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  • 2021-11-06 发布

2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷【含答案】

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1 / 8 2020 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共计 30 分) 1. −8的倒数是( ) A.− 1 8 B.−8 C.8 D.1 8 2. 下列运算一定正确的是( ) A.푎2 + 푎2=푎4 B.푎2 ⋅ 푎4=푎8 C.(푎2)4=푎8 D.(푎 + 푏)2=푎2 + 푏2 3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. 扇形 B. 正方形 C. 等腰直角三角形 D. 正五边形 4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( ) A. B. C. D. 5. 如图,퐴퐵为⊙ 푂的切线,点퐴为切点,푂퐵交⊙ 푂于点퐶,点퐷在⊙ 푂 上,连接퐴퐷、퐶퐷,푂퐴,若∠퐴퐷퐶=35∘,则∠퐴퐵푂的度数为( ) A.25∘ B.20∘ C.30∘ D.35∘ 6. 将抛物线푦=푥2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所 得到的拋物线为( ) A.푦=(푥 + 3)2 + 5 B.푦=(푥 − 3)2 + 5 C.푦=(푥 + 5)2 + 3 D.푦=(푥 − 5)2 + 3 7. 如图,在푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐵퐴퐶=90∘,∠퐵=50∘,퐴퐷 ⊥ 퐵퐶,垂足为퐷, △ 퐴퐷퐵与△ 퐴퐷퐵′关于直线퐴퐷对称,点퐵的对称点是点퐵′,则∠퐶퐴퐵′的度 数为( ) A.10∘ B.20∘ C.30∘ D.40∘ 8. 方程 2 푥+5 = 1 푥−2 的解为( ) A.푥=−1 B.푥=5 C.푥=7 D.푥=9 9. 一个不透明的袋子中装有9个小球,其中6个红球、3个绿球,这些小 球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球.则摸出的小球是红 球的概率是( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 9 10. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,点퐷在퐵퐶边上,连接퐴퐷,点퐸在퐴퐶边上,过点 퐸作퐸퐹 // 퐵퐶,交퐴퐷于点퐹,过点퐸作퐸퐺 // 퐴퐵,交퐵퐶于点퐺,则下列式 子一定正确的是( ) A.퐴퐸 퐸퐶 = 퐸퐹 퐶퐷 B.퐸퐹 퐶퐷 = 퐸퐺 퐴퐵 C.퐴퐹 퐹퐷 = 퐵퐺 퐺퐶 D.퐶퐺 퐵퐶 = 퐴퐹 퐴퐷 二、填空题(每小题 3 分,共计 30 分) 11. 将数4790000用科学记数法表示为________. 12. 在函数푦 = 푥 푥−7 中,自变量푥的取值范围是________. 