九年级数学下册第二章二次函数6何时获得最大利润习题课件北师大版 30页

6 　何时获得最大利润 1. 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 , 并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大 ( 小 ) 值 .( 重点 ) 2. 运用二次函数的知识解决实际问题 .( 难点 ) 最优化问题 某商场将进价 40 元 / 件的商品按 50 元 / 件售出时 , 能卖出 500 件 . 已知该商品每涨价一元 , 销量就减少 10 件 . 设每件涨价 x 元 , 总利润为 y 元 , 则如何涨价 , 能获得最大利润 ? 最大利润是多少 ? 【 思考 】 (1) 每件商品所获利润为 __________ 元 , 销售量为 __________ 件 . (2) 共获利润 y=___________________ 元 , 即 y=-10x 2 +400x+ 5000. (3) 思考上面二次函数的顶点的横坐标、纵坐标与所求问题 的关系求解 . (50+x-40) (500-10x) (50+x-40)(500-10x) ∵ a=-10 ＜ 0 ，∴该二次函数有最 ___ 值 . ∴ 每件涨价 20 元时，有最大利润，最大利润为 ______ 元 . 9 000 大 9 000 【 总结 】 抛物线 y=ax 2 +bx+c 的顶点是最低 ( 高 ) 点，当 x= _____ 时，二次函数 y=ax 2 +bx+c 有最小 ( 大 ) 值 _______ . ( 打 “ √ ” 或 “ × ” ) (1) 在实际问题中 , 自变量的取值范围往往不是全体实数 .( ) (2) 在实际问题中 , 二次函数的最值也是实际问题的最值 .( ) (3) 若实际问题中的二次函数开口向上 , 则这个实际问题只有最 小值 , 没有最大值 .( ) (4) 当 3≤x≤5 时 , 二次函数 y=x 2 -4x-5 的最小值是 0.( ) √ × × × 知识点 最优化问题   【 例 】 某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车 . 据统计 , 当每辆车的日租金为 400 元时 , 可全部租出 ; 当每辆车的日租金每增加 50 元 , 未租出的车将增加 1 辆 ; 公司平均每日的各项支出共 4800 元 . 设公司每日租出 x 辆车时 , 日收益为 y 元 .( 日收益 = 日租金收入 - 平均每日的各项支出 ) (1) 公司每日租出 x 辆车时 , 每辆车的日租金为 ______ 元 ( 用含 x 的代数式表示 ). (2) 当每日租出多少辆时 , 租赁公司日收益最大 ? 最大是多少元 ? (3) 当每日租出多少辆时 , 租赁公司的日收益不盈也不亏 ? 【 解题探究 】 (1)① 当每日租出 x 辆车时 , 则未租出的车辆是多 少 ? 提示 : 未租出的车辆是 20-x. ② 此时每辆车的日租金增加了多少 ? 提示 : 每辆车的日租金增加了 50(20-x)=(1000-50x) 元 . ③ 由上面的探究可知每辆车的日租金是 ___________ 元 . (1400-50x) (2)① 日收益 y 与 x 的关系是什么 ? 提示 : y=x(-50x+1400)-4800=-50x 2 +1400x-4800. ② 确定 x 为何值时 ,y 有最大值 , 最大值是多少 ? 提示 : ∵y=-50x 2 +1400x-4800=-50(x-14) 2 +5000,∴ 当 x=14 时 , y 有最大值 5000. ③ 由上面的探究可知当每日租出 ___ 辆时 , 租赁公司日收益最大 , 最大为 _____ 元 . 14 5000 (3)① 租赁公司日收益不盈也不亏时 ,y 的值是多少 ? 提示 : y=0. ② 求出此时 x 的值是多少 ? 提示 : 当 y=0 时 ,-50(x-14) 2 +5000=0, 解得 x 1 =24,x 2 =4. ③ 上面的 x 值是否都符合题意 ? 为什么 ? 提示 : ∵24>20,∴x=24 不合题意 . ④ 由上面的探究可知当每日租出 __ 辆时 , 租赁公司日收益不盈 也不亏 . 4 【 总结提升 】 解有关最大利润类问题的基本方法和步骤 设法把关于最大利润问题转化为二次函数的最值问题 , 然后按照二次函数最值的求解方法进行求解 , 其步骤如下 : (1) 引入自变量 . (2) 用含自变量的代数式表达销售单价或销售收入及销售量、单件利润 . (3) 用函数及含自变量的代数式表示销售利润 , 即得函数关系式 . (4) 根据函数关系式求出最大值及相应的自变量的值 . 题组 : 最优化问题 1. 某商店经营某种商品 , 已知所获利润 y( 元 ) 与销售的单价 x( 元 ) 之间的关系为 y=-x 2 +24x+2956. 则获利最多为 ( 　　 ) A.3 144 元 B.3 100 元 C.144 元 D.2 956 元 【 解析 】 选 B.∵y=-x 2 +24x+2956 =-(x-12) 2 +3100. ∴ 当 x=12 时 ,y 取得最大值为 3100. 2. 某种火箭被竖直向上发射时 , 它的高度 h(m) 和飞行时间 t(s) 满足函数关系式 h=-5(t-15) 2 +1 130, 则火箭达到它的最高点所用的时间是 ( 　　 ) A.5 s 　　　 B.10 s 　　 C.15 s 　　 D.1 130 s 【 解析 】 选 C.