中考九年级数学学练测73等腰三角形 39页

等腰三角形 1 ． [2016· 怀化 ] 等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 8 cm ，则它的周长为 ( 　 　 ) A ． 16 cm B ． 17 cm C ． 20 cm D ． 16 cm 或 20 cm 2 ．等腰三角形的一个内角是 80° ，则它的顶角的度数是 ( 　 　 ) A ． 80° B ． 80° 或 20° C ． 80° 或 50° D ． 20° 小题热身 C B 3 ．如图 23 － 1 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 中点，∠ BAD ＝ 35° ，则 ∠ C 的度数为 ( 　 　 )     A ． 35° B ． 45° C ． 55° D ． 60° 图 23 － 1 C 4 ． [2017· 丽水 ] 等腰三角形的一个内角为 100° ，则顶角的度数是 _________ ． 【 解析 】 根据三角形的内角和等于 180° ，又 ∵ 等腰三角形的一个内角为 100° ，∴这个 100° 的内角只可能是顶角，故填 100°. 100 ° 5 ． [2016· 遵义 ] 如图 23 － 2 ，在 △ ABC 中， AB ＝ BC ，∠ ABC ＝ 110° ， AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D ，连结 BD ，则 ∠ ABD ＝ _______ 度． 【 解析 】 ∵ 在 △ ABC 中， AB ＝ BC ，∠ ABC ＝ 110° ，∴∠ A ＝ ∠ C ＝ 35° ，∵ AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D ，∴ AD ＝ BD ，∴∠ ABD ＝ ∠ A ＝ 35°. 图 23 － 2 35 6 ．如图 23 － 3 ， BD 是 △ ABC 的角平分线，∠ ABD ＝ 36° ，∠ C ＝ 72° ，则图中的等腰三角形有 ______ 个． 图 23 － 3 3 一、必知 5 知识点 1 ．等腰三角形的概念和性质 定义：有两 ______ 相等的三角形是等腰三角形． 性质： (1) 等腰三角形是 ______________ ，顶角平分线所在直线是它的对称轴； (2) 等腰三角形的两个底角相等 ( 简称 ______________) ； (3) 等腰三角形的顶角 __________ ，底边上的 ________ 和高线互相重合 ( 简称等腰三角形三线合一 ) ． 考点管理 边 轴对称图形 等边对等角 平分线 中线 【 智慧锦囊 】 等腰三角形常见结论： (1) 等腰三角形两腰上的高线相等； (2) 等腰三角形两腰上的中线相等； (3) 等腰三角形两底角的平分线相等； (4) 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半； (5) 等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行； (6) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高线； (7) 等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高线． 2 ．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 ( 简称等角对等边 ) ． 拓展： (1) 一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形； (2) 一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形； (3) 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． 3 ．等边三角形的性质 定理：等边三角形的各个角都等于 60°. 4 ．等边三角形的判定： 判定定理： (1) 三个角都相等的三角形是等边三角形； (2) 有一个角等于 60° 的 ________ 三角形是等边三角形． 5 ．线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ______ __ ． 判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的 __________ ____ 上． 