h ，相似比为 ǣ ，则 th 与 t h 的周长的比为（ ） A． ǣ B． ǣ C． ǣ D． ǣ6．（2018·黑龙江中考真题）两个相似三角形的最短边分别是  和  ，它们的周长之差为  ，那么 小三角形的周长为（ ）． A．  B．  C．  D． 7．（2019·云南中考模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 8．（2011·浙江中考真题）（11·台州）若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 考查题型五 ；利用相似三角形的判定和性质求线段或角度 1．（2019·湖南中考真题）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE AB ， 连接 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G． (1)求证： to ho ； (2)若 th ， ‴ ，求 FG 的长． 2．（2016·山东中考模拟）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM，垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长． 3．（2019·辽宁中考模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为 线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B． (1)求证：△ADF∽△DEC (2)若 AB＝4,AD＝3 ,AE＝3,求 AF 的长. 4．（2017·江苏中考模拟）如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 AD CD CD BD  ． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB 的大小． 5．（2013·山东中考真题）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD=4，AB=6，求 的值． 考查题型六 利用相似三角形测量河宽 1．（2019·吉林中考模拟）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度 t 的长，他过 、 t 两点画两条相交 于点 的射线，在射线上取两点 、 o ，使 t o ，若测得 o ͵ 米，他能求出 、 t 之间 的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案． 2．（2018·陕西中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择 了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相 关测量信息，求河宽 AB． 3．（2019·安徽中考模拟）为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点 A，在近岸分别取点 B、 D、E、C，使点 A、B、D 在一条直线上，且 AD ⊥ DE ，点 A、C、E 也在一条直线上，且 DEttBC͵ 经测量 BC 米， BD 米， DE 米，求河的宽度 AB 为多少米？ 考查题型七 利用相似三角形测量物高 1．（2018·陕西省西安高新第一中学初中校区中考模拟）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位， 由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组 为了测量舍利塔的高度，在地面上的 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标 杆的顶端点 D，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得 EC＝4 米，将标杆 CD 向后平移到点 C 处，这 时地面上的点 F，标杆的顶端点 H，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与塔底 处的点 A 在同一直线上），这时测得 FG＝6 米，GC＝53 米． 请你根据以上数据，计算舍利塔的高度 AB． 2．（2019·芜湖市第二十九中学中考模拟）如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图，如 果镜子 P 与古城墙的距离 PD＝12 米，镜子 P 与小明的距离 BP＝1.5 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端 点 C，小明眼睛距地面的高度 AB＝1.2 米，那么该古城墙的高度是？ 3．（2019·广东中考模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的 位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m， 测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5m，CD=8m，求树高． 4．（2019·西安交通大学附属中学中考模拟）如图，河对岸有一路灯杆 AB，在灯光下，小亮在点 D 处测得 自己的影长 DF＝3m，沿 BD 方向从 D 后退 4 米到 G 处，测得自己的影长 GH＝5，如果小亮的身高为 1.7m， 求路灯杆 AB 的高度． 5．（2018·广西柳州八中中考模拟）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如 图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继 续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB＝1.25 m，已知李明直 立时的身高为 1.75 m，求路灯的高 CD 的长．(结果精确到 0.1 m) 6．（2018·陕西西北工业大学附属中学中考模拟）数学活动小组的小颖、小明和小华利用皮尺和自制的两个 直角三角板测量学校旗杆 MN 的高度，如示意图，△ABC 和△A′B′C′是他们自制的直角三角板，且 △ABC≌△A′B′C′，小颖和小明分别站在旗杆的左右两侧，小颖将△ABC 的直角边 AC 平行于地面，眼睛 通过斜边 AB 观察，一边观察一边走动，使得 A、B、M 共线，此时，小华测量小颖距离旗杆的距离 DN=19 米，小明将△A′B′C′的直角边 B′C′平行于地面，眼睛通过斜边 B′A′观察，一边观察一边走动，使得 B′、A′、 M 共线，此时，小华测量小明距离旗杆的距离 EN=5 米，经测量，小颖和小明的眼睛与地面的距离 AD=1 米，B′E=1.5 米，（他们的眼睛与直角三角板顶点 A，B′的距离均忽略不计），且 AD、MN、B′E 均与地面垂 直，请你根据测量的数据，计算旗杆 MN 的高度. 考查题型八 利用相似三角形解决盲区问题 1．（2018·陕西省西安高新逸翠园学校中考模拟）如图，两棵树的高度分别为 AB=6m，CD=8m，两树的根 部间的距离 AC=4m，小强正在距树 AB 的 20m 的点 P 处从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为 1.6m，当小强前进多少米时，就恰好不能看到 CD 的树顶 D? 考查题型九 利用相似三角形解决其它实际问题 1．