北师大版九年级数学上册第三章 概率的进一步认识 教学课件 121页

3.1 用树状图或表格求概率 第三章 概率的进一步认识 第 1 课时 用树状图和表格求概率 1. 会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发生的概率 ; （重点） 2. 能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件发生的所有可能情况 . （难点） 3. 会用概率的相关知识解决实际问题 . 学习目标 做一做： 小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票 . 三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影 . 游戏规则如下： 连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜 . 小明 小颖 小凡 导入新课 用树状图或表格求概率 一 问题 1 ： 你认为上面游戏公平吗？ 活动探究： （ 1 ）每人抛掷硬币 20 次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格： 抛掷的结果 两枚正面朝上 两枚反面朝上 一枚正面朝上，一枚反面朝上 频数 频率 讲授新课 （ 2 ）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率 . 问题 2 ： 通过实验数据 , 你认为该游戏公平吗？ 从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上 . 一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率 . 所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利 . 议一议： 在上面抛掷硬币试验中， （ 1 ）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ （ 2 ）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ （ 3 ）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？ 我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果 . 开始 正 正 第一枚 硬币 树状图 反 （正，正） （正，反） 反 正 反 （反，正） （反，反） 第二枚硬币 所有可能出现的结果 表格 正 反 正 反 第一枚硬币 第二枚硬币 （正，正） （反，正） （正，反） （反，反） 总共有 4 中结果 , 每种结果出现的可能性相同 . 其中： 小明获胜的概率： 小颖获胜的概率： 小凡获胜的概率： 利树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能性相同的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率 . 方法归纳 典例精析 例 1 某班有 1 名男生、 2 名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有 2 名男生、 2 名女生获演奏奖 . 从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率 . 解：设两名领奖学生都是女生的事件为 A, 两种奖项各任选 1 人的结果用“树状图”来表示 . 开始 获演唱奖的 获演奏奖的 男 女 '' 女 ' 女 1 男 2 男 1 女 2 女 1 男 2 男 1 女 1 男 2 男 1 女 2 女 2 共有 12 中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中 2 名都是女生的结果有 4 种，所以事件 A 发生的概率为 P(A)= 计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数 n 和求出事件 A 发生的结果总数 m ,“ 树状图 ” 能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地得出 n 和 m . 例 2 甲、乙、丙三人做传球的游戏 ， 开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次 . (1) 写出三次传球的所有可能结果 ( 即传球的方式 ); (2) 指定事件 A ： “ 传球三次后，球又回到甲的手中 ” ， 写出 A 发生的所有可能结果 ; (3) 求 P(A). 解 :(1) 第二次 第三次 结果 开始：甲 共有八种可能的结果，每种结果出现的可能性相同 ; （2）传球三次后，球又回到甲手中，事件A发生有两种可能出现结果（乙，丙，甲）（丙，乙，甲） (3) P (A) = 乙 丙 第一次 甲 甲 丙 乙 甲 甲 丙 丙 乙 乙 乙 丙 （丙， 乙 ，丙） （乙，甲，丙） （乙，丙，甲） （乙，丙，乙） （丙，甲，乙） （丙，甲，丙） （丙， 乙 ， 甲 ） （乙，甲，乙） 方法归纳 当试验包含 两步 时， 列表法 比较方便；当然，此时 也可以用树形图法 ； 当事件要经过 多个 ( 三个或三个以上 )步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率. 思考 你能够用列表法写出 3 次传球的所有可能结果吗？ 若再用列表法表示所有结果已经不方便！ 练一练 1. 经过某十字路口的汽车 , 可能直行 , 也可能向左转或向右转 . 如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （ 1 ）三辆车全部继续直行； （ 2 ）两车向右，一车向左； （ 3 ）至少两车向左 . 第一辆 左 右 左 右 左直右 第二辆 第三辆 直 直 左 右 直 左 右 直 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 共有 27 种行驶方向 （ 2 ） P （两车向右，一车向左） = ； （ 3 ） P （至少两车向左） = 2. 现在学校决定由甲同学代表学校参加全县的诗歌朗诵比赛，甲同学有3件上衣，分别为红色(R)、黄色(Y)、蓝色(B)，有2条裤子，分别为蓝色(B)和棕色(b)。