13. 已知反比例函数푦 = 푘 푥 的图象经过点(−3,  4),则푘的值为________. 14. 计算√24 + 6√1 6 的结果是________. 15. 把多项式푚2푛 + 6푚푛 + 9푛分解因式的结果是________. 16. 抛物线푦=3(푥 − 1)2 + 8的顶点坐标为________. 17. 不等式组{ 푥 3 ≤ −1, 3푥 + 5 < 2 的解集是________. 18. 一个扇形的面积是13휋푐푚2,半径是6푐푚,则此扇形的圆心角是 2 / 8 ________度. 19. 在△ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐵퐶=60∘,퐴퐷为퐵퐶边上的高,퐴퐷=6√3,퐶퐷=1, 则퐵퐶的长为________. 20. 如图,在菱形퐴퐵퐶퐷中,对角线퐴퐶、퐵퐷相交于点푂,点퐸在线段퐵푂 上,连接퐴퐸,若퐶퐷=2퐵퐸,∠퐷퐴퐸=∠퐷퐸퐴,퐸푂=1,则线段퐴퐸的长为 ________. 三、解答题(其中 21~22 题各 7 分,23~24 题各 8 分,25~27 题各 10 分,共计 60 分) 21. 先化简,再求代数式(1 − 2 푥+1) ÷ 푥2−1 2푥+2 的值,其中푥=4cos30∘ − 1. 22. 如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段퐴퐵和线段퐶퐷的端 点均在小正方形的顶点上. (1)在图中画出以퐴퐵为边的正方形퐴퐵퐸퐹,点퐸和点퐹均在小正方形的顶 点上; (2)在图中画出以퐶퐷为边的等腰三角形퐶퐷퐺,点퐺在小正方形的顶点上, 且△ 퐶퐷퐺的周长为10 + √10.连接퐸퐺,请直接写出线段퐸퐺的长. 23. 为了丰富同学们的课余生活,冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动 小组”为主题的调查活动,围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小 组中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随 机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完 整的条形统计图,其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的 30%.请你根据图中提供的信息回答下列问题: (1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生? 3 / 8 (2)请通过计算补全条形统计图; (3)若冬威中学共有800名学生,请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学 生有多少名. 24. 已知:在△ 퐴퐵퐶中,퐴퐵=퐴퐶,点퐷、点퐸在边퐵퐶上,퐵퐷=퐶퐸,连接 퐴퐷、퐴퐸. (1)如图1,求证:퐴퐷=퐴퐸; (2)如图2,当∠퐷퐴퐸=∠퐶=45∘时,过点퐵作퐵퐹 // 퐴퐶交퐴퐷的延长线于 点퐹,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角 形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45∘. 