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- 2021-11-06 发布
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第
21
章：一元二次方程
21.1
一元二次方程
1
、什么是方程？
2
、我们学过什么样的方程呢？
含有未知数的等式叫方程
一元（未知数）一次（未知数的指数）方程：
ax+b=0(a≠0)
一、知识回顾
情景引入：
问题
1
二、导入新课
要设计一座
2m
高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
x
2-x
C
A
B
上部
AC
，下部
BC
有如下关系：
即
于是得方程：
化简得
：
解：
AC
BC
=
BC
2
BC
2
=2AC
x
2
=2(2-x)
x
2
+2x-4=0
学习目标：
1.
理解一元二次方程的概念；会把一元二次方程化为一般形式；会找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2.
理解方程解（根）的概念。
3.
会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高分析问题的能力。
三、目标展示
1
、探究新知：
问题
2
x
x
如图，有一块矩形铁皮长
100cm,
宽
50cm,
在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制成一个无盖方盒，如果要制作的方盒底面积为
3600cm
2
，那么铁皮各角应切去多大？
四、新课讲解
设切去的正方形的边长为
xcm ,
则盒底的长为
（
100-2x
）
cm ,
宽为
(50-2x)
cm ,
根据方盒的底面积，得
:
整理得：
化简得：
解：
x
x
（
100-2x
）
(50-2x)=3600
4x
2
-300x+1400=0
x
2
-75x+350=0
问题
3
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排
7
天，每天安排
4
场比赛，比赛组织者应邀请多少支队参赛？
全部比赛共
4×7=28
场
设应邀请
x
个队参赛，每个队要与其他 （ ）个队各赛
1
场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共（ ）场，
解
:
x-1
x(x-1)
1
2
得列方程
:
整理，得：
化简 得
:
x(x-1)=28
1
2
2× x(x-1)=28×2
1
2
x
2
-x=56
观察下列方程有什么共同点？
（
1
）
x
2
+2x-4=0
（
2
）
（
3
）
方程两边都是整式
方程中只含有一个未知数
未知数的最高次数是
2
x
2
-75x+350=0
x
2
-x=56
共同点
：
方程两边都是整式
方程中只含有一个未知数
未知数的最高次数是
2
定义：
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是
2
（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般地，任何一个关于
x
的与一元二次方程，经过整理，都能化成以下形式：
2
、归纳总结：
ax
2
+bx+c=0
（
a≠0
）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中（ ）是二次项，（ ）是二次项系数；（ ）是一次项， （ ）是一次项系数；
( )
是常数项。
一元二次方程的一般形式
a
bx
b
c
ax
2
+bx+c=0
（
a≠0
）
ax
2
3
、例题讲解：
例
1:
将方程
3x(x-1)=5(x+2)
化为一元二次方程的一般形式 。 并写出二次项系数，一次项系数及常数项。
解：去括号，得
二次项系数
3
，
一次项系数
-8
，
常数项
-10
。
3x
2
-3x=5x+10
移项，合并同类项，得
3x
2
-8x-10=0
例题
2
：
m
为何值时，关于
x
的方程（
m-1
）
x
m
2
-1
+2mx-3=0
为一元二次方程。
解：
由题意得：m
2
-1=2，m-1≠0，
整理，
得
m
2
=
3
例题
3
：已知关于
x
一元二次方程（
m-1
）
x
2
+3x-5m+4=0
有一根为
2
，求
m
。
解：
把
x=2
代入方程得
4
（
m-1
）
+6-5m+4=0
，
整理，得
6-m=0
解，得
m=6
1.
将下列方程化成一元二次方程的一般形式？并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项。
五、课堂练习：
(1)5x
2
-1=4x
(2)4x
2
=81
(3)4x(x+2)=25
(4)(3x-2)(x-1)=8x-3
2
、 列出关于
x
的方程，并化为一元二次方程的一般形式：
（
1
）
4
个完全相同的正方形的面积之和是
25
，求正方形的边长
x
；
（
2
）一个矩形的长比宽多
2
，面积是
100
，求矩形的长
x
；
4x
2
-25=0
x
2
-2x-100=0
（
3
）把长为
1
的木条分长两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长
x
；
（
4
）一个直角三角形的斜边长为
10
，两条直角边相差
2
，求较长直角边的长
x
。
x
2
-3x+1=0
x
2
-2x-48=0
今天我们学习了哪些知识？
1.
一元二次方程的概念
:
一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围
;
2.
一元二次方程 的一般形式
ax2+bx+c=0
（
a≠0
）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念
;
3.
一元 二次方程根的概念以及作用
六、课堂小结与反思：
1.
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A
．
x
2
﹣y=1 B
．
x
2
+2x﹣3=0
C
．
x
2
+ =3 D
．
x﹣5y=6
B
5
七、课堂检测：
3.
方程
2x
2
﹣
6x
﹣
5=0
的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A
．
6
、
2
、
5 B
．
2
、﹣
6
、
5
C
．
2
、﹣
6
、﹣
5 D
．﹣
2
、
6
、
5
C
4
．
若关于
x
的方程（
k+3
）
x
2
－
kx
＋
1
＝
0
是一元二次方程，求
k
的取值范围。
解：
∵方程
（
k+3
）
x
2
－
kx
＋
1
＝
0
是一元二次方程，
∴
K+3≠0
∴ K≠-3
5
．已知
x=2
是关于
x
的方程
x
2
-2a=0
的一个根，求
2a-1
的值。
2
3
解：
把
x=2
代入 中
得
2a=6
∴2a-1=5
∴a=3
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