甲同学想要穿蓝色上衣和蓝色裤子参加比赛，你知道甲同学任意拿出1件上衣和1条裤子，恰好是蓝色上衣和蓝色裤子的概率是多少吗？ 上衣： 裤子： 解 : 用“树状图”列出所有可能出现的结果 : 每种结果的出现是等可能的．“取出１件蓝色上衣和１条蓝色裤子”记为事件Ａ，那么事件Ａ发生的概率是 Ｐ（Ａ）＝ 所以，甲同学恰好穿上蓝色上衣和蓝色裤子的概率是 开始 上衣 裤子 所有可能出现的结果 典例精析 例 3 同时抛掷 2 枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是 1 ， 2 ， ···， 6. 试分别计算如下各随机事件的概率 . (1) 抛出的点数之和等于 8 ； (2) 抛出的点数之和等于 12. 分析： 首先要弄清楚一共有多少个可能结果 . 第 1 枚骰子可能掷出 1,2 ，···， 6 中的每一种情况，第 2 枚骰子也可能掷出 1,2 ，···， 6 中的每一种情况 . 可以用 “ 列表法 ” 列出所有可能的结果如下： 第 2 枚 骰子 第 1 枚骰子 结 果 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (4,4) (5,4) (6,4) (4,5) (5,5) (6,5) (4,6) (5,6) (6,6) 解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36 种 . 由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等 . (1) 抛出点数之和等于 8 的结果有 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3) 和 (6,2) 这 5 种，所以抛出的点数之和等于 8 的这个事件发生的概率为 (2) 抛出点数之和等于 12 的结果仅有 (6,6) 这 1 种，所以抛出的点数之和等于 12 的这个事件发生的概率为 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用 列表法 . 归纳总结 例 4 ： 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 1 2 结果 第一次 第二次 解：利用表格列出所有可能的结果： 白 红 1 红 2 白 红 1 红 2 （白，白） （白，红 1 ） （白，红 2 ） （红 1 ，白） （红 1 ，红 1 ） （红 1 ，红 2 ） （红 2 ，白） （红 2 ，红 1 ） （红 2 ，红 2 ） 变式： 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后 不再放回袋中 ，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 解：利用表格列出所有可能的结果： 白 红 1 红 2 白 红 1 红 2 （白，红 1 ） （白，红 2 ） （红 1 ，白） （红 1 ，红 2 ） （红 2 ，白） （红 2 ，红 1 ） 结果 第一次 第二次 当 一次试验所有可能出现的结果较多 时，用 表格 比较方便！ 真知灼见 源于实践 想一想： 什么时候用“ 列表法 ”方便，什么时候用“ 树形图 ”方便？ 当一次试验涉及 两个因素 时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 列表法 当一次试验涉及 3 个因素或 3 个以上的因素 时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 树形图 当堂练习 1. 小明与小红玩一次 “ 石头、剪刀、布 ” 游戏，则小明赢的概率是（ ） 2. 某次考试中，每道单项选择题一般有 4 个选项，某同学有两道题不会做，于是他以 “ 抓阄 ” 的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ） C D A. B. C. D. A. B. C. D. 3. 如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1 ， 2 ， 3, 那么从每组牌中各摸出一张牌 . （ 1 ）摸出两张牌的数字之和为 4 的概念为多少？ （ 2 ）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？ 3 2 （ 2,3 ） （ 3,3 ） （ 3,2 ） （ 3,1 ） （ 2,2 ） （ 2,1 ） （ 1,3 ） （ 1,2 ） （ 1,1 ） 1 3 2 1 第二张牌 的牌面数字 第一张牌的 　牌面数字 解： （ 1 ） P （数字之和为 4 ） = . （ 2 ） P （数字相等） = 4. 在 6 张卡片上分别写有 1 － 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第 一 张 第 二 张 解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等 . 满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件 A ）的结果有 14 个，则 P （ A ） = = 4. 在 6 张卡片上分别写有 1 － 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？ 5. 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有两个酸菜包和一个糖包， B 盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包， C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头 . 老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？ A B C 解：根据题意，画出树状图如下 由树状图得，所有可能出现的结果有 18 个，它们出现的可能性相等 . 选的包子全部是酸菜包有 2 个，所以 选的包子全部是酸菜包的概率是 ： A 盘 B 盘 C 盘 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 糖 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 酸 酸 酸 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 糖 酸 韭 酸 酸 韭 糖 酸 酸 酸 酸 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 糖 酸 韭 酸 酸 韭 糖 糖 酸 酸 糖 酸 糖 糖 糖 酸 糖 糖 糖 糖 韭 酸 糖 韭 糖 列举法 关键 常用 方法 直接列举法 列表法 画树状图法 适用对象 两个试验因素或分两步进行的试验 . 