2019年浙江湖州中考数学试题（解析版） 14页

‎{来源}2019年湖州中考数学试卷 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年浙江省湖州市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分． ‎ ‎{题目}1．（2019×湖州T1）数2的倒数是( )‎ A．－2 B．2 C．－ D． ‎{答案} D ‎{解析}本题考查了倒数的概念，因为互为倒数的两个数之积为1，所以2的倒数是，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}‎ ‎{考点:倒数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019×湖州T2）据统计，龙之梦动物世界在2019年“五一”小长假期间共接待游客约238000人次．用科学记数法可将238000表示为( )‎ A．238×103 B．23.8×104 C．2.38×105 D．0.238×106‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了科学记数法的表示方法，238000=2.38×100000=2.38×105，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎ ‎ ‎{题目}3．（2019×湖州T3）计算，正确的结果是( )‎ A．1 B． C．a D．‎ ‎{答案} A ‎{解析}本题考查了分式的加减运算，=，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4．（2019×湖州T4）已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是( )‎ A.29°28′ B.29°68′ C.119°28′ D.119°68′‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了考查角互余的概念，∠α的余角为90°－60°32′＝29°28′，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-4-3-3]余角和补角}‎ ‎{考点:互余}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}5．（2019×湖州T5）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是( )‎ ‎ A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 120πcm2 D. 130πcm2‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；该圆锥的侧面积＝×13×2×π×5＝65πcm2，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:圆锥侧面展开图}‎ ‎{类别:常考题} ‎ ‎{难度:1－最简单}‎ ‎{题目}6．（2019×湖州T6）已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了概率的计算，∵10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，∴从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是＝，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:一步事件的概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}7．（2019×湖州T7）如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是( )‎ A. 60° B. 70° C. 72° D. 144°‎ ‎{答案} C ‎{解析}本题考查了本题考查的是正多边形和圆的关系，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝(5−2)×180°＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝(180°−108°)＝36°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝72°，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-3]正多边形和圆}‎ ‎{考点:正多边形和圆}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2019×湖州T8）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )‎ A. 24 B. 30 C. 36 D. 42‎ ‎{答案} B ‎{解析}本题考查了角平分线的性质和多边形面积的计算，如图，过点D作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC可知，DC＝DE，BC＝BE，∴四边形ABCD的面积BC∙CD－(BE－AB)∙DE＝36－6＝30，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-12-3]角的平分线的性质}‎ ‎{考点:角平分线的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}9．（2019×湖州T9）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积． 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，如下图，EF为剪痕，过点F作FG⊥EM于G．‎ ‎∵EF将该图形分成了面积相等的两部分， ∴EF经过正方形ABCD对角线的交点，‎ ‎∴AF=CN，BF=DN．易证△PME≌PDN， ∴EM=DN，而AF=MG，‎ ‎∴EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1．‎ 在Rt△FGE中，EF=．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:平行四边形中心对称性}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019×湖州T10）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎{答案} D ‎{解析}本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题可采用特殊值法． 