福建专版2020中考数学复习方案第五单元四边形第30课时正方形及特殊平行四边形的综合课件 45页

第 30 课时 正方形及特殊平行四边形的综合 第五单元　四边形 定义 　四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形 性质 (1)正方形四条边①　　　　;  (2)正方形四个角都是②　　　　;  (3)正方形的对角线相等且互相③　　　 ,每条对角线平分一组对角;  (4)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角 线的交点 考点一　正方形 考点聚焦 相等 直角 垂直平分 （续表） 判定 (1)有一组邻边相等的④　　　是正方形;  (2)有一个角是直角的⑤　　　是正方形;  (3)对角线相等的⑥　　　是正方形;  (4)对角线⑦　　　　 的矩形是正方形  矩形 菱形 菱形 互相垂直 考点二　平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 直 角 互相垂直 相等 互相垂直 相等 直 角 原四边形的形状 中点四边形的形状 任意四边形 ⑭ _________________ 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 ⑮ _________________正方形 ⑯ _________________ 考点三　中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形形 状的判定依据主要是三角形的中位线定理.常见结论如下: 平行四边形 矩形 正方形 题组一　必会题 对点演练 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　) A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.每条对角线平分一组对角 B 2.如图30-1,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是 　　　　. 图30-1 22.5° 图30-2 14 cm3.如图30-2,正方形ABCD的周长为28 cm,则矩形MNGC的周长是　　　　. 4.如图30-3,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正 方形ABCD的边长是　　　　. 图30-3 5.[2018·莆田质检]下列说法中,正确的是 (　　) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 D 题组二　易错题 【失分点】对各类四边形各自的中点四边形的判定出现错误. 6.[2018·湘潭]如图30-4,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形 EFGH是 (　　) A.正方形　 B.矩形 C.菱形 　　 D.平行四边形 图30-4 B 考向一　正方形的性质与判定 图30-5 例1 [2019·长沙]如图30-5,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与 BE相交于点G. (1)求证:BE=AF; (2)若AB=4,DE=1,求AG的长. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD, ∵DE=CF,∴AE=DF, 在△BAE和△ADF中,AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF, ∴△BAE≌ △ADF(SAS), ∴BE=AF. 例1 [2019·长沙]如图30-5,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与 BE相交于点G. (2)若AB=4,DE=1,求AG的长. 图30-5 | 考向精练 | 图30-6 1.[2018·舟山]如图30-6,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且 ∠CEF=45°. 求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=∠C=90°, ∵△AEF是等边三角形, ∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°, ∵∠CEF=45°, ∴∠CFE=∠CEF=45°, ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°, ∴△ABE≌ △ADF, ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 图30-7 2.[教材题]如图30-7,四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点 E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠BAD=90°. ∵DE⊥AG,∴∠AED=90°, ∴∠ADE+∠DAE=90°. 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°, ∴∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE,∴∠AFB=∠DEG=∠AED, ∴△ABF≌ △DAE(AAS),∴BF=AE. ∵AF-AE=EF,∴AF-BF=EF. 图30-8 3.[2018·聊城]如图30-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作 BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF. (1)求证:AE=BF; (2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长. 图30-8 3.[2018·聊城]如图30-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作 BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF. (2)若正方形的边长是5,BE=2,求AF的长. 图30-9 [答案]D 考向二　中点四边形 例2 [2018·临沂]如图30-10,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中 点.则下列说法中正确的个数是 (　　) ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形; ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形; ③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分; ④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等. A.1 B.2 C.3 D.4 图30-10 [答案]A | 考向精练 | 1.[2019·遵义]我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点 四边形,已知四边形ABCD的中点四边形是正方形,对角线AC与BD的关系,下列 说法正确的是 (　　) A.AC,BD相等且互相平分 B.AC,BD垂直且互相平分 C.AC,BD相等且互相垂直 D.AC,BD垂直且平分对角 C 图30-11 [答案]D 考向三　特殊平行四边形的综合应用 图30-12 例3 [2019·海南]如图30-12,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是 边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q. (1)求证:△PDE≌ △QCE; (2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时, ①求证:四边形AFEP是平行四边形; ②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠D=∠BCD=90°, ∴∠ECQ=90°=∠D. ∵E是CD的中点, ∴DE=CE, 又∵∠DEP=∠CEQ, ∴△PDE≌ △QCE. 图30-12 例3 [2019·海南]如图30-12,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是 边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q. (2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时, ①求证:四边形AFEP是平行四边形; 图30-12 例3 [2019·海南]如图30-12,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是 边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q. (2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时, ②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由. | 考向精练 | 1.[2019·北京]在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重 合). 对于任意矩形ABCD,下面四个结论中, ①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形; ②存在无数个四边形MNPQ是矩形; ③存在无数个四边形MNPQ是菱形; ④至少存在一个四边形MNPQ是正方形. 所有正确结论的序号是　　　　. [答案] ①②③　 [解析]如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O, 过点O的直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,则四边形MNPQ是平行 四边形,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,故①正确; 如图,当PM=QN时,四边形MNPQ是矩形,存在无数个四边形MNPQ是矩形;故② 正确;如图,当PM⊥QN时,存在无数个四边形MNPQ是菱形;故③正确; 当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,则△AMQ≌ △DQP, ∴AM=QD,AQ=PD,易知△PDQ≌ △MBN,∴PD=BM, ∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD 矛盾,故④错误.填①②③. 2.如图30-13①,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且 PE=PB. (1)求证:PD=PE; (2)求证:∠DPE=∠ABC; (3)如图②,当四边形ABCD为正方形时,连接DE,试探究线段DE与线段BP的数量 关系,并说明理由. 图30-13 2.如图30-13①,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且 PE=PB. (2)求证:∠DPE=∠ABC; 图30-13 2.如图30-13①,P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且 PE=PB. (3)如图②,当四边形ABCD为正方形时,连接DE,试探究线段DE与线段BP的数量 关系,并说明理由. 图30-13