基本步骤 列表； 确定 m 、 n 值 代入概率公式计算 . 在于正确列举出试验结果的各种可能性 . 确保试验中每种结果出现的可能性大小相等 . 前提条件 课堂小结 树状图 步骤 用法 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法 . 注意 弄清试验涉及 试验因素个数 或 试验步骤分几步 ； 在摸球试验一定要弄清 “ 放回 ” 还是“ 不放回 ” . 关键要弄清楚每一步有几种结果； 在树状图下面对应写着所有可能的结果； 利用概率公式进行计算 . 3.1 用树状图或表格求概率 第三章 概率的进一步认识 第 2 课时 概率与游戏的综合运用 1. 能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等 ; 2. 能将不等可能随机事件转化为等可能随机事件 , 求其发生的概率 . （重点、难点） 学习目标 小颖为学校联欢会设计一个“配紫色”游戏：如下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形 . 游戏者同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色 . 问题： 利用画树状图或列表的方法表示游戏所以可能出现的结果 . A 盘 红 白 B 盘 绿 导入新课 蓝 黄 树状图 画树状图如图所示： 开始 白色 红色 黄色 绿色 A 盘 B 盘 蓝色 黄色 绿色 蓝色 列表法 黄色 蓝色 绿色 白色 ( 白，黄 ) （白，蓝） （白，绿） 红色 （红，黄） （红，蓝） （红，绿） B 盘 A 盘 用表格或树状图求“配紫色”概率 一 引例： 若将 A , B 盘进行以下修改 . 其他条件不变，请求出获胜概率？ A 盘 红 蓝 B 盘 蓝 红 问题 1 ： 下面是小颖和小亮的解答过程 , 两人结果都是 , 你认为谁对 ? 120° 讲授新课 小颖制作下图： 开始 蓝色 红色 蓝色 红色 A 盘 B 盘 蓝色 红色 配成紫色的情况有 ： （红 , 蓝） ， （蓝 , 红） 2 种 . 总共有 4 种结果 . 所以配成紫色的概率 P = . 小亮制作下表：小亮将 A 盘中红色区域等分成 2 份，分别记“红 1” ，“红 2” 红色 蓝色 蓝色 ( 蓝，红 ) （蓝，红） 红 1 色 （红 1 ，红） （红 1 ，蓝） 红 2 色 （红 2 ，红） （红 2 ，蓝） B 盘 A 盘 红 蓝 120° 红 1 红 2 配成紫色的情况有 ： ( 红 1, 蓝 ) ， ( 红 2, 蓝 ) ， ( 蓝 , 红 ) 3 种 . 所以配成紫色的概率 P = . 小 颖的做法不正确 . 因为右边 的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同 , 因而指针落在这两个区域的可能性不同 . 小 亮的做法是解决这类问题的一种常用方法 . 问题 2 ： 用 树状图和列表的方法求概率时应注意些什么 ? 用 树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同 . 1 1 2 例 1 ： 一个盒子中装有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球出颜色外都相同了 . 从中随机摸出一个球 , 记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球得颜色能配成紫色的概率 . 2 解：现将两个红球分别记作“红 1”“ 红 2” ，两个白球分别记作“白 1”“ 白 2” ，然后列表如下 . 红 1 红 2 白 1 白 2 蓝 红 1 （红 1, 红 1 ） （红 1, 红 2 ） ( 红 1, 白 1) （红 1, 白 2 ） （红 1, 蓝） 红 2 （红 2, 红 1 ） （红 2, 红 2 ） ( 红 2, 白 1) （红 2, 白 2 ） （红 2, 蓝） 白 1 （白 1, 红 1 ） （白 1, 红 2 ） ( 白 1, 白 1) （白 1, 白 2 ） （白 1, 蓝） 白 2 （白 2, 红 1 ） （白 2, 红 2 ） ( 白 2, 白 1) （白 2, 白 2 ） （白 2, 蓝） 蓝 （蓝 , 红 1 ） （蓝 , 红 2 ） ( 蓝 , 白 1) （蓝 , 白 2 ） （蓝 , 蓝） 第二次 第一次 总共有 25 种 结果 , 每种结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有 4 种即 ( 红 1 ，蓝 ) , ( 红 2 ，蓝 ) , ( 蓝，红 1 ) , ( 蓝，红 2 ) , P ( 配成紫色 )= 例 2 ： 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字 6 ， -2 ， 7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同 . 先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后 放回盒子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字 . 请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率 . （ 1 ）两次取出的小球上的数字相同； （ 2 ）两次取出的小球上的数字之和大于 10 . 6 -2 7 (1) 两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以 P (数字相同)= (2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10 的可能性只有 4 种，所以 P (数字之和大于10)= 解：根据题意，画出树状图如下 第一个数字 第二个数字 6 6 -2 7 -2 6 -2 7 7 6 -2 7 例 3 ： 王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定 . 