25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪,若购买1个大 地球仪和3个小地球仪需用136元;若购买2个大地球仪和1个小地球仪需 用132元. (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元; (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个,总费用不超过960元, 那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪? 4 / 8 26. 已知:⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆,퐴퐷为⊙ 푂的直径,퐴퐷 ⊥ 퐵퐶,垂足 为퐸,连接퐵푂,延长퐵푂交퐴퐶于点퐹. (1)如图1,求证:∠퐵퐹퐶=3∠퐶퐴퐷; (2)如图2,过点퐷作퐷퐺 // 퐵퐹交⊙ 푂于点퐺,点퐻为퐷퐺的中点,连接푂퐻, 求证:퐵퐸=푂퐻; (3)如图3,在(2)的条件下,连接퐶퐺,若퐷퐺=퐷퐸,△ 퐴푂퐹的面积为 9√2 5 ,求线段퐶퐺的长. 27. 已知:在平面直角坐标系中,点푂为坐标原点,直线퐴퐵与푥轴的正半 轴交于点퐴,与푦轴的负半轴交于点퐵,푂퐴=푂퐵,过点퐴作푥轴的垂线与过 点푂的直线相交于点퐶,直线푂퐶的解析式为푦 = 3 4 푥,过点퐶作퐶푀 ⊥ 푦轴, 垂足为푀,푂푀=9. (1)如图1,求直线퐴퐵的解析式; (2)如图2,点푁在线段푀퐶上,连接푂푁,点푃在线段푂푁上,过点푃作 푃퐷 ⊥ 푥轴,垂足为퐷,交푂퐶于点퐸,若푁퐶=푂푀,求푃퐸 푂퐷 的值; (3)如图3,在(2)的条件下,点퐹为线段퐴퐵上一点,连接푂퐹,过点퐹 作푂퐹的垂线交线段퐴퐶于点푄,连接퐵푄,过点퐹作푥轴的平行线交퐵푄于点퐺, 连接푃퐹交푥轴于点퐻,连接퐸퐻,若∠퐷퐻퐸=∠퐷푃퐻,퐺푄 − 퐹퐺 = √2퐴퐹, 求点푃的坐标. 5 / 8 参考答案与试题解析 2020 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共计 30 分) 1.A 2.C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C 二、填空题(每小题 3 分,共计 30 分) 11.4.79 × 106 12.푥 ≠ 7 13.−12 14.3√6 15.푛(푚 + 3)2 16.(1,  8) 17.푥 ≤ −3 18.130 19.5或7 20.2√2 三、解答题(其中 21~22 题各 7 分,23~24 题各 8 分,25~27 题各 10 分,共计 60 分) 21.原式= 푥−1 푥+1 ⋅ 2(푥+1) (푥−1)(푥+1) = 2 푥+1 , ∵ 푥=4cos30∘ − 1=4 × √3 2 − 1=2√3 − 1, ∴ 原式= 2 2√3−1+1 = √3 3 . 22.如图,正方形퐴퐵퐸퐹即为所求. 如图,△ 퐶퐷퐺即为所求. 23.