取a＝2，b＝1，可知A选项是可能的；取a＝2，b＝－1，可知B选项是可能的；取a＝－2，b＝－1，可知C选项是可能的，那么根据排除法，可知D选项是不可能的，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，合计24分．‎ ‎{题目}11．（2019×湖州T11）分解因式: x2-9＝_____________．‎ ‎{答案}(x+3)(x-3)‎ ‎{解析}本题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式，有x2-9＝x2-32＝(x+3)(x-3).‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－平方差}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019×湖州T12）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是_____________．‎ ‎{答案}30°‎ ‎{解析}本题考查了圆周角定理，∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°=30°．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}13．（2019×湖州T13）学校进行广播操比赛，如图是20位评委给某班的评分情况统计图，则该班的平均得分是_____________分．‎ ‎{答案}9.1‎ ‎{解析}本题考查了加权平均数以及条形统计图，该班的平均得分= = 9.1．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-20-1-1]平均数}‎ ‎{考点:加权平均数（频数为权重）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}14．（2019×湖州T14）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为_____________ cm．（参考数据: sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）‎ 单位：‎ cm 图1‎ 图2‎ ‎{答案}120‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用，过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，‎ ‎∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，‎ ‎∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，‎ ‎∴∠FAB＝∠BOE＝37°，‎ 在Rt△ABF中，AB＝85＋65＝150cm，‎ ‎∴h＝AF＝AB•cos∠FAB＝150×0.8＝120cm．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-2-2]非特殊角}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019×湖州T15）如图，已知在平面直角坐标系xoy中，直线y＝x－1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD. 若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是_____________．‎ ‎ ‎ ‎{答案}2‎ ‎{解析}本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，如下图，过点D作DF⊥y轴于F. ‎ 由反比例函数比例系数的几何意义，可得S△COE＝k，S△DOF＝k.‎ ‎∵S△DOB＝S△COE＝k，∴S△DBF＝S△DOF－S△DOB＝k＝S△DOB，‎ ‎∴OB＝FB.‎ 易证△DBF≌ABO，从而DF＝AO＝2，即D的横坐标为－2，而D在直线AC上，‎ ‎∴D(－2, －2)，∴k＝∙(－2)∙(－2)＝2．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019×湖州T16）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_____________．‎ ‎ ‎ ‎{答案}4 ‎{解析}本题考查了勾股定理、正方形的性质及相似三角形的性质，如下图， 连结GE交MN于O．‎ 观察图1、图2可知， EN＝MN＝4，GM＝8，∠ENM＝∠GMN＝90°．‎ ‎∴△EON∽△GOM，∴ ＝ ＝ ，‎ ‎∴ON＝MN＝，OM＝MN＝．‎ 在Rt△ENO中，OE＝＝，同理可求得OG＝，‎ ‎∴GF＝(OE＋OG)＝，即“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:图形的剪拼}‎ ‎{考点:几何填空压轴}‎ ‎{类别:数学文化}{类别:高度原创}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，合计66分．‎ ‎{题目}17．（2019×湖州T17）计算：.‎ ‎{解析}本题考查了有理数的计算，先求(－2)3＝－8，再求×8＝4，即可求解．‎ ‎{答案}解：原式＝－8＋4＝－4.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-1-5-1]乘方}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:有理数加减乘除乘方混合运算}‎ ‎{题目}18．（2019×湖州T18）化简:(a＋b)2- b(2a＋b).‎ ‎{解析}本题考查了单项式乘多项式，‎ 根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．‎ ‎{答案}解：原式=a2 +2ab+b2 -2ab -b2 =a2.‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-14-2]乘法公式}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:乘法公式的综合应用}‎ ‎{题目}19．（2019×湖州T19）已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点．‎ ‎(1)求c的取值范围；‎ ‎(2)若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由．‎ ‎{解析}本题考查了二次函数图象及性质；‎ ‎（1）由二次函数与x轴交点情况，可知b2－4ac＞0；‎ ‎（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解．