游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果两次正面朝上一次正面朝下，则王铮加入足球阵营；如果两次反面朝上，一次反面朝下，则王铮加入篮球阵营 . （ 1 ）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果； （ 2 ）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？ 解： (1) 根据题意画出树状图，如图 . 开始 正 反 正 反 第一次 第二次 正 反 第三次 正 反 正 反 正 反 正 反 （ 2 ）这个游戏规则对两个球队公平 . 理由如下： 两次正面朝上一次正面朝下有 3 种结果 : 正正反 , 正反正 , 反正正 ; 两次反面朝上一次反面朝下有 3 种结果 : 正反反 , 反正反 , 反反正 . 所以 P ( 王铮去足球队 ) = P ( 王铮去篮球队 ) = 当堂练习 1. a 、 b 、 c 、 d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放 2 本，共有 种不同的放法 . 2. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为（ ） 3. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和 n 个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则 n = . 10 C 8 A. B. C. D. 4. 如 图 , 袋中装有两个完全相同的球 , 分别标有数字“ 1” 和“ 2”. 小明设计了一个游戏 : 游戏者每次从袋中随机摸出一个球 , 并自由转动图中的转盘 ( 转盘被分成相等的三个扇形 ). 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为 2, 那么游戏者获胜 . 求游戏者获胜的概率 . 1 2 1 2 3 总共 有 6 种结果 , 每种结果出现的可能性相同 , 而 所摸 球上的数字与转盘转出的数字之和为 2 的 结果只有 一种 :(1,1), 因此游戏者获胜的概率为 . 解 : 每次游戏时 , 所有可能出现的结果如下 : 1 2 3 1 (1 ， 1) （ 1 ， 2 ） （ 1 ， 3 ） 2 （ 2 ， 1 ） （ 2 ， 2 ） （ 2 ， 3 ） 转盘 摸球 5. 甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有 2 个小球，分别写有字母 A 和 B ；乙盒中装有 3 个小球，分别写有字母 C 、 D 和 E ；丙盒中装有 2 个小球，分别写有字母 H 和 I ；现要从 3 个盒中各随机取出 1 个小球． I H D E C A B （ 1 ） 取出的 3 个小球中恰好有 1 个， 2 个， 3 个写有元音字母的概率各是多少？ 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 解：由树状图得，所有可能出现的结果有 12 个，它们出现的可能性相等 . （ 1 ） 满足只有一个元音字母的结果有 5 个，则 P （一个元音） = 满足三个全部为元音字母的结果有 1 个，则 P （三个元音） = 满足只有两个元音字母的结果有 4 个，则 P （两个元音） = = （ 2 ） 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 解：满足全是辅音字母的结果有 2 个，则 P （三个辅音） = = . 概率与游戏 的综合应用 配紫色 判断游戏公平性 课堂小结 红色 + 蓝色 = 紫色 判断游戏参与者获 胜的概率是否相同 3.2 用频率估计概率 第三章 概率的进一步认识 学习目标 1. 理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律；(重点) 2. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率；(重点) 3. 通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系． 导入新课 情境引入 问题 1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 问题 2 它们的概率是多少呢？ 出现 “ 正面朝上 ” 和 “ 反面朝上 ” 两种情况 都是 问题 3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？ 讲授新课 用频率估计概率 一 掷硬币试验 试验探究 (1) 抛掷一枚均匀硬币 400 次，每隔 50 次记录 “ 正面朝上 ” 的次数，并算出 “ 正面朝上 ” 的频率，完成下表： 累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 “ 正面朝上 ” 的频数 “ 正面朝上 ” 的频率 23 46 78 102 123 150 175 200 0.45 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50 (2) 根据上表的数据，在下图中画统计图表示 “ 正面朝上 ” 的频率 . 频率 试验次数 (3) 在上图中，用红笔画出表示频率为 的直线，你发现 了什么？ 试验次数越多频率越接近 0. 5 ，即频率稳定于概率 . 频率 试验次数 (4) 下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据， 这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数 n “ 正面向上”次数 m “ 正面向上” 频率 ( ) 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 支持 归纳总结 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率 来估计该事件发生的概率 . 数学史实 人们在长期的实践中发现 , 在随机试验中 , 由于众多微小的偶然因素的影响 , 每次测得的结果虽不尽相同 , 但大量重复试验所得结果却 能反应客观规律 . 这称为 大数法则 , 亦称 大数定律 . 频率稳定性定理 思考 抛掷硬币试验的特点： 1. 可能出现的结果数 __________; 2. 