在这次调查中,一共抽取了50名学生; 冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名 24.证明:∵ 퐴퐵=퐴퐶, ∵ ∠퐵=∠퐶, 在△ 퐴퐵퐷和△ 퐴퐶퐸中, { 퐴퐵 = 퐴퐶 ∠퐵 = ∠퐶 퐵퐷 = 퐶퐸 , ∴ △ 퐴퐵퐷 ≅△ 퐴퐶퐸(푆퐴푆), ∴ 퐴퐷=퐴퐸; ∵ 퐴퐷=퐴퐸, ∴ ∠퐴퐷퐸=∠퐴퐸퐷, ∵ 퐵퐹 // 퐴퐶, ∴ ∠퐹퐷퐵=∠퐶=45∘, ∵ ∠퐴퐵퐶=∠퐶=∠퐷퐴퐸=45∘,∠퐵퐷퐹=∠퐴퐷퐸, ∴ ∠퐹=∠퐵퐷퐹,∠퐵퐸퐴=∠퐵퐴퐸,∠퐶퐷퐴=∠퐶퐴퐷, ∴ 满足条件的等腰三角形有:△ 퐴퐵퐸,△ 퐴퐶퐷,△ 퐷퐴퐸,△ 퐷퐵퐹. 25.每个大地球仪52元,每个小地球仪28元; 最多可以购买5个大地球仪 26.∵ 퐴퐷为⊙ 푂的直径,퐴퐷 ⊥ 퐵퐶, ∴ 퐵퐸=퐸퐶, ∴ 퐴퐵=퐴퐶, 又∵ 퐴퐷 ⊥ 퐵퐶, 6 / 8 ∴ ∠퐵퐴퐷=∠퐶퐴퐷, ∵ 푂퐴=푂퐵, ∴ ∠퐵퐴퐷=∠퐴퐵푂, ∴ ∠퐵퐴퐷=∠퐴퐵푂=∠퐶퐴퐷, ∵ ∠퐵퐹퐶=∠퐵퐴퐶 + ∠퐴퐵푂, ∴ ∠퐵퐹퐶=∠퐵퐴퐷 + ∠퐸퐴퐷 + ∠퐴퐵푂=3∠퐶퐴퐷; 如图2,连接퐴퐺, ∵ 퐴퐷是直径, ∴ ∠퐴퐺퐷=90∘, ∵ 点퐻是퐷퐺中点, ∴ 퐷퐻=퐻퐺, 又∵ 퐴푂=퐷푂, ∴ 푂퐻 // 퐴퐺,퐴퐺=2푂퐻, ∴ ∠퐴퐺퐷=∠푂퐻퐷=90∘, ∵ 퐷퐺 // 퐵퐹, ∴ ∠퐵푂퐸=∠푂퐷퐻, 又∵ ∠푂퐸퐵=∠푂퐻퐷=90∘,퐵푂=퐷푂, ∴ △ 퐵푂퐸 ≅△ 푂퐷퐻(퐴퐴푆), ∴ 퐵퐸=푂퐻; 如图3,过点퐹作퐹푁 ⊥ 퐴퐷,交퐴퐷于푁, 设퐷퐺=퐷퐸=2푥, ∴ 퐷퐻=퐻퐺=푥, ∵ △ 퐵푂퐸 ≅△ 푂퐷퐻, ∴ 푂퐸=퐷퐻=푥, ∴ 푂퐷=3푥=푂퐴=푂퐵, ∴ 퐵퐸 = √푂퐵2 − 푂퐸2 = √9푥2 − 푥2 = 2√2푥, ∵ ∠퐵퐴퐸=∠퐶퐴퐸, ∴ tan∠퐵퐴퐸=tan∠퐶퐴퐸 = 퐵퐸 퐴퐸 = 푁퐹 퐴푁 , ∴ 2√2푥 4푥 = 푁퐹 퐴푁 , ∴ 퐴푁 = √2푁퐹, ∵ ∠퐵푂퐸=∠푁푂퐹, ∴ tan∠퐵푂퐸=tan∠푁푂퐹 = 퐵퐸 푂퐸 = 푁퐹 푂푁 , ∴ 2√2푥 푥 = 푁퐹 푂푁 , ∴ 푂푁 = √2 4 푁퐹, ∴ 퐴푂=퐴푁 + 푂푁 = 5√2 4 푁퐹, ∵ △ 퐴푂퐹的面积为9√2 5 , ∴ 1 2 × 퐴푂 × 푁퐹 = 1 2 × 5√2 4 푁퐹2 = 9√2 5 , ∴ 푁퐹 = 6√2 5 , ∴ 퐴푂 = 5√2 4 푁퐹=3=3푥, ∴ 푥=1, ∴ 퐵퐸=2√2 = 푂퐻,퐴퐸=4,퐷퐺=퐷퐸=2, ∴ 퐴퐶 = √퐴퐸2 + 퐶퐸2 = √16 + 8 = 2√6, 如图3,连接퐴퐺,过点퐴作퐴푀 ⊥ 퐶퐺,交퐺퐶的延长线于푀, 由(1)可知:퐴퐺=2푂퐻=4√2, ∵ 四边形퐴퐷퐺퐶是圆内接四边形, 7 / 8 ∴ ∠퐴퐶푀=∠퐴퐷퐺, 又∵ ∠퐴푀퐶=∠퐴퐺퐷=90∘, ∴ △ 퐴퐶푀 ∽△ 퐴퐷퐺, ∴ 퐴퐷 퐴퐶 = 퐴퐺 퐴푀 = 퐷퐺 퐶푀 , ∴ 6 2√6 = 4√2 퐴푀 = 2 퐶푀 , ∴ 퐶푀 = 2√6 3 ,퐴푀 = 8√3 3 , ∴ 퐺푀 = √퐴퐺2 − 퐴푀2 = √32 − 64 3 = 4√6 3 , ∴ 퐶퐺=퐺푀 − 퐶푀 = 2√6 3 . 27.