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- 2021-11-06 发布
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提分微课
(
三
)
常考相似模型
第四单元 三角形
相似三角形是几何中重要的证明模型之一
,
是全等三角形的推广
,
分析图形间的关系离不开数量的计算
.
相似和勾股是产生等式的主要依据
(
其他依据还有面积法
,
三角函数等
),
因此要掌握相似三角形的基本图形
,
体会其各种演变和联系
.
类型一
8
字型
有一组对顶角
,
此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等
.
根据对应关系不同
,
可将这一类型分为下面两种常见图形
:
图
W3-1
①
②
8
字型
倒
8
字型
(
AB
∥
CD
,
则
△
AOB
∽△
DOC
)
(
AB
,
CD
不平行
,
∠
A=
∠
C
或∠
B=
∠
D
,
则
△
AOB
∽△
COD
)
图
W3-2
[
答案
] 6
图
W3-3
类型二
A
字型
图
W3-4
有一个公共角
,
外加另外一组对应角相等
.
根据对应关系不同
,
可将这类型分为下面两种常见图形
:
①
②
A
字型
倒
A
字型
(
DE
∥
BC
,
则
△
ADE
∽△
ABC
)
(
DE
,
BC
不平行
,
∠
B=
∠
AED
或∠
C=
∠
ADE
,
则
△
ADE
∽△
ACB
)
3
.
[2019·
镇江南徐中学模拟
]
如图
W3-5,
在
△
ABC
中
,
点
D
,
E
分别在
AB
,
AC
上
,
且
DE
∥
BC.
若
AD=
2,
AB=
3,
DE=
4,
则
BC
的长为
.
图
W3-5
[
答案
]
6
4
.
如图
W3-6,
点
D
,
E
分别在
△
ABC
的边
AC
,
AB
上
,
且
AB=
9,
AC=
6,
AD=
3
.
若使
△
ADE
∽△
ABC
,
则
AE
的长为
.
图
W3-6
2
图
W3-7
[
答案
] (1)3
图
W3-7
图
W3-7
类型三 子母型
图
W3-
8
有一个公共角
,
且公共角的一边为公共边
.
需要从已知条件、隐含条件中证明另外一组角相等
.
常见的图形如图①
:
∠
ACD=
∠
B
,
∠
ADC=
∠
ACB
,
本图是最一般的子母型
.
如图②
,
∠
ACB=
90°,
CD
⊥
AB
,
图中的三个直角三角形都相似
,
这个图形也很常见
.
①
②
(
∠
ACD=
∠
B
或∠
ADC=
∠
ACB
,
△
ADC
∽△
ACB
∽△
CDB
则
△
ACD
∽△
ABC
)
[
答案
] C
6
.
如图
W3-9,
在
△
ABC
中
,
点
D
是
AB
边上的一点
,
若∠
ACD=
∠
B
,
AD=
1,
AC=
2,△
ADC
的面积为
1,
则
△
BCD
的面积为
(
)
A
.
1 B
.
2
C
.
3 D
.
4
图
W3-9
图
W3-1
0
C
图
W3-1
1
[
答案
]
D
[
解析
]
在
Rt△
ABC
中
,
AB
为斜边
,
CD
为斜边
AB
上的高
,
由
△
ADC
∽△
CDB
得
,
CD
2
=AD
·
BD
,
∴
CD=
6
.
故选
D
.
9
.
如图
W3-12,
在平面直角坐标系中
,
直线
y=kx
+1
与
x
轴交于点
A
,
与
y
轴交于点
C
,
过点
C
的抛物线
y=ax
2
-(6
a
-2)
x
+
b
与直线
AC
交于另一点
B
(4,3)
.
(1)
求抛物线的表达式
;
(2)
已知点
P
在
x
轴上
(
点
P
不与点
O
重合
),
连接
CP
,
若
△
AOC
与
△
ACP
相似
,
求点
P
的坐标
;
(3)
已知
x
轴上一动点
Q
(
m
,0),
连接
BQ
,
若
△
ABQ
与
△
AOC
相似
,
直接写出
m
的值
.
图
W3-12
9
.
如图
W3-12,
在平面直角坐标系中
,
直线
y=kx
+1
与
x
轴交于点
A
,
与
y
轴交于点
C
,
过点
C
的抛物线
y=ax
2
-(6
a
-2)
x
+
b
与直线
AC
交于另一点
B
(4,3)
.
(2)
已知点
P
在
x
轴上
(
点
P
不与点
O
重合
),
连接
CP
,
若
△
AOC
与
△
ACP
相似
,
求点
P
的坐标
;
图
W3-12
9
.
如图
W3-12,
在平面直角坐标系中
,
直线
y=kx
+1
与
x
轴交于点
A
,
与
y
轴交于点
C
,
过点
C
的抛物线
y=ax
2
-(6
a
-2)
x
+
b
与直线
AC
交于另一点
B
(4,3)
.
(3)
已知
x
轴上一动点
Q
(
m
,0),
连接
BQ
,
若
△
ABQ
与
△
AOC
相似
,
直接写出
m
的值
.
图
W3-12
类型四 一线三等角型
基本图形
1:
三个相等的角的顶点在同一条直线上
,
称一线三等角模型
,
常见于等腰三角形或等边三角形的背景中
.
如图
W3-13
所示
:
图
W3-13
10
.
如图
W3-14,
在
△
ABC
中
,
AB=AC
,
点
P
,
D
分别是
BC
,
AC
边上的点
,
且∠
APD=
∠
B.
(1)
求证
:
AC
·
CD=CP
·
BP
;
(2)
若
AB=
10,
BC=
12,
当
PD
∥
AB
时
,
求
BP
的长
.
图
W3-14
10
.
如图
W3-14,
在
△
ABC
中
,
AB=AC
,
点
P
,
D
分别是
BC
,
AC
边上的点
,
且∠
APD=
∠
B.
(2)
若
AB=
10,
BC=
12,
当
PD
∥
AB
时
,
求
BP
的长
.
图
W3-14
基本图形
2:
当在一线三等角模型中
,
三个等角为
90°
时
,
模型会变得更加特殊
,
如图
W3-15,△
ABD
∽△
CEB.
图
W3-15
11
.
如图
W3-16,
已知点
A
(0,4),
B
(4,1),
BC
⊥
x
轴于点
C
,
点
P
为线段
OC
上一点
,
且
PA
⊥
PB
,
则点
P
的坐标为
.
图
W3-16
[
答案
]
(2,0)
12
.
如图
W3-17,
正方形
ABCD
中
,
点
E
,
F
,
G
分别在
AB
,
BC
,
CD
上
,
且∠
EFG=
90°
.
求证
: △
EBF
∽△
FCG.
图
W3-17
证明
:
∵四边形
ABCD
为正方形
,
∴∠
B=
∠
C=
90°,
∵∠
EFG=
90°,
∴∠
BFE
+
∠
CFG=
90°,
而∠
BFE
+
∠
BEF=
90°,
∴∠
BEF=
∠
CFG
,
∴
△
EBF
∽△
FCG.
13
.
如图
W3-18,
AD
∥
BC
,
∠
D=
90°,
DC=
7,
AD=
2,
BC=
4
.
若在边
DC
上有点
P
使
△
PAD
和
△
PBC
相似
,
求
PD
的值
.
图
W3-18
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