- 780.50 KB
- 2021-11-06 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2.4
用因式分解法求解
一元二次方程
第二章 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.
了解因式分解法的解题步骤
,
会用因式分解法解一元二次方程
.
(重点)
2.
能根据具体一元二次方程的特征
,
灵活选择方程的解法
.
(难点)
学习目标
导入新课
情境引入
我们知道
ab
=0
,
那么
a
=0
或
b
=0
,类似的解方程
(
x
+1
)(
x
-
1
)
=0
时,可转化为两个一元一次方程
x
+1=0
或
x
-1=0
来解,你能求
(
x
+3
)
(
x
-
5
)
=0
的解吗?
因式分解法解一元二次方程
一
问题:
一个数的平方与这个数的
3
倍有可能相等吗?如果相等
,
这个数是几?你是怎样求出来的?
小颖,小明,小亮都设这个数为
x
,
根据题意得
,
可得方程
x
2
= 3
x
由方程
x
2
= 3
x
,
得
x
2
-
3
x
= 0
因此
x
1
= 0
,
x
2
= 3
.
所以这个数是
0
或
3.
小颖的思路:
小明的思路:
方程
x
2
= 3
x
两边
同时约去
x
,
得
x
= 3
.
所以这个数是
3
.
讲授新课
小亮的思路:
由方程
x
2
= 3
x
,
得
x
2
-
3
x
= 0
即
x
(
x
-
3) = 0
于是
x
= 0 ,
或
x
-
3 = 0
.
因此
x
1
= 0 ,
x
2
= 3
所以这个数是
0
或
3
小亮想:
如果
a
·
b=
0,
那么
a=0
或
b=0
问题:
他们做得对吗?为什么?
要点归纳
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
一移
-----
方程的右边
=0
;
二分
-----
方程的左边因式分解
;
三化
-----
方程化为两个一元一次方程
;
四解
-----
写出方程两个解
;
简记歌诀
:
右化零 左分解
两因式 各求解
当一元二次方程的一边是
0,
而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时
,
我们就可以用分解因式的方法求解
.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为
因式分解法
.
例
1
:
解下列方程:
(
1
)
5
x
2
= 4
x
;
(
2
)
x
– 2 =
x
(
x
- 2)
.
解:
5
x
2
-
4
x
= 0
,
x
(5
x
-
4) = 0
.
∴
x
= 0
或
5
x
– 4 =0
.
∴
x
1
= 0 ,
x
2
=
.
解:
(
x
- 2) –
x
(
x
- 2)
= 0
,
(
x
- 2) (1 -
x
) = 0
.
∴
x –
2
=
0
或
1 –
x
= 0
.
∴
x
1
= 2 ,
x
2
=1
.
(
1
)对于一元二次方程
(
x
-
p
)(
x
-
q
)
=0
,
那么它的两个实数根分
别为
p
,
q
.
(
2
)对于已知一元二次方程的两个实数根为
p
,
q
,那么这个一元二次方程可以写成
(
x
-
p
)
(
x
-
q
)=0
的形式
.
结论
拓展提升
解下列方程:
(
1
)
(
2
x
+ 3
)
2
= 4 (2
x
+ 3)
;
(
2
)
(
x
-
2)
2
= (2
x
+ 3)
2
.
解:
(
2
x
+ 3
)
2
-
4 (2
x
+ 3) =0
,
(
2
x
+ 3
) (
2
x
+ 3
-
4) = 0
,
(
2
x
+ 3
) (
2
x
-
1
) = 0
.
∴
2
x
+ 3
=
0
或
2
x
-
1
= 0
.
解:
(
x
-
2
)
2
-
(2
x
+ 3)
2
=0
,
(
x
-
2+ 2
x
+ 3)
(
x
-
2
-
2
x
-
3)=0
,
(3
x
+ 1)(
x
+ 5) = 0
.
∴
3
x
+ 1
=
0
或
x
+ 5
= 0
.
灵活选用方法解方程
二
典例精析
例
2
用适当的方法解方程:
(
1
)
3
x
(
x
+ 5
)
= 5
(
x
+ 5
)
; (
2
)
(
5
x
+ 1
)
2
= 1
;
分析:
该式左右两边可以提取公因式,所以用因式分解法解答较快
.
解:
化简
(
3
x
-
5
) (
x
+ 5
) = 0
.
即
3
x
-
5
=
0
或
x
+ 5
= 0
.