‎ ‎{答案}解： (1)b2－4ac＝(－4)2－8c＝16－8c．‎ 由题意，得b2 －4ac＞0，∴16－8c＞0．‎ ‎∴c的取值范围是c＜2．‎ ‎(2) m＜n. 理由如下：‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝1，‎ 又∵a＝2＞0，∴当x≥1时，y随x的增大而增大．‎ ‎∵2＜3，∴m＜n．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:抛物线与一元二次方程的关系}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{题目}20．（2019×湖州T20）我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关注和同学们的积极响应，某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表.‎ 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 某校抽查的学生文章阅读的篇数情况统计图 文章阅读的篇数(篇)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7及以上 人数(人)‎ ‎20‎ ‎28‎ m ‎16‎ ‎12‎ 请根据统计图表中的信息，解答下列问题:‎ ‎(1)求被抽查的学生人数和m的值；‎ ‎(2)求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；‎ ‎(3)若该校共有800名学生，根据抽查结果估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数.‎ ‎{解析}本题考查了扇形统计图表的综合运用，（1）先由6篇的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他篇数的人数求得m的值；（2）根据中位数和众数的定义求解；（3）用总人数乘以样本中4篇的人数所占比例即可得．‎ ‎{答案}解： (1) 被抽查的学生人数是16÷16％＝100(人)，m＝100-20-28-16-12＝24(人)．‎ ‎(2) 中位数是5(篇)，众数是4(篇)．‎ ‎(3) ∵被抽查的100人中，文章阅读篇数为4篇的人数是28人，‎ ‎∴800×＝224(人)，‎ ‎∴估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数是224人．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{题目}21．（2019×湖州T21）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．‎ ‎(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；‎ ‎(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．‎ ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝AB＝3，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论．‎ ‎{答案}解： (1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，‎ ‎∴DF∥BC，FE∥AB， ∴四边形BEFD是平行四边形．‎ ‎(2)解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6， ∴DF＝DB＝DA＝AB＝3．‎ ‎∴四边形BEFD是菱形．‎ ‎∵DB＝3， ∴四边形BEFD的周长为12．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}‎ ‎{考点:菱形的判定}‎ ‎{考点:三角形中位线}‎ ‎{考点:直角三角形斜边上的中线}‎ ‎{题目}22．（2019×湖州T22）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米. 甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米. 设甲步行的时间为x(分)，图1中线段OA和折线B-C-D分别表示甲、乙离开小区的路程y(米)与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s(米)与甲步行时间x(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：‎ ‎(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；‎ ‎(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；‎ ‎(3)在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎{解析}本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x＝18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．‎ ‎{答案}解： (1)由题意，得：甲步行的速度是2400÷30＝80(米/分)，‎ ‎∴乙出发时甲离开小区的路程是80×10＝800(米).‎ ‎(2)设直线OA的解析式为: y＝kx（k≠0），‎ ‎∵直线OA过点A(30，2400)，‎ ‎∴30k＝2400，‎ 解得k＝80，‎ ‎∴直线OA的解析式为: y＝80x.‎ ‎∴当x＝18时，y＝80×18＝1440，‎ ‎∴乙骑自行车的速度是1440÷(18-10)＝180(米/分).‎ ‎∵乙骑自行车的时间为25-10＝15(分)，‎ ‎∴乙骑自行车的路程为180×15＝2700(米).‎ 当x＝25时，甲走过的路程是y＝80x＝80×25＝2000(米)，‎ ‎∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是2700-2000＝700(米).‎ ‎(3)图象如图所示:‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:常考题}‎ ‎{考点:一次函数与行程问题}‎ ‎{考点:距离时间图象}‎ ‎{题目}23．（2019×湖州T23）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(－3，0)，B(0，3)．‎ ‎(1)如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；‎ ‎(2)如图2，已知直线l2：y＝3x－3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，为半径画圆．