等腰 相等 垂直平分 线 【 智慧锦囊 】 (1) 等腰三角形的性质常用于证明角相等、线段相等、直线垂直，其用途较广，题型变化多； (2) 已知等腰三角形，常添的辅助线是作底边上的高线 ( 或顶角平分线或底边上的中线 ) ； (3) 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线． 二、必会 2 方法 1 ．分类讨论 在等腰三角形中，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰进行讨论，还要注意构造三角形的条件，满足三边关系；同样在条件中没有明确底角和顶角时，也要进行分类讨论． 2 ．方程思想 与等腰三角形有关的角度计算，常用方程思想，结合三角形内角和等于 180° 来解，是中考的热点考题． 等腰三角形的性质 　 [2017· 滨州 ] 如图 23 － 4 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 上一点，且 CD ＝ AD ， AB ＝ BD ，则 ∠ B 的度数为 ( 　 　 ) A ． 40° B ． 36° C ． 30° D ． 25° 图 23 － 4 B 【 解析 】 ∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝ ∠ C ，∵ AB ＝ BD ，∴∠ BAD ＝∠ BDA ＝ ∠ C ＋ ∠ CAD ，∵ CD ＝ AD ，∴∠ C ＝ ∠ CAD ，∵∠ BAD ＋ ∠ CAD ＋ ∠ B ＋ ∠ C ＝ 180° ，∴ 5 ∠ B ＝ 180° ，∴∠ B ＝ 36°. 【 点悟 】 　根据等腰三角形的性质进行角度计算，常与三角形内角和结合，利用方程求解． 1 ． [2018· 中考预测 ] 如图 23 － 5 ，在 △ ABC 中， D 为 AB 上一点， E 为 BC 上一点，且 AC ＝ CD ＝ BD ＝ BE ，∠ A ＝ 50° ，则 ∠ CDE 的度数为 ( 　 　 )     　　　　　　　　　　　　　　　　　　   A ． 50° B ． 51° C ． 51.5° D ． 52.5° 图 23 － 5 D 2 ．如图 23 － 6 ，在 △ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， AD 平分 ∠ BAC ，点 M ， N 分别在 AB ， AC 边上， AM ＝ 2 MB ， AN ＝ 2 NC . 求证： DM ＝ DN . 证明 ： ∵ AM ＝ 2 MB ， AN ＝ 2 NC ， AB ＝ AC ， ∴ AM ＝ AN ， ∵ AD 平分 ∠ BAC ，∴∠ MAD ＝ ∠ NAD ， 图 23 － 6 线段的垂直平分线的性质与判定 [2017· 益阳 ] 如图 23 － 7 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 36° ， DE 是线段 AC 的垂直平分线，若 BE ＝ a ， AE ＝ b ，则用含 a ， b 的代数式表示 △ ABC 的周长为 __________ ． 图 23 － 7 【 解析 】 ∵ AB ＝ AC ， BE ＝ a ， AE ＝ b ， ∴ AC ＝ AB ＝ a ＋ b ，∵ DE 是线段 AC 的垂直平 分线，∴ AE ＝ CE ＝ b ，∴ ∠ ECA ＝ ∠ BAC ＝ 36° ，∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 72° ，∴∠ BCE ＝ ∠ ACB － ∠ ECA ＝ 36° ，∴∠ BEC ＝ 180° － ∠ ABC － ∠ ECB ＝ 72° ，∴ CE ＝ BC ＝ b ，∴△ ABC 的周长为 AB ＋ AC ＋ BC ＝ 2 a ＋ 3 b . 2 a ＋ 3 b 1 ． [2016· 长沙 ] 如图 23 － 8 ，在 △ ABC 中， AC ＝ 8 ， BC ＝ 5 ， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交边 AC 于点 E ，则 △ BCE 的周长为 ______ ． 图 23 － 8 13 2 ． [2017· 酒泉 ] 如图 23 － 9 ，一张三角形纸片 ABC ，∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 8 cm ， BC ＝ 6 cm ，现将纸片折叠：使点 A 与点 B 重 合，那么折痕长等于 ______cm. 图 23 － 9 变式跟进 2 答图 3 ．