每种可能结果的可能性 __________. 相等 有限 问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或 每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列 举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？ 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？ 　做做试验来解决这个问题 . 图钉落地的试验 试验探究 试验 累计次 数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 钉帽着地的次数 ( 频数 ) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的频率 ( %) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 钉帽着地的次数 ( 频数 ) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 钉帽着地的频率 (%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56 (1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20 次，并根据试验结果填写下表 . 56.5 (%) (2) 根据上表画出统计图表示 “ 顶帽着地 ” 的频率 . (3) 这个试验说明了什么问题 . 在图钉落地试验中， “ 顶帽着地 ” 的频率随着试验次数的增加，稳定在常数 56.5% 附近 . 一般地，在大量重复试 验中，随机事件 A 发生的频率 ( 这里 n 是实验总次数，它必须相当大， m 是在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数）会稳定到某个常数 P. 于是，我们用 P 这个常数表示事件 A 发生的概率，即 P （ A ） = P . 归纳总结 判断正误 （ 1 ）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1 （ 2 ）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5 附近 （ 3 ）设一大批灯泡的次品率为 0.01 ，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品 . 错误 错误 正确 练一练 例 1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下： （ 1 ）填表（精确到 0.001 ）； （ 2 ）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 0.900 0.750 0.867 0.787 0.805 0.797 0.805 0.802 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在 0.8 左右，所以估计他这次能罚中的概率约为 0.8. 例 2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象 . 而烧制的结果是 “ 合格品 ” 是一个随机事件，这个事件的概率称为 “ 合格品率 ”. 由于烧制结果不是等可能的，我们常用 “ 合格品 ” 的频率作为 “ 合格品率 ” 的估计 . 某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下： 抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 (1) 计算上表中合格品率的各频率 ( 精确到 0.001); (2) 估计这种瓷砖的合格品率 ( 精确到 0.01); (3) 若该厂本月生产该型号瓷砖 500000 块，试估计合格品数 . (1) 逐项计算，填表如下： 抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962 (2) 观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 n≥400 时，合格品率 稳定在 0.962 的附近， 所以我们可取 p=0.96 作为该型号瓷砖的合格品率的估计 . (3)500000 × 96%=480000( 块 ) ，可以估计该型号合格品数为 480000 块 . 频率与概率的关系 联系： 频率 概率 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值 . 区别： 频率本身是 随机的 ，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个 确定数 ，是客观 存在的，与每次试验无关 . 稳定性 大量重复试验 当堂练习 1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42% ，则这个水塘里有鲤鱼 尾 , 鲢鱼 尾 . 310 270 2. 抛掷硬币“正面向上”的概率是 0.5. 如果连续抛掷 100 次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各 50 次，这是为什么？ 答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性 . 或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生 . 3. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球 24 个，黑球若干 . 小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1) 请估计 : 当 n 很大时 , 摸到白球的频率将会接近 （精确到 0.1 ）； (2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P （白球） = . 0.6 0.6 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 4. 填表： 由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 . 