∵a=-5<0, ∴ 当 t=15 时 ,h 取得最大值 1 130. ∴ 火箭发射 15 s 后达到它的最高点 . 3. 一件工艺品进价为 100 元 , 标价 135 元售出 , 每天可售出 100 件 . 根据销售统计 , 一件工艺品每降价 1 元出售 , 则每天可多售出 4 件 , 要使每天获得的利润最大 , 每件需降价的钱数为　 ( 　　 ) A.5 元　　　 B.10 元　　 C.0 元　　 D.36 元 【 解析 】 选 A. 设每件需降价的钱数为 x 元 , 每天获利 y 元 , 则 y=(135-x-100)(100+4x), 即 :y=-4(x-5) 2 +3 600. ∵-4<0,∴ 当 x=5 时 , 每天获得的利润最大 . 4. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析 , 发现铅球行进高度 y(m) 与水平距离 x(m) 之间的关系为 由此可知 铅球推出的距离是 　　　　 m. 【 解析 】 当 y=0 时 , 解得 x 1 =10,x 2 =-2( 不合题 意 , 舍去 ), 铅球推出的距离是 10m. 答案 : 10 5. 某一型号飞机着陆后滑行的距离 y( 单位 :m) 与滑行时间 x( 单位 :s) 之间的函数关系式是 y=60x-1.5x 2 , 该型号飞机着陆后需滑行 　　　　 m 才能停下来 . 【 解析 】 对于二次函数 y=60x-1.5x 2 , 配方得 , 有最大值 . 当 x=20 时 ,y 最大值 =600. ∴ 该型号飞机着陆后滑行到 20s 时 , 达到最大滑行距离 600m, 这时飞机才能停下来 . 答案 : 600 6. 某商品的进价为每件 20 元 , 售价为每件 30 元 , 每个月可卖出 180 件 ; 如果每件商品的售价每上涨 1 元 , 则每个月就会少卖出 10 件 , 但每件售价不能高于 35 元 , 设每件商品的售价上涨 x 元 (x 为整数 ), 每个月的销售利润为 y 元 . (1) 求 y 与 x 的函数关系式 , 并直接写出自变量 x 的取值范围 . (2) 每件商品的售价为多少元时 , 每个月可获得最大利润 ? 最大 利润是多少 ? (3) 每件商品的售价定为多少元时 , 每个月的利润恰好是 1 920 元 ? 【 解析 】 (1)y ＝ (30 － 20 ＋ x)(180 － 10x) ＝－ 10x 2 ＋ 80x ＋ 1 800(0≤x≤5 ，且 x 为整数 ). (2) 当 时， y 最大值 ＝ 1 960. 此时 30+x=30+4=34 ． 答：每件商品的售价为 34 元时，每个月可获得最大利润，为 1 960 元 . (3)1920=-10x 2 +80x+1 800, x 2 -8x+12=0, (x-2)(x-6)=0, 解得 x 1 =2,x 2 =6, ∵0≤x≤5,∴x=2, 此时 30+x=30+2=32. 答 : 每件商品的售价为 32 元时 , 每个月的利润恰好是 1 920 元 . 7. 某商场试销一种成本为每件 60 元的 T 恤 , 规定试销期间销售 单价不低于成本单价 , 且获利不 得高于 40%. 经试销发现 , 销售 量 y( 件 ) 与销售单价 x( 元 ) 之间 的函数图象如图所示 : (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式 , 并写出自变量 x 的取值范围 . (2) 若商场销售这种 T 恤获得利润为 W( 元 ), 求出利润 W( 元 ) 与销 售单价 x( 元 ) 之间的函数关系式 ; 并求出当销售单价定为多少 元时 , 商场可获得最大利润 , 最大利润是多少元 ? 【 解析 】 (1) 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b ， 则 ∴ y 与 x 之间的函数关系式为 y=-x+120(60≤x≤84). (2)W=(x-60)(-x+120) =-x 2 +180x-7 200 =-(x-90) 2 +900 ∵ 当 x<90 时， W 随 x 的增大而增大，且 60≤x≤84, ∴ 当 x=84 时， W 有最大值． W 最大值 =-(84 — 90) 2 +900=864. 答：函数关系式为 W=-(x-90) 2 +900; 当销售单价定为 84 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 864 元． 【 归纳整合 】 实际问题中确定最值的方法 1. 当二次函数的对称轴 在自变量的取值范围 x 1 ≤x≤x 2 内时，二次函数的最值就是实际问题中的最值 . 2. 当二次函数的对称轴 不在自变量的取值范围 x 1 ≤x≤x 2 内时： (1) 如果在此范围内， y 随 x 的增大而增大，则当 x=x 2 时， y 有最 大值为 当 x=x 1 时， y 有最小值为 (2) 如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小，则当 x=x 1 时， y 有最 大值为 当 x=x 2 时， y 有最小值为 【 想一想错在哪？ 】 生产季节性产品的企业 , 当它的产品无利 润时就会及时停产 , 现有一生产季节性产品的企业 , 一年中获得 利润 y 与月份 x 之间的函数关系式是 y=-x 2 +15x-36, 求出该企业 一年中应停产的月份是哪几个月 ? 提示 : 求出利润为 0 的月份后 , 还要注意 x=1 和 x=2 时 ,y<0, 该企业一年中应停产的月份还有 1 月和 2 月 .