在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得锐角为 50° ，则 ∠ B ＝ ______________ ． ①　　　　　　　　　　 ② 变式跟进 3 答图 20 ° 或 70° 等腰三角形的判定 　 [2017· 连云港 ] 如图 23 － 10 ，已知等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，且 AD ＝ AE ，连结 BE ， CD ，相交于点 F . (1) 判断 ∠ ABE 与 ∠ ACD 的数量关系，并说明理由； (2) 求证：过点 A ， F 的直线垂直平分线 段 BC . 【 解析 】 (1) 根据全等三角形的判定 SAS 可证明 △ ABE ≌△ ACD ，然后证 ∠ ABE ＝ ∠ ACD ； (2) 根据 (1) 的结论可得 AB ＝ AC ，从而得 ∠ ABC ＝ ∠ ACB ，∵∠ ABE ＝ ∠ ACD ， 图 23 － 10 ∴∠ FBC ＝ ∠ FCB ，∴ FB ＝ FC ，得点 A ， F 均在线段的垂直平分线上，即可证出结论． 解 ： (1)∠ ABE ＝ ∠ ACD . 理由： ∵ AB ＝ AC ，∠ BAE ＝ ∠ CAD ， AE ＝ AD ， ∴△ ABE ≌△ ACD .∴∠ ABE ＝ ∠ ACD ； (2) 证明： ∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝ ∠ ACB . 由 (1) 可知 ∠ ABE ＝ ∠ ACD ，∴∠ FBC ＝ ∠ FCB ，∴ FB ＝ FC . 又 ∵ AB ＝ AC ，∴点 A ， F 均在线段 BC 的垂直平分线上，即直线 AF 垂直平分线段 BC . 1 ．如图 23 － 11 ，在 △ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上， BD 与 CE 交于点 O ，给出下列三个条件： ①∠ EBO ＝ ∠ DCO ； ② BE ＝ CD ； ③ OB ＝ OC . (1) 上述三个条件中，由哪两个条件可以判定 △ ABC 是等腰三角形 ( 用序号写出所有成立的 情形 )? (2) 请选择 (1) 中的一种情形，写出证明过程． 图 23 － 11 解 ： (1)①② ； ①③ ； (2) 选 ①②. 证明：在 △ BOE 和 △ COD 中， ∵∠ EBO ＝ ∠ DCO ，∠ EOB ＝ ∠ DOC ， BE ＝ CD ， ∴△ BOE ≌△ COD ( AAS ) ， ∴ BO ＝ CO ，∴∠ OBC ＝ ∠ OCB ， ∴∠ EBO ＋ ∠ OBC ＝ ∠ DCO ＋ ∠ OCB ， 即 ∠ ABC ＝ ∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC ，即 △ ABC 是等腰三角形． 2 ．如图 23 － 12 ，点 E ， F 在 BC 上， BE ＝ CF ，∠ A ＝ ∠ D ，∠ B ＝ ∠ C ， AF 与 DE 交于点 O . (1) 求证： AB ＝ DC ； (2) 试判断 △ OEF 的形状，并说明理由． 【 解析 】 (1) 证明 △ ABF ≌△ DCE ； (2) 由等角对等边可判断其形状． 图 23 － 12 解 ： (1) 证明： ∵ BE ＝ CF ， ∴ BE ＋ EF ＝ CF ＋ EF ，即 BF ＝ CE . 又 ∵∠ A ＝ ∠ D ，∠ B ＝ ∠ C ， ∴△ ABF ≌△ DCE ( AAS ) ， ∴ AB ＝ DC ； (2)△ OEF 为等腰三角形．理由： ∵△ ABF ≌△ DCE ，∴∠ AFB ＝ ∠ DEC ， ∴ OE ＝ OF ，∴△ OEF 为等腰三角形． 【 点悟 】 　判定等腰三角形的一般方法是 “ 两边相等 ” 和 “ 等角对等边 ” 这两种，这就涉及证明线段相等或角相等的问题，结合三角形全等可以解决． 等边三角形的性质与判定 　 [2018· 中考预测 ] 如图 23 － 13 ，△ ABC 是等边三角形， D ， E 分别是 AB ， BC 边上的动点 ( 与点 A ， B ， C 不重合 ) ，并始终保持 BD ＝ CE . (1) 当点 D ， E 运动到如图 ① 所示的位置时，求证： CD ＝ AE . (2) 把图 ① 中的 △ ACE 绕着 A 点顺时针旋转 60° 到 △ ABF 的位置 ( 如图 ②) ，分别连结 DF ， EF . 找出图中所有的等边三角形 (△ ABC 除外 ) ，并对其中一个给予证明． 图 23 － 13 证明 ： (1)∵△ ABC 是等边三角形， ∴ BC ＝ CA ，∠ B ＝ ∠ ECA ＝ 60° ， 又 ∵ BD ＝ CE ，∴△ BCD ≌△ CAE ( SAS ) ， ∴ CD ＝ AE ； (2) 图中有 2 个等边三角形，分别是 △ BDF ，△ AFE . 