0.10 0.90 某水果公司以 2 元 / 千克的成本新进了 10000 千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5000 元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为 0.1 ，则柑橘完好的概率为 0.9. 解：根据估计的概率可以知道，在 10000 千克柑橘中完好柑橘的质量为 10000×0.9=9000 千克，完好柑橘的实际成本为 设每千克柑橘的销价为 x 元，则应有 （ x -2.22 ） ×9000=5000 ， 解 得 x ≈2.8. 因此，出售柑橘时每千克大约定价为 2.8 元可获利润 5000 元 . 5. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95% ，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25 条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的重量 . 解：先计算每条鱼的平均重量是： （ 2.5×40+2.2×25+2.8×35 ） ÷ （ 40+25+35 ） =2.53 （千克）； 所以这池塘中鱼的重量是 2.53×100000× 95% =240350 （千克） . 课堂小结 频率估计概率 大量重复试验 求非等可能性事件概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 统计思想 用样本 ( 频率 ) 估计总体 ( 概率 ) 一种关系 频率与概率的关系 频率稳定时可看作是概 率但概率与频率无关 小结与复习 第三章 概率的进一步认识 当一次试验要涉及两个因素 , 并且可能出现的结果数目较多时 , 为了不重不漏的列出所有可能的结果 , 通常采用 列表法 . 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况 , 即 n 在所有可能情况 n 中 , 再找到满足条件的事件的个数 m, 最后代入公式计算 . 列表法中表格构造特点 : 当一次试验中涉及 3 个因素 或 更多的因素 时 , 怎么办 ? 一、列表法 要点梳理 当一次试验中涉及 2 个因素或更多的因素时 , 为了不重不漏地列出所有可能的结果 , 通常采用“ 树状图 ” . 树形图的画法 : 一个试验 第一个因数 第二个 第三个 如一个试验中涉及 2 个或 3 个因数 , 第一个因数中有 2 种可能情况 ; 第二个因数中有 3 种可能的情况 ; 第三个因数中有 2 种可能的情况 . A B 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12 二、树状图法 我们知道 , 任意抛一枚均匀的硬币 ,“ 正面朝上”的概率是 0.5 , 许多科学家曾做过成千上万次的实验 , 其中部分结果如下表： 抛掷次数（ n ） 2048 4040 12000 24000 30000 正面朝上次（ m ） 1061 2048 6019 12012 14984 频率（ ） 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996 统一条件下，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 稳定与某个常数 P ，那么时间 A 发生的概率 P ( A ) = p . 三、 用频率估计概率 考点一 用列举法求概率 例 1 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. C 考点讲练 例 2 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b． （1）写出k为负数的概率； （2）求一次函数 y=kx+b 的图象经过 二、三、四象限的概率 . 解：（ 1 ）P（k为负数）= . 【 解析 】 （1）因为－ 1 ，－ 2 ，3中有两个负数，故k为负数的概率为 ； （2）由于一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限时， k ， b 均为负数， 所以在画树形图列举出 k 、 b 取值的所有情况后，从中找出所有k、b均为负数的情况，即可得出答案． （ 2 ）画树状图如右： 由树状图可知， k 、 b 的取值共有 6 种情况， 其中 k ＜ 0 且 b ＜ 0 的情况有 2 种， ∴P （一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限） = . 1. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是(　　) A. B. C. D. A 针对训练 例 3 在中央电视台《星光大道》 2015 年度冠军总决赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论 . （ 1 ）写出三位评委给出 A 选手的所有可能的结果； （ 2 ）对于选手 A , 只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？ 考点二 用树状图或表格法求概率 解：（ 1 ）画出树状图来说明三位评委给出 A 选手的所有可能结果： 通过 通过 待定 通过 待定 通过 待定 甲 乙 丙 待定 通过 待定 通过 待定 通过 待定 （ 2 ）由上图可知三位评委给出 A 选手的所有可能的结果共有 8 种 . 对于选手 A , “ 只有甲、乙两位评委给出相同结果 ” 有 2 种，即“通过 - 通过 - 待定” “待定 - 待定 - 通过”，所以对于选手 A , “ 只有甲、乙两位评委给出相同结果 ” 的概率是 . （ 2 ）对于选手 A , 只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？ 这个游戏对小亮和小明公平吗？ 例 4 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌 , 分别是红桃和黑桃的 1,2,3,4,5,6, 小明建议 : 我从红桃中抽取一张牌 , 你从黑桃中取一张 , 当两张牌数字之积为奇数时，你得 1 分，为偶数我得 1 分 , 先得到 10 分的获胜 ” . 如果你是小亮 , 你愿意接受这个游戏的规则吗 ? 为什么？ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 红 桃 黑桃 解：这个游戏不公平 ，理由如下： 列表： (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由表中可以看出 , 在两堆牌中分别取一张 , 它可能出现的结果有 36 个 , 它们出现的可能性相等 . 因为 P ( A ) < P ( B ), 所以如果我是小亮 , 我不愿 意接受这个游戏的规则 . 满足两张牌的数字之积为奇数 ( 记为事件 A) 的有 9 种情况 , 所以 满足两张牌的数字之积为偶数 ( 记为事件 B) 的有 27 种情况 , 所以 用画树状图或列表分析是求概率的常用方法： 1. 当事件要经过多个步骤完成是，用画树状图法求事件的概率很有效； 2. 一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法分析所有等可能的结果；当结果要求进行数的和、积等有关运算时，用列表法显得更加清晰、明确 . 方法总结 2 . 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是(　　) A. B. C. D. A 针对训练 3. 如图 , 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 , 分别计算它落到红色部分的概率 . 图① 图② 解：图①， 图②，设圆的半径为 a ，则 4 . 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b． （1）写出k为负数的概率； （2）求一次函数 y=kx+b 的图象 经过二、三、四象限的概率 . 【 解析 】 （1）因为－ 1 ，－ 2 ，3中有两个负数，故k为负数的概率为 ； （2）由于一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限时， k ， b 均为负数，所以在画树形图列举出 k 、 b 取值的所有情况后，从中找出所有 k 、 b 均为负数的情况，即可得出答案． ． （ 2 ）画树状图如下： 由树状图可知， k 、 b 的取值共有 6 种情况，其中 k ＜ 0 且 b ＜ 0 的情况有 2 种， ∴P= 解：（ 1 ）P（k为负数）= . 开始 - 1 3 - 2 - 2 3 - 1 3 - 2 1 考点三 用频率估计概率 例 5 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A . 频率就是概率 B . 频率与试验次数无关 C . 概率是随机的，与频率无关 D . 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D 例 6 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15 ％ 和 45 ％， 则口袋中白色球的个数最有可能是（ ） A.24 个 B.18 个 C.16 个 D.6 个 C 5. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有３个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为_____． 解析：设口袋中球的总个数为 x ， 则摸到红球的概率为 ， 所以 x= 15 ． 针对训练 15 考点四 用概率作决策 例 6 在一个不透明的口袋里分别标注 2 、 4 、 6 的 3 个小球（小球除数字外，其余都相同），另有 3 张背面完全一样，正面分别写有数字 6 、 7 、 8 的卡片 . 现从口袋中任意摸出一个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片 . （ 1 ）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； 解： （ 1 ） 列表如下 6 7 8 2 （ 6 ， 2 ） （ 7 ， 2 ） （ 8 ， 2 ） 4 （ 6 ， 4 ） （ 7 ， 4 ） （ 8 ， 4 ） 6 （ 6 ， 6 ） （ 7 ， 6 ） （ 8 ， 6 ） 卡片 小球 共有 9 种等可能结果； （ 2 ）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则 1 ：若两次摸出的数字，至少有一次是“ 6 ”，小红赢；否则，小莉赢； 规则 2 ： 若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢 . 小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由 . 规则 1 ： P ( 小红赢 ） = ； 规则 2 ： P ( 小红赢 ） = ∵ ， ∴小红选择规则 1. 6 .A 、 B 两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满 20 元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会，且两超市奖额等同 . 规则是： ① A 超市把转盘甲等分成 4 个扇形区域、 B 超市把转盘乙等分成 3 个扇形区域，并标上了数字（如图所示）； ②顾客第一回转动转盘要转两次，第一次与第二次分别停止 后指针所指数字之和为奇数时 就获奖（若指针停在等分线上， 那么重转一次，直到指针指向 某一份为止） . 1 1 2 2 3 3 4 甲 乙 针对训练 解：（ 1 ）列表格如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 第一回 第二回 甲转盘 共有 16 种等可能结果，其中中奖的有 8 种； ∴ P ( 甲） = （ 1 ）利用树形图或列表法分别求出 A 、 B 两超市顾客一回转盘获奖的概率； 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 第一回 第二回 乙转盘 ∴ P ( 乙） = 共有 9 种等可能结果，其中中奖的有 4 种； （ 2 ）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？说明理由 . （ 2 ） 选甲超市 . 理由如下： ∵ P ( 甲） > P ( 乙）， ∴选甲超市 . 概率的进一步认识 简单的随机事件 复杂的随机事件 具有等可能性 不具有等可能性 树状图 列表 试验法 摸拟试验 理论计算 试验估算 概率定义 课堂小结