∵ 퐶푀 ⊥ 푦轴,푂푀=9, ∴ 푦=9时,9 = 3 4 푥,解得푥=12, ∴ 퐶(12,  9), ∵ 퐴퐶 ⊥ 푥轴, ∴ 퐴(12,  0), ∵ 푂퐴=푂퐵, ∴ 퐵(0, −12), 设直线퐴퐵的解析式为푦=푘푥 + 푏,则有{ 푏 = −12 12푘 + 푏 = 0 , 解得{ 푘 = 1 푏 = −12 , ∴ 直线퐴퐵的解析式为푦=푥 − 12. 如图2中, ∵ ∠퐶푀푂=∠푀푂퐴=∠푂퐴퐶=90∘, ∴ 四边形푂퐴퐶푀是矩形, ∴ 퐴푂=퐶푀=12, ∵ 푁퐶=푂푀=9, ∴ 푀푁=퐶푀 − 푁퐶=12 − 9=3, ∴ 푁(3,  9), ∴ 直线푂푁的解析式为푦=3푥,设点퐸的横坐标为4푎,则퐷(4푎,  0), ∴ 푂퐷=4푎, 把푥=4푎,代入푦 = 3 4 푥中,得到푦=3푎, ∴ 퐸(4푎,  3푎), ∴ 퐷퐸=3푎, 把푥=4푎代入,푦=3푥中,得到푦=12푎, ∴ 푃(4푎,  12푎), ∴ 푃퐷=12푎, ∴ 푃퐸=푃퐷 − 퐷퐸=12푎 − 3푎=9푎, ∴ 푃퐸 푂퐷 = 9 4 . 如图3中,设直线퐹퐺交퐶퐴的延长线于푅,交푦轴于푆,过点퐹作퐹푇 ⊥ 푂퐴于푇. 8 / 8 ∵ 퐺퐹 // 푥轴, ∴ ∠푂푆푅=∠푀푂퐴=90∘,∠퐶퐴푂=∠푅=90∘,∠퐵푂퐴=∠퐵푆퐺=90∘, ∠푂퐴퐵=∠퐴퐹푅, ∴ ∠푂퐹푅=∠푅=∠퐴푂푆=∠퐵푆퐺=90∘, ∴ 四边形푂푆푅퐴是矩形, ∴ 푂푆=퐴푅, 퐴푅=푂퐴=12, ∵ 푂퐴=푂퐵, ∴ ∠푂퐵퐴=∠푂퐴퐵=45∘, ∴ ∠퐹퐴푅=90∘ − 45∘=45∘, ∴ ∠퐹퐴푅=∠퐴퐹푅, ∴ 퐹푅=퐴푅=푂푆, ∵ 푂퐹 ⊥ 퐹푄, ∴ ∠푂푆푅=∠푅=∠푂퐹푄=90∘, ∴ ∠푂퐹푆 + ∠푄퐹푅=90∘, ∵ ∠푄퐹푅 + ∠퐹푄푅=90∘, ∴ ∠푂퐹푆=∠퐹푄푅, ∴ △ 푂퐹푆 ≅△ 퐹푄푅(퐴퐴푆), ∴ 푆퐹=푄푅, ∵ ∠푆퐹퐵=∠퐴퐹푅=45∘, ∴ ∠푆퐵퐹=∠푆퐹퐵=45∘, ∴ 푆퐹=푆퐵=푄푅, ∵ ∠푆퐺퐵=∠푄퐺푅,∠퐵푆퐺=∠푅, ∴ △ 퐵푆퐺 ≅△ 푄푅퐺(퐴퐴푆), ∴ 푆퐺=퐺푅=6, 设퐹푅=푚,则퐴푅=푚,퐴퐹 = √2푚,푄푅=푆퐹=12 − 푚, ∵ 퐺푄 − 퐹퐺 = √2퐴퐹, ∴ 퐺푄 = √2 × √2푚 + 6 − 푚=푚 + 6, ∵ 퐺푄2=퐺푅2 + 푄푅2, ∴ (푚 + 6)2=62 + (12 − 푚)2, 解得푚=4, ∴ 퐹푆=8,퐴푅=4, ∵ ∠푂퐴퐵=∠퐹퐴푅,퐹푇 ⊥ 푂퐴,퐹푅 ⊥ 퐴푅, ∴ 퐹푇=퐹푅=퐴푅=4,∠푂푇퐹=90∘, ∴ 四边形푂푆퐹푇是矩形, ∴ 푂푇=푆퐹=8, ∵ ∠퐷퐻퐸=∠퐷푃퐻, ∴ tan∠퐷퐻퐸=tan∠퐷푃퐻, ∴ 퐷퐸 퐷퐻 = 퐷퐻 푃퐷 , 由(2)可知퐷퐸=3푎,푃퐷=12푎, ∴ 3푎 퐷퐻 = 퐷퐻 12푎 , ∴ 퐷퐻=6푎, ∴ tan∠푃퐻퐷 = 푃퐷 퐷퐻 = 12푎 6푎 = 2, ∵ ∠푃퐻퐷=∠퐹퐻푇, ∴ tan∠퐹퐻푇 = 푇퐹 퐻푇 = 2, ∴ 퐻푇=2, ∵ 푂푇=푂퐷 + 퐷퐻 + 퐻푇, ∴ 4푎 + 6푎 + 2=8, ∴ 푎 = 3 5 , ∴ 푂퐷 = 12 5 ,푃퐷=12 × 3 5 = 36 5 , ∴ 푃(12 5 , 36 5 ).