由题意知，△ ACE ≌△ ABF ， ∴ BF ＝ CE ，∠ ABF ＝ ∠ ECA ＝ 60° ， 又 ∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ CE ＝ BF ， ∴△ BDF 是等边三角形， ∵ AF ＝ AE ，∠ FAE ＝ 60° ， ∴△ AFE 是等边三角形． 【 点悟 】 　在几何问题的解答过程中，有一部分思路来源于灵感，这种灵感建立在对一些几何图形的基本性质 ( 如本题是等边三角形的基本性质 ) 的掌握之上，借助这些图形的特性，可以启发我们寻找解答问题的思路和方法． 如图 23 － 14 ，在等边三角形 ABC 中，点 D ， E 分别在边 BC ， AC 上，且 DE ∥ AB ，过点 E 作 EF ⊥ DE ，交 BC 的延长线于点 F . (1) 求 ∠ F 的度数； (2) 若 CD ＝ 2 ，求 DF 的长． 解 ： (1)∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ ACB ＝ 60° ， ∵ DE ∥ AB ，∴∠ EDF ＝ ∠ B ＝ 60° ， ∵ EF ⊥ DE ，∴∠ DEF ＝ 90° ， ∴∠ F ＝ 180° － ∠ DEF － ∠ EDF ＝ 30° ； 图 23 － 14 (2)∵ DE ∥ AB ，∴∠ DEC ＝ ∠ A ＝ 60°. ∵∠ DEF ＝ 90° ，∴∠ CEF ＝ 30° ＝ ∠ F ，∴ CE ＝ CF ， 又 ∵∠ EDF ＝ ∠ CED ＝ ∠ ACB ＝ 60° ， ∴△ CDE 为等边三角形，∴ CD ＝ CE ， ∴ DF ＝ DC ＋ CF ＝ DC ＋ CE ＝ 2 CD ， ∵ CD ＝ 2 ，∴ DF ＝ 4. 必明 3 易错点 1 ．等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形． 2 ．解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形，在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句不能限制太多，如“作一边上的高线并且要平分这条边”、“作一个角的平分线并且垂直于对边”等，这些都是不正确的． 3 ．在解有关等腰三角形的问题时，不要总认为腰大于底，实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形． 分类讨论防漏解 1 ．已知等腰三角形的一个内角为 70° 角，则另外两个内角的度数是 ( 　　 ) A ． 55° ， 55° B ． 70° ， 40° C ． 55° ， 55° 或 70° ， 40° D ．以上都不对 【 错解 】A 或 B 【 错因 】 没有分情况讨论， 70° 角有可能是顶角或底角． 【 正解 】C 2 ． [2017· 武汉 ] 如图 23 － 15 ，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，以 △ ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在 △ ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( 　　 ) A ． 4 B.5 C.6 D.7 【 错解 】A ， B 或 D 图 23 － 15 【 错因 】 没有考虑到所有情况．如答图 ① ，以 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D ，△ BCD 就是等腰三角形；如答图 ② ，以 A 为圆心， AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E ，△ ACE 就是等腰三角形；如答图 ③ ，以 C 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AC 于点 F ，△ BCF 就是等腰三角形；如答图 ④ ，作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 H ，△ ACH 就是等腰三角形；如答图 ⑤ ，作 AB 的垂直平分线交 AC 于 G ，则 △ AGB 是等腰三角形；如答图 ⑥ ，作 BC 的垂直平分线交 AB 于 I ，则 △ BCI 是等腰三角形． 易错警示答图 【 正解 】C