分析:
方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可直接开平方法
.
解:
开平方
,
得
5
x
+ 1 = ±1
.
解得
,
x
1
=
0
, x
2
=
(
3
)
x
2
-
12
x =
4
;
(
4
)
3
x
2
= 4
x
+ 1
;
分析:
二次项的系数为
1
,可用配方法来解题较快
.
解:
配方
,
得
x
2
-
12
x
+ 6
2
= 4 + 6
2
,
即
(
x
-
6)
2
= 40
.
开平方
,
得
解得
x
1
= ,
x
2
=
分析:
二次项的系数不为
1
,且不能直接开平方,也不能直接因式分解,所以适合公式法
.
解:
化为一般形式
3
x
2
-
4
x
+ 1 = 0
.
∵Δ
=
b
2
-
4
ac =
28 > 0
,
填一填:
各种一元二次方程的解法及适用类型
.
拓展提升
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x
2
+
px
+
q
= 0
(
p
2
- 4
q
≥0
)
(
x
+
m
)
2
=
n
(
n
≥ 0
)
ax
2
+
bx
+
c
= 0(
a
≠0
,
b
2
- 4
ac
≥0)
(
x
+
m
)
(
x
+
n
)=
0
1.
一般地,当一元二次方程一次项系数为
0
时(
ax
2
+
c
=0
),应选用
直接开平方法
;
2.
若常数项为
0
(
ax
2
+
bx
=0
),
应选用
因式分解法;
3.
若一次项系数和常数项都不为
0 (
ax
2
+
bx
+
c
=0
),
先化为一般式,看一边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用
因式分解法
,不然选用
公式法
;
4.
不过当二次项系数是
1
,且一次项系数是偶数时,用
配方法
也较简单.
要点归纳
解法选择基本思路
1.
快速说出下列方程的解
(
1
)
(
4
x
-
1
)
(5
x
+ 7) = 0
;
x
1
=
( )
,
x
2
= ( )
.
(
2
)
(
x
-
2)(
x
-
3) = 0
;
x
1
=
( )
,
x
2
= ( )
.
(
3
)
(
2
x
+ 3
)
(
x
-
4) = 0
;
x
1
=
( )
,
x
2
= ( )
.
2.
将下面一元二次方程补充完整
.
(
1
)
(
2
x
-
)
(
x
+ 3) = 0
;
x
1
= ,
x
2
=
-
3
.
(
2
)
(
x
-
)(3
x
-
4) = 0
;
x
1
= 2 ,
x
2
=
.
(
3
)
(
3
x
+____
)
(
x
+
) = 0
;
x
1
= ,
x
2
=
-
5
.
5
1
2
-
1
5
当堂练习
解
:化为一般式为
因式分解,得
x
2
-
2
x
+1 = 0.
(
x
-
1 )(
x
-
1 ) = 0.
有
x
-
1 = 0
或
x
-
1 = 0
,
x
1
=
x
2
=1.
解
:因式分解,得
( 2
x
+ 11 )( 2
x
-
11 ) = 0.
有
2
x
+ 11 = 0
或
2
x
-
11= 0
,
3.
解方程:
5.
把小圆形场地的半径增加
5m
得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为
r
,
根据题意
(
r
+ 5 )
2
×
π
=2
r
2
π
.
因式分解,得
于是得
答:小圆形场地的半径是
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀
:
右化零 左分解
两因式 各求解
如果
a
·
b
=0
,那么
a
=0
或
b
=0.
原理
将方程左边因式分解,右边
=0.
因式分解的方法有
ma
+
mb
+
mc
=
m
(
a
+
b
+
c
);
a
2
±2
ab
+
b
2
=(
a
±
b
)
2
;
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
).
相关文档
- 人教版九年级数学上册第二十一章一2021-11-0624页
- 2019九年级数学上册 第二章 一元二2021-11-064页
- 中考数学解题指导专题3:一元二次方2021-11-0619页
- 2020九年级数学上册 第二十一因式2021-11-064页
- 2019九年级数学上册 第二章 一元二2021-11-065页
- 2020九年级数学上册 第二十一配方2021-11-063页
- 中考数学 方程与不等式 一元二次2021-11-0635页
- 九年级数学上册第二十一章一元二次2021-11-0615页
- 2019九年级数学上册 第二十一章一2021-11-066页
- 实际问题与一元二次方程(2)2021-11-064页