（2018·河北中考模拟）一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC＝12 cm，高 AD＝8 cm，把它加工成 矩形零件如图，要使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，且矩形的长与宽的比为 3∶2， 求这个矩形零件的边长． 2．（2018·陕西初三期末）一块材料的形状是锐角三角形 ABC,边 BC=120mm,高 4D=80mm, .把它加工成正方 形零件如图 1,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB,AC 上. (1)求证： ooth ; (2)求这个正方形零件的边长; 考查题型十 利用相似三角形解决动态几何问题 1．（2017·天津中考模拟）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点 P 从点 A 出发， 沿 AC 向点 C 方向运动，动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CB 也向点 B 方向运动．如果点 P 的速度是 4cm/秒， 点 Q 的速度是 2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为 t 秒． （1）用含 t 的代数式表示 Rt△CPQ 的面积 S； （2）当 t＝3 秒时，P、Q 两点之间的距离是多少？ （3）当 t 为多少秒时，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 知识点三 位似 位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的 两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意： 1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。 2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。 位似中心的位置：形内、形外、形上。 画位似图形的步骤： 1.确定位似中心. 2.确定原图形的关键点. 3.确定位似比. 4.根据对应点所在直线经过位似中心且到位似中心的距离之比等于位似比，作出关键点的对应点，再按照 原图的顺序连接各点 ( 对应点都在位似中心同侧，或两侧 ) . 在直角坐标系中的位似图形坐标关系：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形的 位似图形，使它与原图形的相似比为 k，若原图形上点的坐标为(x，y)，则位似图形上与它对应的点的坐标 为(kx，ky)或(-kx，-ky). 平移、轴对称、旋转、位似的区别： 1.平移：和原图形一模一样 （和原图形全等且能与原图形重合） 2.轴对称：面积和原图形一样 也是全等，和平移的不同点就是轴对称之后的图形不能与原图形重合，虽然 它们全等） 3.旋转：面积和原图形一样，也是全等，和轴对称的不同点是轴对称只有一个和原图形轴对称的图形，而 旋转可以旋转出无数个。 4.位似：位似出的图形只和原图形的角相等 边就不一定相等了。 【考查题型汇总】 考查题型十一 识别位似图形和位似中心 1．（2018·四川中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A1B1C1 是以点 P 为位似中心的位似图形， 且顶点都在格点上，则点 P 的坐标为（ ） A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4） 2．（2018·河北中考模拟）如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，且点 F 与点 C 是一对对应点， 点 F 的坐标是（1，1），点 C 的坐标是（4，2），则它们的位似中心的坐标是（ ） A．（0，0） B．（－1，0） C．（－2，0） D．（－3，0） 3．（2015·四川中考真题）如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2，∠OCD=90°， CO=CD．若 B（1，0），则点 C 的坐标为（ ） A．（1，2） B．（1，1） C．（ ， ） D．（2，1） 4．（2018·河北中考模拟）如图， th 是 th 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若 th 的面 积与 th 的面积比是 4：9，则 t ：OB 为 A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9 5．（2019·甘肃中考模拟） 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（1，3）、B（3，0），以原点为位似中 心，将线段 AB 放大得到线段 CD，若点 C 的坐标为（6，0），则点 D 的坐标为（ ） A．（3，6） B．（2，4.5） C．（2，6） D．（1.5，4.5） 6．（2019·陕西中考模拟）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心 的位似图形，且相似比为 ，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2） 7．（2018·广西中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（―3，6）、B（―9，一 3），以原点 O 为 位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 考查题型十二 位似图形的应用 1．（2013·浙江中考模拟）如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点 O 是位似中心，D，E，F 分 别是 OA，OB，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ） A． ǣ B． ǣ C． ǣ D． ǣ2．（2019·河北中考模拟）如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知 OB=3OB′，则 △A′B′C′与△ABC 的面积比为（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 3．（2016·天津中考模拟）如图，在▱ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，若 EF：AF=2：5，则 S△DEF：S 四边形 EFBC 为（ ） A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 4．（2012·广东中考模拟）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC、BD 交于点 O，AD=1，BC=3，则 S△AOD： S△BOC 等于（ ） A．1：2 B．1：3 C．4：9 D．1：9 5．（2017·四川中考真题）如图，四边形 和 是以点 为位似中心的位似图形，若 ，则四边形 与四边形 的面积比为（ ） A．4：9 B．2：5 C．2：3 D． 6．（2019·广西中考真题）如图， th 与 th 是以坐标原点 为位似中心的位似图形，若点 쳌 쳌 t 쳌 ， h 쳌 ， t 쳌 则 th 的面积为__．