‎ ‎①当点Q与点C重合时，求证: 直线l1与⊙Q相切；‎ ‎②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点， 连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎{解析}本题考查了圆的综合运用，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点．（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB，即可求解；（2）过点作CE⊥AB于点E，证明CE＝ACsin45°＝4×＝2＝圆的半径，即可求解；（3）分点Q在线段CF上、点Q在线段CF的延长线上两种情况，分别求解即可．‎ ‎{答案}解： (1)如图3，连结BP，过点P作PH⊥OB于点H，则BH＝OH．‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎∵AO＝BO＝3，∴∠ABO＝45°，BH＝OB＝2，‎ ‎∵⊙P与直线l1相切于点B，∴BP⊥AB，‎ ‎∴∠PBH＝90°-∠ABO＝45°．‎ ‎∴PB＝BH＝， 从而⊙P的直径长为3．‎ ‎(2)证明：如图4，过点C作CE⊥AB于点E，‎ 图4‎ 将y＝0代入y＝3x－3，得x＝1，‎ ‎∴点C的坐标为(1，0).∴AC＝4，‎ ‎∵∠CAE＝45°，∴CE＝AC＝2．‎ ‎∵点Q与点C重合，‎ 又⊙Q的半径为2，‎ ‎∴直线l1与⊙Q相切．‎ ‎②解：假设存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，‎ ‎∵直线l1经过点A(－3，0)，B(0，3)，‎ ‎∴l的函数解析式为y＝x＋3．‎ 记直线l2与l1的交点为F，‎ 情况一：‎ 如图5，当点Q在线段CF上时，‎ 由题意，得∠MNQ＝45°．‎ 如图，延长NQ交x轴于点G，‎ 图5‎ ‎∵∠BAO＝45°，∴∠NGA＝180°-45°-45°＝90°，即NG⊥x轴，‎ ‎∴点Q与N有相同的横坐标，‎ 设Q(m，3m-3)，则N(m，m+3)，‎ ‎∴QN＝m＋3-(3m-3).‎ ‎∵⊙Q的半径为2，‎ ‎∴m＋3-（3m-3）＝2，‎ 解得m＝3-，‎ ‎∴3m-3＝6-2，‎ ‎∴Q的坐标为(3-，6-2).‎ 情况二：‎ 当点Q在线段CF的延长线上时，同理可得m＝3＋，Q的坐标为(3＋，6＋3)．‎ ‎∴存在这样的点Q1(3-，6-3)和Q2(3＋，6＋3)，使得△QMN是等腰直角三角形．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:高度原创}‎ ‎{考点:圆与函数的综合}‎ ‎{考点:切线的性质}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{题目}24．（2019×湖州T24）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．‎ ‎（1）求OC的长和点D的坐标；‎ ‎（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．‎ ‎①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；‎ ‎②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点 G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎{解析}本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．（1）由OA＝3，tan∠OAC＝＝，得OC＝，由四边形OABC是矩形，得BC＝OA＝3，所以CD＝BC＝，求得D（，）；（2）①由易知得ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，所以∠BDB'＝60°，∠BDF＝∠B'DF＝30°，所以BF＝BD•tan30°＝，AF＝BF＝，因为∠BFD＝∠AEF，所以∠B＝∠FAE＝90°，因此△BFD≌△AFE，AE＝BD＝，点E的坐标（，0）；②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为y＝－x2＋x，因此E（，0），直线DE：y＝－x＋，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为y＝－x2＋x＋，所以E（6，0），直线DE：y＝－x＋，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2＝－＝，即G运动路径的长为．‎ ‎{答案}解： (1)∵OA＝3，tan∠OAC＝＝，∴OC＝．‎ ‎∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴BC＝AO＝3.‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴CD＝BC＝，‎ ‎∴点D的坐标为(，)．‎ ‎(2) ①∵tan∠OAC＝，‎ ‎∴∠OAC＝30°，‎ ‎∴∠ACB＝∠OAC＝30°．‎ 设将△DBF翻折后，点B落在AC上的B′处，‎ 则DB′＝DB＝DC，∠BDF＝∠BD′F，‎ ‎∴∠DB′C＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴∠BDB＝60°，‎ ‎∴∠BDF＝∠B′DF＝30°．‎ ‎∵∠B＝90°，‎ ‎∴BF＝BD ∙ tan30°＝．‎ ‎∵AB＝，‎ ‎∴AF＝BF＝，‎ ‎∵∠BFD＝∠AFE，∠B＝∠FAE＝90°，‎ ‎∴△BFD≌△AFE．‎ ‎∴AE＝BD＝．‎ ‎∴OE＝OA＋AE＝，∴点E的坐标为(，0)．‎ ‎②．解答如下：‎ 动点P在点O时，‎ ‎∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，），‎ 求得此时抛物线解析式为y＝－x2＋x，‎ ‎∴E（，0），‎ ‎∴直线DE：y＝－x＋，‎ ‎∴F1（3，）；‎ 当动点P从点O运动到点M时，‎ ‎∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，），‎ 求得此时抛物线解析式为y＝－x2＋x＋，‎ ‎∴E（6，0），‎ ‎∴直线DE：y＝－x＋，‎ ‎∴F2（3，）；‎ ‎∴点F运动路径的长为F1F2＝－＝，‎ ‎∵△DFG为等边三角形，‎ ‎∴G运动路径的长为．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:思想方法}{类别:高度原创}‎ ‎{考点:代数综合}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